2024年广东省揭阳市榕城区中考一模数学试题（含解析）

这是一份2024年广东省揭阳市榕城区中考一模数学试题（含解析），共26页。

1、全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟．
2、答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号、用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑．
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．1B．C．0D．
3．反比例函数的图象经过点A(3，2)，下列各点在此反比例函数图象上的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的周长之比为（ ）
A．B．C．D．
5．关于x的一元二次方程x2+3x-1=0的根的情况（ ）
A．无实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法确定
6．过点和点作直线，则直线（ ）
A．平行于轴B．平行于轴
C．与轴相交D．与轴垂直
7．如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
8．已知关于的方程的解是负数，则的取值范围是（ ）
A．B．且
C．D．且
9．如图，抛物线经过点，l是其对称轴，则下列结论：①；②；③；④；其正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．连接，若平分，且正方形的面积为3，则正方形的面积为（ ）
A．B．C．D．15
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解： ．
12．民之所盼，我之所呼．人民网发布了2月份参与全国两会的第22次调查人数共计超过581万人次，其中数据“5810000”用科学记数法可表示为 ．
13．东西塔是泉州古城的标志性建筑之一．如图，某课外兴趣小组在距离西塔塔底A点50米的C处，用测角仪测得塔顶部B的仰角为，则可估算出西塔的高度为 米．（结果保留整数，参考数据：，，）．
14．深圳某校举办了“博古通今，学史明智”的历史事件讲述大赛，选题有“鸦片战争”“香港回归”“改革开放”．八、九年级分别从中随机选择一个不同事件进行比赛，则八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的概率为 ．
15．如图所示，是半圆的直径，将直径绕点顺时针旋转得对应线段，若，则图中阴影部分的面积是 ．

16．如图，在矩形中，，，点P为边上一动点，连接交对角线于点E，过点E作，交于点F，连接交于点G，在点P的运动过程中，面积的最小值为 ．
三、解答题（本大题4小题，其中17-18题各4分，19-20题各6分，共20分）
17．计算：．
18．端午佳节来临之际，某社区决定购买鲜肉粽和蜜枣粽共200只慰问社区困难家庭，超市里鲜肉粽每只5.5元，蜜枣粽每只3.5元，如果预算资金不超过1000元，请问最多能购买鲜肉粽多少只？
19．先化简，再求值：，其中为方程的解．
20．已知：如图，为锐角三角形．
求作：以为一边作，使，．
作法：①作边的垂直平分线；②作边的垂直平分线，与直线交于点O；③以O为圆心，为半径作；④连接并延长，交于点M，连接；即为所求作的三角形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，与交于点O
∴
∴点A、B、C都在上
∵为的直径
∴______°
∵
∴（_____________）（填推理依据）
∴即为所求作的三角形．
四、解答题（本大题3小题，其中21题8分，22-23各10分，共28分）
21．为了解学生寒假阅读情况，某学校进行了问卷调查，对部分学生假期的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为（小时），阅读总时间分为四个类别：，，，，其中类别的具体数据为：3，1，5，9，11，5，6，8，9，5，10，5；现将分类结果制成如下两幅统计图（尚不完整）．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次抽样的样本容量为______，类别具体数据中，众数为_______；
(2)补全条形统计图；
(3)扇形统计图中的值为_______，圆心角的度数为_______；
(4)若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？
22．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，，与两坐标轴分别交于，两点，连接，．
(1)求出一次函数的表达式和的值；
(2)请直接写出当时，的解集；
(3)若点在轴上，且，求点的坐标．
23．如图，点是矩形的边延长线上一点，点是的中点．
(1)如图①，若点，分别是，的中点；
①判断和之间的关系，并说明理由；
②求证：；
(2)如图②，若，连接，．求证：．
五、解答题（本大题2小题，每小题12分，共24分）
24．在北京冬奥自由式滑雪女子大跳台决赛上，中国选手谷爱凌凭借精彩发挥夺得金牌，创造历史．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，图是跳台比赛场地的示意图，在图中取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方米的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动，当运动员运动到离处的水平距离为米时，离水平线的高度为米，解答下列问题：
(1)求山坡坡顶的高度为______ ，抛物线的函数解析式为______ ；
(2)当运动员与点的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同；
(3)运动员从点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是多少米？
(4)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，直接写出的取值范围．
25．约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”．例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，那么称为关于边的“优美三角形”．
(1)在图2中的中，若，则______（填“是”或“不是”）关于边的“优美三角形”；
(2)如图3，已知为关于边的“优美三角形”，点是边的中点，以为直径的恰好经过点．求证：直线与相切；
(3)已知为关于边的“优美三角形”，，，求的面积．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
选项B能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点拨】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．D
【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数．
【解答】解：A、是整数，属于有理数，故不符合题意；
B、是分数，属于有理数，故不符合题意；
C、0是整数，属于有理数，故不符合题意；
D、是无理数，故符合题意；
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了图象与点的关系，代入解析式，计算判断即可．
【解答】解：∵反比例函数，
∴，
A、∵，
∴点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴点在反比例函数图象上，故本选项符合题意；
D、∵，
∴点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了位似的概念和性质，根据题意求出，根据相似三角形的性质求出即可求解，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键．
【解答】解：∵，
∴，
∵和是以点O为位似中心的位似图形，
∴，，
∴，
∴，
∴和的周长之比为，
故选：．
5．C
【分析】先根据根的判别式求出△的值，再判断即可．
【解答】解：x2+3x﹣1＝0，
△＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
所以一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选C．
【点拨】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
6．B
【分析】本题考查了坐标与图形，根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相等，平行于轴的直线上的点的横坐标相等结合点的坐标即可得出答案．
【解答】解：平行于轴的直线上的点的纵坐标相等，平行于轴的直线上的点的横坐标相等，且点和点的纵坐标相等，
直线平行于轴，
故选：B．
7．C
【分析】先根据等边三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得的度数，由平行线的性质可得同旁内角互补，可得结论．
【解答】解：如图，

∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．
8．B
【分析】本题考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数，先解分式方程得出，根据解是负数得出，且，求解即可得出答案．
【解答】解：去分母得：，
解得：，
关于的方程的解是负数，
，且，
解得：且，
故选：B．
9．D
【分析】根据开口方向向上，对称轴在轴右侧以及抛物线与轴交于负半轴即可判断①，根据经过点，即可判断②，根据对称轴，即可判断③，根据，，即可判断④
【解答】解：①∵抛物线开口向上，则，对称轴为，则，抛物线与轴交于负半轴，则
∴
故①正确，
②抛物线经过点，
故②正确
③，
故③正确
，，
故④正确，
故选D
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与各系数的关系，解题的关键在于求出系数的取值范围，以及一些特殊取值时函数值的大小．
10．A
【分析】设直角三角形的长直角边是，短直角边是，得到，由，得到，由，得到，因此，由，得到，即可求出，的值，由勾股定理即可解决问题．
【解答】解：设直角三角形的长直角边是，短直角边是，
正方形的边长是，
正方形的面积为3，
，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
正方形的面积是．
故选：A．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，关键是求出直角三角形的直角边的长，由勾股定理即可解决问题．
11．a（a+1）2
【分析】先提取公因式a，再对余下的项利用完全平方公式继续分解因式．完全平方公式：a±2ab+b=（a±b）
【解答】：a3+2a2+a，
=a（a2+2a+1），
=a（a+1）2．
【点拨】此题考查提公因式法与公式法的综合运用，掌握运算法则是解题关键
12．
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【解答】数据“5 810 000”用科学记数法可表示为．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了仰角，解直角三角形，根据,计算即可．
【解答】根据题意，，，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：“香港回归”和“改革开放”发生于新中国成立以后．
将“鸦片战争”“香港回归”“改革开放”分别记为，，，
列表如下：
共有6种等可能的结果，其中八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的结果有：，，共2种，
八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的概率为．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查的是扇形面积的计算及图形旋转的性质，连接，根据题意，用扇形的面积减去扇形的面积，再减去的面积即可．
【解答】解：连接，

