江西省鹰潭市余江区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份江西省鹰潭市余江区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了已知，下列式子不一定成立的是，如图，在中，，等内容，欢迎下载使用。

说明：1．本试卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间100分钟．
2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）
1．下列图形中，中心对称图形是（ ）
A．B．C．D．
2．某商场的货运电梯只限载货，严禁载人．根据如图所示的标识，货梯运送货物的质量满足的不等关系是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在正方形网格中，格点绕某点顺时针旋转角得到格点，点A与点，点B与点，点C与点是对应点，则（ ）度．
A．B．C．D．
4．已知，下列式子不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，根据所学知识，下列选项中正确的一项是（ ）

A．与互相垂直平分B．垂直平分
C．平分一组对角D．平分一组对角
6．如图，在中，，，平分交于点，为上一点，，连接，则下列说法错误的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题．每小题3分，共18分）
7．如图，用含x的不等式表示数轴上所表示的解集 ．

8．如图，已知线段，分别以点和点为圆心，的长为半径作弧，两弧线相交于点，连接，则的度数为 ．
9．如图，直线交坐标轴于，两点，则不等式的解集为 ．
10．如图，在中，，．将沿着的方向平移至，若平移的距离是3，则四边形的面积是 ．
11．如图，在三角板中，，，，将三角板绕点逆时针旋转，当起始位置时的点恰好落在边上时，的长为 ．

12．如图，在直角坐标系中，A，B的坐标分别为(4，0)，(0，2)，将线段AB向上平移个单位得到连接，如果为等腰三角形，那么m的值为 ．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）解不等式：．
（2）如图，是等边的中线，，垂足为点．若的长度为，求点到的距离．
14．.
15．如图，中，，，点在的垂直平分线上．若，，求的长．
16．每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”．红星中学在“世界读书日”开展“弘扬传统文化，阅读经典名著”主题活动，计划购置一批书籍．已知每本《诗经》25元，每本《论语》18元，该学校决定购买《诗经》和《论语》共100本，总费用不超过2000元，那么该学校最多可以购买《诗经》多少本？
17．已知：如图三条公路，，两两相交，是公路上的两个村庄．求作：加油站，使得到，两条公路的距离相等，且到两个村庄距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，连接．当点在同一条直线上时，求证：
(1)；
(2)．
19．如图，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C′，图中标出了点B的对应点B′．利用网格点和直尺，完成下列各题：
（1）补全△A′B'C’；
（2）连接AA′，BB′，则这两条线段之间的关系是 ；
（3）在BB′上画出一点Q，使得△BCQ与△ABC的面积相等.
20．某餐饮公司销售、两种套餐，已知购买2份套餐和3份套餐共用了84元；1份套餐和2份套餐共用了51元．
(1)求套餐、套餐的单价各多少元：
(2)某单位从该餐饮公司购买、两种套餐共20份，费用不超过330元，求该单位最少能购买多少份套餐．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图1．，点，点分别在射线，上，且．

