安徽省合肥市一六八中学2023-2024学年高一下学期期中数学试卷（Word版附解析）

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考生注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若是虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A. B. -1C. D. 1
2. 中，，则是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形
C. 等边三角形D. 钝角三角形
3. 正的边长为1，则（ ）
A. B. C. D.
4. 在△中，“”是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 黄鹤楼地处蛇山之㠌､濒临万里长江，是武汉市地标建筑.已知黄鹤楼的高度约为米，在其一侧有一座建筑物，在它们之间的地面上的点（三点共线）处，测得楼顶､楼顶的仰角分别为和，在楼顶处测得楼顶的仰角为.则地面上两点之间的距离约为（ ）

A. 米B. 米C. 米D. 米
6. 如图，一条河的南北两岸平行.游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，则游船要从A行到正北方向上位于北岸的码头处，其航行速度的大小（ ）
A B. C. D.
7. 一个圆锥内切球的表面积是，其侧面展开图是半径为的半圆，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
8. 已知向量，且，则函数的最小值是（ ）
A. 0B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 设都是非零向量，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若的夹角为钝角，则
B. 若，则
C. 若，则的夹角为锐角
D. 若，则与同向
10. 设是非零复数，是其共轭复数，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知点是的外心，点是边的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 锐角的三内角的对边分别为边在边上的射影长等于的外接圆半径，则的值是__________.
13. 如图，在三棱锥中，，点在棱上，点在棱上，且，设表示与所成的角，表示与所成的角，则的值为__________.

14. 在圆内接四边形中，已知平分，且，则边长为__________.
四､解答题：共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在中，三内角对应的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若是锐角三角形，求取值范围.
16. 在直三棱柱中，.
（1）若外接圆的半径是1，求直三棱柱的表面积；
（2）若直三棱柱外接球的体积是，求此直三棱柱的高.
17. 在中，角的对边分别是，其外接圆的半径是1，且向量，互相垂直.
（1）求角大小；
（2）求面积的最大值.
18. 在中，中线和中线相交于点，点在边上.
（1）若，证明：点是边的靠近点的四等分点；
（2）证明：；
（3）若，求中最大角与最小角的和.
19. 某公园计划改造一块四边形区域建设草坪（如图），其中百米，百米，.草坪内需要规划4条人行道，以及两条排水沟.其中分别是边的中点.
（1）若，求排水沟的长；
（2）设条人行道总长度记为.
（i）求出函数的表达式；
（ii）当取多少时，有最大值，并求出这个最大值.