2024北京延庆高二（下）期中数学试题及答案

这是一份2024北京延庆高二（下）期中数学试题及答案，共9页。试卷主要包含了05，005等内容，欢迎下载使用。

2024.05
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
第二部分 （非选择题 共110 分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）若，则_________．（用数字作答）
（12）已知随机变量，则=_________，=_________．
（13）学校要从名男教师和名女教师中随机选出人去支教，设抽取的人中女教师的人数为，则=_________．
（14）中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有_________种．（用数字作答）
（15）已知数列的各项均为正数，其前项和为满足.
给出下列四个结论:
= 1 \* GB3 ①的第项小于； = 2 \* GB3 ②为等比数列；
= 3 \* GB3 ③为递减数列； = 4 \* GB3 ④中存在小于的项.
其中所有正确结论的序号是_________．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（16）（本小题12分）
在的展开式中.
（Ⅰ）求第项的二项式系数；
（Ⅱ）求的系数；
（Ⅲ）求第项.
（17）（本小题15分）
某中学有初中学生1800人，高中学生1200人．为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：，，，，，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
O
时间(小时)
10 20 30 40 50
0.005
0.025
0.030
0.035
高中生组
O
时间(小时)
10 20 30 40 50
0.005
a
初中生组
0.020
0.040
（Ⅰ）写出的值；
（Ⅱ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；
（Ⅲ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用表示其中初中生
的人数，求的分布列和数学期望．
（18）（本小题14分）
甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为，，假设两人每次投篮是否命中相互之间没有影响.
（Ⅰ）如果甲、乙两人各投篮次，求两人中至少有人投篮命中的概率；
（Ⅱ）如果甲投篮次，求甲至多有次投篮命中的概率；
（Ⅲ）如果乙投篮次，求乙投篮命中几个球的概率最大？直接写出结论.
（19）（本小题15分）
已知为数列的前项和，满足，.数列是等差数列，且.
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）设，且，求.
（20）（本小题15分）
已知椭圆经过直线与坐标轴的两个交点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）为椭圆的右顶点，过点的直线交椭圆于点，过点作轴的垂线分别与直线交于点，求的值.
（21）（本小题14分）
已知数列：，，，（）满足：
①；②（，，，）. 记.
（Ⅰ）直接写出的所有可能值；
（Ⅱ）证明：的充要条件是；
（Ⅲ）若，求的所有可能值的和.
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）C （2）A （3）D （4）D （5） B
（6）D （7）C （8）B （9）A （10）B
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12）， （注：对一空3分，对两空2分） （13）
（14） （15） = 1 \* GB3 ① = 3 \* GB3 ③ = 4 \* GB3 ④（注：对一个2分，对2个4分，对5个5分，选 = 2 \* GB3 ②0分）
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）(本小题12分)
（Ⅰ）解：第项的二项式系数为 ………4分
（Ⅱ）解：展开式中的第项为 ………6分
由已知，令，则，则 ………8分
则的系数为 ………9分
（Ⅲ）解：因为 ………10分
求第项，即时， ………11分
所以第项为 ………12分
（18）（本小题15分）
（Ⅰ）解：. ………2分
（Ⅱ）解：由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名. ………4分
因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为，
学生约有人， ………5分
同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为，
学生人数约有人. ………6分
所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的
学生人数约有人. ………7分
（Ⅲ）解：初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为，
样本人数为人. ………8分
同理，高中生中，阅读时间不足10个小时的学生
样本人数为人. ………9分
故X的可能取值为1，2，3.
则 ， ……… 10分
， ……… 11分
. ……… 12分
所以的分布列为：
……… 13分
所以. ………15分
（18）(本小题14分)
（Ⅰ）解：记“甲投篮1次，且命中”为事件A
记“乙投篮1次，且命中”为事件B
记“甲、乙两人各投篮次，求两人中至少有人投篮命中” 为事件C
由已知， ………1分
由已知， ………2分
法一： ………3分
………4分
………5分
则甲、乙两人各投篮次，两人中至少有人投篮命中概率为
………6分
答：甲、乙两人各投篮次，求两人中至少有人投篮命中的概率
法二：所以 ………4分
………6分
答：甲、乙两人各投篮次，求两人中至少有人投篮命中的概率
（Ⅱ）解：记“甲投篮4次，且至多有2次投篮命中”为事件D
因为甲每次投篮命中的概率为，
记投篮命中次数为,则的取值范围是 ………7分
， ………8分
………9分
………10分
所以 ………11分
答：甲投篮4次，且至多有2次投篮命中的概率为
（Ⅲ）乙投篮命中个球的概率最大. ………14分

（19）（本小题15分）
（Ⅰ）解：当时， 得. ………1分
由已知①
当时，, ②
①-②得. ………2分
所以 . ………3分
所以数列为等比数列，且公比为
因为，所以. ………4分
设数列公差为，
………5分
由得 ………6分
所以. ………7分
（Ⅱ）解：设，前项和
………10分
（Ⅲ）解： ………13分
即，即，解得 ………15分
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ）直线与坐标轴的两个交点为，………1分
由于，所以，， ………3分
所以椭圆的方程为. ………4分
（Ⅱ）设过点的直线为，由题意直线斜率存在，
设方程为，即. ………5分
由，消元得，
整理得. ……… 6分
由 ，可得.………7分
设，则， . ……… 9分
由题意，将，代入得， ………10分
直线的方程为， ……… 11分
令得， ……… 12分
所以
所以，点是线段的中点. ……… 14分
所以， ……… 15分
注：学生如果用其他方法，按步骤给分
（21）(本小题14分）
解（Ⅰ）的所有可能值是，，，，，，，. ……… 4分
（Ⅱ）充分性：若，即.
所以满足，且前项和最小的数列是，，，…，，.
所以
.
所以. ……… 7分
必要性：若，即.
假设，即.
所以，与已知矛盾.
所以. ……… 10分
综上所述，的充要条件是.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，可得. 所以.
因为数列，，，（）中有，两种，有，两种，有，两种，…，有，两种，有一种，
所以数列，，，（）有个，且在这个数列中，每一个数列都可以找到前项与之对应项是相反数的数列.
所以这样的两数列的前项和是.
所以这个数列的前项和是.
所以的所有可能值的和是. ……… 14分
（1）等比数列，，，，的项数为
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）由数字，，，构成的三位数有
（A）个
（B）个
（C）个
（D）个
（3）在等差数列中，，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）在的展开式中二项式系数最大的项是
（A）第项和第项
（B）第项和第项
（C）第项
（D）第项
（5）随机抛掷一颗均匀的骰子，则所得骰子朝上的点数的数学期望是
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）在张奖券中有张一等奖和张二等奖，每次从中抽出张，抽出后不再放回，
则在第次抽到一等奖的条件下，第次抽到二等奖的概率为
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）若，且，则实数值为
（A）
（B）
（C）或
（D）或
（8）设随机变量的分布列为
则的值为
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）设是等差数列，且公差不为，其前项和为，则“”是“ 为递增数列”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（10）已知数列的通项公式， 设，
，若，则的值为
（A）
（B）
（C）
（D）
1
2
3