由旋转的性质得：，
由圆周角性质可得，
，
，
的面积，
扇形的面积，
扇形的面积，
阴影部分的面积，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了解直角三角形，直角所对的弦是直径．根据勾股定理可得，延长至点H，使，可得，设，则，可得，再证出A，B，E， F四点共圆，可得，过点A作于点M，根据三角形的面积公式可得，设，可得当时，取得最小值，即，当时，取得最小值，即可．
【解答】解：在矩形中，，，，
∴，
如图，延长至点H，使，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴A，B，E，F四点共圆，
∴，
过点A作于点M，如图，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
且当时，取得最小值，即，
∴当时，取得最小值，
根据题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
17．
【分析】根据零次幂及特殊三角函数值可进行求解．
【解答】解：原式
．
【点拨】本题主要考查零次幂及特殊三角函数值，熟练掌握各个运算是解题的关键．
18．150只
【分析】设购买鲜肉粽x只，由题意列不等式求得x的取值范围即可求解．
【解答】解：设购买鲜肉粽x只，由题意得，
5.5x+3.5（200﹣x）≤1000，
解得x≤150，
∵x为整数，
∴x的最大值为150，
答：最多能购买鲜肉粽150只．
【点拨】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系．
19．，
【分析】利用平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把代入化简后的式子进行计算，即可解答；
本题考查了整式的混合运算，化简求值，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【解答】解：原式
，
，
，
当时，原式．
20．(1)见解析
(2)90，同弧（或等弧）所对的圆周角相等
【分析】（1）按照所给方法作图即可；
（2）根据直径所对的圆周角为90度可得，根据同弧（或等弧）所对的圆周角相等，可得．
【解答】（1）解：尺规作图，如下所示：
（2）证明：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，与交于点O
∴
∴点A、B、C都在上
∵为的直径
∴
∵
∴（同弧（或等弧）所对的圆周角相等）
∴即为所求作的三角形．
故答案为：90，同弧（或等弧）所对的圆周角相等．
【点拨】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的作法及性质、圆周角定理，解题的关键是找出外接圆的圆心．
21．(1)60，5小时
(2)见解析
(3)20，
(4)1000名
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，样本容量和众数等等：
（1）用B类别的人数除以其人数占比可得参与调查的人数，即得到样本容量，再根据众数的定义求出A类别数据中的众数即可；
（2）先求出C类别的人数，再补全统计图即可；
（3）用2000乘以样本中寒假阅读的总时间少于24小时的学生人数占比即可得到答案．
【解答】（1）解：人，
∴参与调查的人数为60人，即样本容量为60；
∵A类别具体数据中5小时出现了4次，出现的次数最多，
∴A类别具体数据中的众数为4，
故答案为：60；5小时；
（2）解：C类别的人数为人，
补全统计图如下：
（3）解：∵，
∴，
，
故答案为：20；；
（4）解：名，
∴估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有1000名．
22．(1)，
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）把点，代入一次函数解析式求出的值即可得出解析式，利用待定系数法即可得出的值；
（2）结合函数图象即可得出答案；
（3）先求出的面积，再根据三角形面积公式计算即可得出答案．
【解答】（1）解：点，在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的解析式为，
点在反比例函数的图象上，
；
（2）解：由图象可得：当时，的解集为或；
（3）解：由直线可知，
，
，，
设，由得，
，
，
，
点的坐标为或．
23．(1)①，；理由见解析；②见解析
(2)见解析
【分析】（1）①证明是的中位线，得出，，由H是的中点，得出，由矩形的性质得，，即可得出，；
②由直角三角形斜边上的中线性质得，则，由(1) 结论得四边形是平行四边形，得出，则，即可得出结论．
（2）先证明，进而可证明，得，结合即可证明结论
【解答】（1）①解：判断：，；理由如下：
∵点，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵H是的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，；
②证明：∵四边形是矩形，
∴
∵G是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，即；
（2）证明：连接，如图②所示：
∵四边形是矩形，
∴，，
∴
∵F是的中点，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴
∵，F是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了直角三角形斜边的中线性质、三角形的中位线、矩形的性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，利用线段之间的关系以及直角三角形斜边的中线、三角形的中位线性质证明线段之间的关系是解题关键.
24．(1)；；
(2)当运动员与点的水平距离是，运动员和小山坡到水平线的高度相同；
(3)运动员与小山坡的高度差最大是米；
(4)．
【分析】（）山坡坡顶的高度即为的最大值；根据题意将点和代入：求出、的值即可写出的函数解析式；
（）令，解方程即可；
（）设运动员与小山坡的高度差为，根据题意得，由函数的性质可以求出的最大值．
（）根据题意列不等式，解出的取值范围即可；
本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
【解答】（1），
当时，取最大值；
由题意可知抛物线：过点和，将其代入得：
，
解得：，
∴抛物线的函数解析式为：；
故答案为：；；
（2）当运动员和小山坡到水平线的高度相同时，
，
整理得：，
解得：，舍去，
∴当运动员与点的水平距离是，运动员和小山坡到水平线的高度相同；
（3）设运动员与小山坡的高度差为，
则，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴运动员与小山坡的高度差最大是米；
（4）由（）知，抛物线的顶点为，
∴当时，运动员运动到坡顶正上方，
∵，
∴，
∴与坡顶距离超过米，
∴，
解得：，
∴的取值范围是：．
25．(1)是
(2)见解析
(3)或或
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆的切线的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用两边成比例，夹角相等证明，即可得解；
（2）连接，证明，得出，即可得证；
（3）过点作于，分两种情况：若；若；分别求解即可得出答案．
【解答】（1）解：为边上的中线，，
，
，
，
，
是关于边的“优美三角形”，
故答案为：是；
（2）证明：如图，连接，
，为关于边的“优美三角形”，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
是的半径，
直线与相切；
（3）解：如图，过点作于，
，为关于边的“优美三角形”，，
，
若，则，
，
在中，，则，
；
若，则，
，
在中，，设，则，，
，
由勾股定理得：，即，
解得：，
；
综上所述，的面积为或或．