(1)求证：；
(2)如图2，连接，作，交于点，将沿方向水平向右平移．在的移动过程中，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变，请求出它们之间的数量关系，并证明：若变化，试说明理由．
22．如图，在中，∠C=90°，∠A=30°，BC=12cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题：
(1)t为多少时，是等边三角形？
(2)P、Q在运动过程中，的形状不断发生变化，当t为多少时，是直角三角形？请说明理由．
六、（本大题共12分）
23．将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形．
(1)在图中，点在上，与交于点，求证：是等腰三角形；
(2)如图，连接，当点在上时，求证：；
(3)当时，求旋转角．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【解答】A.不是中心对称图形，故A不符合题意；
B.是中心对称图形，故B符合题意；
C.不是中心对称图形，故C不符合题意；
D.不是中心对称图形，故D不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．D
【分析】本题考查列不等式．正确的识图，确定不等关系，是解题的关键．
【解答】解：由图可知：；
故选：D．
3．C
【分析】先连接，，作，的垂直平分线交于点，连接，，再由题意得到旋转中心，由旋转的性质即可得到答案．
【解答】解：如图，连接，，作，的垂直平分线交于点，连接，，
∵，的垂直平分线交于点，
∴点是旋转中心，
∵，
∴旋转角，故C正确．
故选：C．
【点拨】本题考查了旋转的性质，灵活利用旋转中心到对应点的距离相等这一性质确定旋转中心是解题的关键．
4．D
【分析】根据不等式的基本性质即可进行解答．
【解答】解：A、不等式两边同时减去一个相同的数，不等号的方向不变，故A成立，不符合题意；
B、不等式两边同时乘以一个相同的负数，不等号的方向改变，故B成立，不符合题意；
C、∵，
∴，
∴；故C成立，不符合题意；
D、∵，，
∴，故D不成立，符合题意；
故选∶D．
【点拨】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．不等式性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．不等式性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
5．C
【分析】由线段垂直平分线的判定可知是的垂直平分线，不一定是的垂直平分线，从而可判断A、B选项错误；通过证明可得，，可判定C选项正确；根据轴对称的性质可判定D选项错误．
【解答】解：∵，
∴点D在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点B在线段的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线，
∴垂直但不平分，
∵和不一定相等，和不一定相等，
∴不一定是的垂直平分线，故A，B选项错误；
在和中，
，
∴，
∴，，
∴对角线平分，，故C选项正确；
直线是筝形的对称轴，不是，故D选项错误．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，对称性，解本题的关键是判断出．
6．D
【分析】根据直角三角形知识得到，进而得到，即可判断选项A正确；根据得到，即可判断选项B正确；根据，，得到，进而得到，即可判断选项C正确；根据角平分线的性质得只有当时，，根据，得到，这与已知矛盾，即可判断选项D错误．
【解答】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
故选项A正确；
∵,
∴，
故选项B正确；
∵，，
∴，
∴,
故选项C正确；
根据角平分线的性质得只有当时，，
又∵，
∴，
这与已知矛盾，
故选项D错误．
故选：D
【点拨】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质等知识，综合性较强，熟知相关定理并根据题意逐项判断是解题关键．
7．
【分析】根据数轴即可得到答案．
【解答】由数轴可知数轴上所表示的解集为，
故答案为：
【点拨】此题考查了用数轴表示不等式的解集，数形结合是解题的关键．
8．##
【分析】根据作图得出为等边三角形，根据等边三角形的性质，即可得出答案．
【解答】解：根据作图可知，，
∴为等边三角形，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，是解题的关键．
9．
【分析】本题考查了 不等式的性质，一次函数与不等式的解集．数形结合是解题的关键．
由不等式的性质可得不等式，根据解集为一次函数图象在x轴上方所对应的x的取值范围，结合图象作答即可．
【解答】解：∵，
∴，
由图象可知，不等式的解集为，
故答案为：．
10．24
【分析】本题考查了平移的性质，先根据平移的性质得，，于是可判断四边形为平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式计算即可．
【解答】∵直角沿边平移3个单位得到直角，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴．
故答案为24．
11．
【分析】本题主要考查了含较的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质和旋转的性质，
由直角三角形的性质可求得BC的长，然后由旋转的性质和等边三角形的判定定理可得到是等边三角形，从而得到，问题随之得解．
【解答】解：∵，，，
∴，，
∵由旋转的性质可知，，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
12．2或3或
【分析】根据A、B的坐标分别为（4，0），（0，2），得到OA=4，OB=2，根据勾股定理得到AB=，由将线段AB向上平移m个单位得到A’B’，得到A’B’=，根据△OA’B’为等腰三角形，①当OB’=A’B’=时，②当OA’=A’B’=时，③当OB’=A’O=2+m时，分别求得m的值即可．
【解答】解：∵A、B的坐标分别为（4，0），（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∴AB=，
∵将线段AB向上平移m个单位得到A′B′，
∴A′B′=，
∵△OA′B′为等腰三角形，
∴①当OB′=A′B′=时，
∴m=BB′=-2；
②当OA′=A′B′=时，m=AA′=2，
③当OB′=A′O=2+m时，
∴2+m=，
∴m=3，
综上所述，如果△OA′B′为等腰三角形，那么m的值为2或3或-2．
故答案为：2或3或-2．
【点拨】此题主要考查了坐标与图形的变化--平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
13．（1）；（2）
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，等边三角形的性质，角平分线的性质，根据一元一次方程和一元一次不等式的解法解答是解答此题的关键．
