辽宁省名校联盟2023-2024学年高二下学期4月联合考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份辽宁省名校联盟2023-2024学年高二下学期4月联合考试数学试卷（Word版附解析），共29页。试卷主要包含了 抛物线有如下光学性质等内容，欢迎下载使用。

命题人：大连育明高级中学 孙亚洲 审题人：辽宁名校联盟试题研发中心
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）.
A. B. C. D.
2. 已知为虚数单位，复数的共轭复数为，则（ ）
A. B. C. D.
3. 设A，B为两个事件，已知，则（ ）
A. B. C. D.
4. “堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术.商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”，即一个长方体沿对角线斜解（图1）.得到一模一样的两个堑堵，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若某长方体的长为4，宽为2，高为2，记该长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列选项不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列各式大小比较中，其中正确的是（ ）
A B. C. D.
6. 函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（ ）．
A. 1B. 2C. 3D. 4
7. 已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 3
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 将四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》，诗集《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和戏曲《中华戏曲》7本书放在一排，则（ ）
A. 戏曲书放在正中间位置的不同放法有种B. 诗集相邻的不同放法有种
C. 四大名著互不相邻的不同放法有种D. 四大名著不放在两端的不同放法有种
10. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（ ）
A. 平分
B.
C. 延长交直线于点，则三点共线
D.
11. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，则（ ）
A. 该半正多面体的表面积为
B. 该半正多面体的体积为
C. 该半正多面体外接球的表面积为
D. 若点，分别在线段，上，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中，的系数是________________．（用数字填写答案）
13. 如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为______．
14. 已知椭圆，、分别是其左，右焦点，P为椭圆C上非长轴端点的任意一点，D是x轴上一点，使得平分.过点D作、的垂线，垂足分别为A、B.则的最小值是_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数为奇函数．
（1）求，判断的单调性，并用定义证明；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
16. 在锐角三角形中，内角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的取值范围．
17. 如图，在平行六面体中，每一个面均为边长为2的菱形，平面底面，，分别是，的中点，是的中点.
（1）证明：平面；
（2）若侧棱与底面所成角为60°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
18. 为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部A、B进行体育运动和文化项目比赛，由A部、B部争夺最后的综合冠军．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束．若A部、B部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天A部、B部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每局比赛A部获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．
（1）记第一天需要进行的比赛局数为X，求，并求当取最大值时p的值；
（2）当时，记一共进行的比赛局数为Y，求．
19. 阅读材料：
（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：，则称点P(，)和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(，)对应的极线方程为；对于双曲线，与点P(，)对应的极线方程为；对于抛物线，与点P(，)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
（二）极点与极线基本性质､定理
①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；
②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.
结合阅读材料回答下面的问题：
（1）已知椭圆C：经过点P(4，0)，离心率是，求椭圆C方程并写出与点P对应的极线方程；
（2）已知Q是直线l：上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.
辽宁省名校联盟2024年高二4月份联合考试数学
命题人：大连育明高级中学 孙亚洲 审题人：辽宁名校联盟试题研发中心
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式得集合，解对数不等式得集合，然后由交集定义计算．
【详解】由题意，，所以．
故选：C．
【点睛】本题考查集合的交集运算，解题关键是掌握对数函数性质，确定集合的元素．
2. 已知为虚数单位，复数的共轭复数为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分别求得，再去求即可解决.
【详解】复数的共轭复数
复数的模，
则
故选：B
3. 设A，B为两个事件，已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得.
【详解】由，得，显然，
因此，所以．
故选：B
4. “堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术.商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”，即一个长方体沿对角线斜解（图1）.得到一模一样的两个堑堵，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若某长方体的长为4，宽为2，高为2，记该长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列选项不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合长方体、锥体体积公式求得正确答案.
【详解】，A选项正确.
，B选项正确.
，C选项正确.
，D选项不正确.
故选：D
5. 下列各式大小比较中，其中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由不等式的性质，三角函数和指数对数函数的单调性，逐个判断选项是否正确.
【详解】，∴，即，选项A错误；
，则，得，故选项B错误；
，选项C错误；
，，∴，选项D正确.
故选：D
6. 函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（ ）．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】化简原函数解析式并求出平移后的函数解析式，由条件等式结合正弦函数性质求出的范围，由此可得结论.
【详解】函数图象向左平移个单位长度后，
得的图象，
由已知得，
所以，
所以，
所以，，
所以，，
因为，所以的最小值为3，
故选：C.
7. 已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由条件确定点的轨迹，结合抛物线的定义，圆的性质求的最小值.
【详解】∵ 抛物线的方程为，
∴ ，抛物线的准线方程为，
∵ 方程可化为，
∴过定点，
设，设的中点为，则，因为，为垂足，
∴，所以，
即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
过点作准线的垂线，垂足为，则,
∴ ,，又，当且仅当三点共线且在之间时等号成立，
∴ ，
过点作准线的垂线，垂足为，则,当且仅当三点共线时等号成立，
∴ ，当且仅当四点共线且在之间时等号成立，
所以的最小值为，
故选：A.