（1）根据一元一次不等式的解法解答即可；
（2）过点作，垂足为，利用等腰三角形的三线合一性质可得平分，然后利用角平分线的性质即可解答．
【解答】（1）解：去分母得：，
去括号得：
移项合并得：，
系数化1，得：，
原不等式的解集为：；
（2）解：过点作，垂足为，
是等边的中线，
平分，
，
，
点到的距离为．
14．−1⩽x<2
【分析】分别求出各不等式的解集，再根据小大大小中间找求出其公共解集即可．
【解答】，
由①得x⩾−1，
由②得x<2，
原不等式的解为−1⩽x<2
【点拨】此题考查解一元一次不等式组，解题关键在于掌握运算法则
15．11cm
【分析】因为AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，由垂直平分线的性质得AB=AC=CE，即可得到结论．
【解答】∵，，
∴．
又∵点在的垂直平分线上，
∴，
∴．
∵，
∴．
【点拨】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，利用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答此题的关键．
16．28本
【分析】设该学校购买《诗经》x本，抓住购买《诗经》和《论语》共100本，总费用不超过2000元，列不等式，求解即可．
【解答】解：设该学校购买《诗经》x本，
由题意得，25x＋18(100－x)≤2000，
解得，x≤．
∵x为正整数，且＝，
∴x最大为28，
∴该学校最多可以购买《诗经》28本．
【点拨】本题考查列一元一次不等式解应用题，掌握一元一次不等式解应用题方法与步骤，抓住购买《诗经》和《论语》共100本，总费用不超过2000元构造不等式是解题关键．
17．见解析
【分析】此题主要考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质的应用以及作法，关键是熟练掌握角平分线、线段垂直平分线的基本作图方法．
作的平分线，再作线段的垂直平分线，两线的交点就是所求点．
【解答】解：如图，分别作的平分线、线段的垂直平分线，相交于点，则点即为所求．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）直接利用证明两三角形全等即可；
（2）先证明是等腰直角三角形，然后利用勾股定理解题即可．
【解答】（1）在和中，
，
；
（2）点A，D，E在同一条直线上，
，
又
，
是等腰直角三角形，
，
．
19．（1）见解析；（2）平行且相等；（3）见解析
【分析】（1）根据平移的方向和距离，即可得到；
（2）根据平移的性质可得，AA′，BB′这两条线段之间的关系是平行且相等；
（3）根据同底等高的三角形面积相等，即可得到满足要求的Q点．
【解答】解：（1）如图所示，连接，过点C作的平行线m，在m上截取，则点就是点的对应点；过点A作的平行线n，在n上截取，点就是A的对应点，顺次连接得；
（2）由平移可得，AA′，BB′这两条线段之间的关系是平行且相等；
故答案为：平行且相等；
（3）如图所示，根据同底等高的三角形面积相等，过A作BC平行线k与BB′的交点即为点Q．
【点晴】本题主要考查了利用平移变换作图和平移的性质，解题的关键是要掌握平移作图的方法和熟记平移的性质．
20．(1)A套餐的单价为15元，B套餐的单价为18元
(2)10份
【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用，
（1）设套餐的单价为元，套餐的单价为元，列出二元一次方程组，即可作答；
（2）设该单位购买份套餐，则购买份套餐，根据题意列出一元一次不等式，问题随之得解．
【解答】（1）设套餐的单价为元，套餐的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
即：A套餐的单价为15元，B套餐的单价为18元；
（2）设该单位购买份套餐，则购买份套餐，
根据题意得：，
解得：，
该单位最少能购买10份套餐．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角性质，熟练掌握平行线的判定与性质及三角形外角性质是解题的关键．
（1）根据两直线平行，同旁内角互补，可得，又，可得，再根据同旁内角互补，两直线平行，即得答案；
（2）根据两直线平行，内错角相等，可得，又，所以，再根据三角形的外角性质，即得，故与之间的数量关系不变．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）与之间的数量关系不变，．
理由如下：
，
，
，
，
．
22．(1)
(2)或6，理由见解析
【分析】（1）根据题意可得AP=2tcm，BQ=tcm，根据直角三角形的性质可得AB=2BC=24cm，从而得到PB=24-2t，然后根据等边三角形的性质可得关于t的方程，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当∠BPQ=90°时，当∠PQB=90°时，结合直角三角形的性质，即可求解．
【解答】（1）解：根据题意得：AP=2tcm，BQ=tcm，
∵∠C=90°，∠A=30°，BC=12cm，
∴AB=2BC=24cm，
∴PB=24-2t，
∵是等边三角形，
∴PB=BQ，
∴24-2t=t，解得：t=8，
即t为8时，是等边三角形；
（2）解：当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠PQB=30°，
∴BQ=2PB，
即t=2(24-2t)，解得：t=；
②当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠QPB=30°，
∴PB=2BQ，
即24-2t=2t，解得：t=6
综上所述，当t为或6时，是直角三角形．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
23．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)或．
【分析】()证明即可求证；
()只需要利用证明，即可证明；
()当时，点在的垂直平分线上，据此分两种情形：当点在右侧时，取的中点，连接交于，证明是等边三角形，得到，则旋转角；当点在左侧时，同理可得是等边三角形，可得；
本题考查了旋转的性质，余角性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【解答】（1）证明：和是矩形，
，，
∴，
矩形是由旋转而得，
，
∴，
∵，
∴，，
∴，
，
是等腰三角形；
（2）证明：将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，
，，，
，，，
，
，
；
（3）解：当时，点在的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
当点在右侧时，取的中点，连接交于，
，
∴，
，
垂直平分，
，
是等边三角形，
，
∴旋转角；
当点在左侧时，同理可得是等边三角形，
，
旋转角．
综上所述，当时，或．