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对变形得到，进而得到以，结合椭圆定义可求出，，，由余弦定理求解关系式，求出离心率.
【详解】因为，所以，
如图，在上取一点M，使得，连接，则，
则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，
所以，
设，则，
由椭圆定义可知：，即，所以，
所以，，
故点A与上顶点重合，
在中，由余弦定理得：
，
在中，，
解得：，
所以椭圆离心率为.

故选：A
【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形三边关系，求出离心率.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 将四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》，诗集《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和戏曲《中华戏曲》7本书放在一排，则（ ）
A. 戏曲书放在正中间位置的不同放法有种B. 诗集相邻的不同放法有种
C. 四大名著互不相邻的不同放法有种D. 四大名著不放在两端的不同放法有种
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，利用全排列求出答案；B选项，捆绑法进行求解；C选项，插空法进行求解；D选项，先将除四大名著外的3本书中，挑选2本放在两端，再将剩余的书和位置进行全排列.
【详解】A选项，戏曲书放在正中间，其余6本书和6个位置进行全排列，共有种不同放法，A错误；
B选项，将两本诗集进行捆绑，有2种放法，再将捆绑的诗集和剩余的5本书，
进行全排列，此时有种放法，故诗集相邻不同放法有种，B正确；
C选项，先将诗集和戏曲进行全排列，有种方法，且3本书互相之间有4个空，
将4大名著进行插空，有种方法，故共有种放法，C正确；
D选项，将除四大名著外的3本书中，挑选2本放在两端，有种放法，
再将剩余5本书和5个位置进行全排列，有种放法，
故四大名著不放在两端的不同放法有种，D错误.
故选：ABC
10. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（ ）
A. 平分
B.
C. 延长交直线于点，则三点共线
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，根据题意求得，，从而证得，结合平面几何的知识易得平分；
对于B，直接代入即可得到；
对于C，结合题意求得，由纵坐标相同得三点共线；
对于D，由选项A可知.
【详解】根据题意，由得，又由轴，得，代入得（负值舍去），则，
所以，故直线为，即，
依题意知经过抛物线焦点，故联立，解得，即，
对于A，，，故，所以，
又因为轴，轴，所以，故，
所以，则平分，故A正确；
对于B，因为，故，故B错误；
对于C，易得的方程为，联立，故，
又轴，所以三点的纵坐标都相同，则三点共线，故C正确；
对于D，由选项A知，故D正确.
故选：ACD.
.
11. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，则（ ）
A. 该半正多面体的表面积为
B. 该半正多面体的体积为
C. 该半正多面体外接球的表面积为
D. 若点，分别在线段，上，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定的多面体，利用正四面体的性质，球的截面圆的性质，以及多面体的侧面展开图，结合棱锥的表面积与体积公式，以及球的表面积公式，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，其棱长为1，
对于A：该半正多面体的表面积为，所以A错误.
对于B：如图所示，该半正多面体所在的正四面体中，可得正四面体的棱长为，
取正四面体的下底面的中心为，连接，则底面，
在直角中，因为，，
所以，
即该半正多面体所在的正四面体的高为，体积为，
该半正多面体的体积为，所以B正确；
对于C：该半正多面体外接球的球心即其所在正四面体的外接球的球心，
记球心为，半径为，的中心为，
连接，由等边的边长为，可得，
又由底面正六边形的边长为 ，可得，
在正四面体中，可得，
所以，
设，因为，可得，
即，解得，即，
所以，故该半正多面体外接球的表面积为，
所以C正确.

对于D：该半正多面体的展开图，如图所示，
则，
所以，所以D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中，的系数是________________．（用数字填写答案）
【答案】
【解析】
【分析】写出二项式的通项公式，然后计算即可.
【详解】因为的通项公式为，
令得，则其系数为．
故答案为：
13. 如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，先建立空间直角坐标系，然后写出相关点的坐标，再写出相关的向量，然后根据点分别为直线上写出点的坐标，这样就得到，然后根据的取值范围而确定
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，则有：
，，，，，
可得：
设，且
则有：，
可得：
则有：
故
则当且仅当时，
故答案为：
14. 已知椭圆，、分别是其左，右焦点，P为椭圆C上非长轴端点的任意一点，D是x轴上一点，使得平分.过点D作、的垂线，垂足分别为A、B.则的最小值是_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆的焦点三角形的面积公式和二倍角公式解决即可.
【详解】如图，

由椭圆的性质可知，点位于短轴的端点时，最大，由可知最大值为.
设，因为平分，所以，设，
已知椭圆，所以.
从而，
，
所以，解得.
,
所以,
所以，
因为，所以，
设，
所以在上单调递减，所以.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数为奇函数．
（1）求，判断的单调性，并用定义证明；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）1，增函数，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据奇函数的定义计算参数，再由函数的单调性定义证明即可；
（2）利用函数的奇偶性及单调性脱去函数符号，结合一元二次不等式恒成立讨论计算即可.
【小问1详解】
函数为奇函数，所以，
即，
则，即，则，得；
所以，
函数在上为增函数，
证明如下：
设，则
，所以，且，，
，即，
函数在上为增函数；
【小问2详解】
不等式恒成立，
，
函数为奇函数，
，
函数上单调递增，则，
即恒成立，
当时，不等式恒成立，满足题意；
当时，需满足，即，解得；
综上，实数的取值范围为．
16. 在锐角三角形中，内角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）对等式两边同时乘以可得，正弦定理结合两角和的正弦公式化简即可得出答案；
（2）由正弦定理求出，表示出面积结合三角函数的性质即可得出答案．
【小问1详解】
由已知条件得，
由正弦定理得，
即．
因为在中，，
所以．
又是锐角，所以．
【小问2详解】
由正弦定理得，
则，
所以
．
由，得，
所以，所以，
所以．
所以面积的取值范围为．
17. 如图，在平行六面体中，每一个面均为边长为2的菱形，平面底面，，分别是，的中点，是的中点.
（1）证明：平面；
（2）若侧棱与底面所成的角为60°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，进而证明平面平面即可证明结论；
（2）过点作，垂足为，连接，进而证明，，进而建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【小问1详解】
证明：连接，
因为在平行六面体中，每一个面均为边长为2的菱形，
所以，，
因为分别是，的中点
所以，，，
所以，四边形，均为平行四边形，
所以，，，
因为菱形中，，
所以，，，
所以，四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以，平面，平面，
因为平面，
所以，平面平面，
因为是的中点，平面，
所以平面.
【小问2详解】
解：过点作，垂足为，连接，
因为平面底面，平面底面，平面，
所以，底面，
因为，底面，
所以
因为，侧棱与底面所成的角为60°，
所以，，
因为，
所以，即为中点，
因为底面为菱形，，
所以，，
所以，以为坐标原点，以为轴方向建立空间直角坐标系，
所以，，，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令得，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令得，
所以，,
所以，平面与平面所成锐二面角的余弦值为
18. 为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部A、B进行体育运动和文化项目比赛，由A部、B部争夺最后的综合冠军．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束．若A部、B部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天A部、B部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每局比赛A部获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．
（1）记第一天需要进行的比赛局数为X，求，并求当取最大值时p的值；
（2）当时，记一共进行的比赛局数为Y，求．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）求出X可能取值，并求出对应的概率，得到期望，配方后得到期望最大值时对应的p的值；
（2）先得到双方前两天的比分为2∶0或0∶2的概率均为，比分为2∶1或1∶2的概率均为，考虑和两种情况，分别求出概率，相加即可.
【小问1详解】
X可能取值为2，3．
；
．
故，
即，则当时，取得最大值．
【小问2详解】
当时，双方前两天的比分为2∶0或0∶2的概率均为；
比分为2∶1或1∶2的概率均为．
，则或．
即获胜方两天均2∶0获胜，不妨设A部胜，
概率为，同理B部胜，概率为，
故；
即获胜方前两天的比分为2∶0和2∶1或者2∶0和0∶2再加附加赛，
不妨设最终A部获胜，
当前两天的比分为2∶0和2∶1时，
先从两天中选出一天，比赛比分为2∶1，三场比赛前两场，A部一胜一负，第三场比赛A获胜，另外一天比赛比分为2：0，故概率为，
当前两天比分为2∶0和0∶2，附加赛A获胜时，两天中选出一天，比赛比分为2：0，
概率为，
故最终A部获胜的概率为，
同理B部胜，概率为，
故．
所以．
19. 阅读材料：
（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：，则称点P(，)和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(，)对应的极线方程为；对于双曲线，与点P(，)对应的极线方程为；对于抛物线，与点P(，)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
（二）极点与极线的基本性质､定理
①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；
②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.
结合阅读材料回答下面的问题：
（1）已知椭圆C：经过点P(4，0)，离心率是，求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程；
（2）已知Q是直线l：上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1），
（2）存在，
【解析】
【分析】(1)根据题意和离心率求出a、b，即可求解；
(2)利用代数法证明点Q在椭圆C外，则点Q和直线MN是椭圆C的一对极点和极线.
根据题意中的概念求出点Q对应的极线MN方程，可得该直线恒过定点T（2,1），利用点差法求出直线的斜率，即可求解.
【小问1详解】
因为椭圆过点P(4,0)，
则，得，又，
所以，所以，
所以椭圆C的方程为.
根据阅读材料，与点P对应的极线方程为，即；
【小问2详解】
由题意，设点Q的坐标为(,)，
因为点Q在直线上运动，所以，
联立，得，
，该方程无实数根，
所以直线与椭圆C相离，即点Q在椭圆C外，
又QM，QN都与椭圆C相切，
所以点Q和直线MN是椭圆C的一对极点和极线.
对于椭圆，与点Q(,)对应的极线方程为，
将代入，整理得，
又因为定点T的坐标与的取值无关，
所以，解得，
所以存在定点T(2,1)恒在直线MN上.
当时，T是线段MN的中点，
设，直线MN的斜率为，
则，两式相减，整理得，即，
所以当时，直线MN方程为，即.