人教A版（2019）高中数学必修一讲义13阶段复习

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阶段复习一、 集合1. 已知全集 ， ， ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）．A. B.C. D.【答案】C【解析】∵全集，，，∴ ，∴ ，则图中阴影部分表示的集合为．故选 ．【标注】【知识点】维恩图；交、并、补集混合运算2. 已知集合 ， ，则 （ ）．A. B.C. D.【答案】D【解析】，利用二次不等式的解法可得或， 所以．【标注】【知识点】交集3. 设全集 ，集合 ， ，则 （ ）．A. B.C. D.【答案】B【解析】∵，∴．故选： ．【标注】【知识点】交、并、补集混合运算4. 集合 ， ，若集合 满足 ， ，则集合 的个数是 ．【答案】【解析】若，则满足，；若 ，由 ， 知， 是由属于 且属于 的元素构成，此时集合 可能为 ， ， ．【标注】【知识点】子集个数的计算5. 已知集合 ， ．（ 1 ）当 时，求 ．（ 2 ）若 ，求实数 的取值范围．【答案】（ 1 ） ．（ 2 ） ．【解析】（ 1 ）当 时， ，∵ 或 ，∴ ．（ 2 ）∵ ，∴ ，若 ，则 ，即 或 ，即 或 ，故 的取值范围是 ．【标注】【知识点】交集；连续性集合运算中的含参问题6. 请在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题（ ）中．已知集合（ 1 ）化简集合 ， ．，集合．（ 2 ）若 ，求实数 的取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】（ 1 ） ； ．（ 2 ）若①， ；若②， ；若③， ．【解析】（ 1 ）由 得 ，∴ ，即 ，由 得 ，∵ ，∴ ，即（ 2 ）若①，．∵ ，∴ ，解得： ，则实数 的取值范围为 ；若②，易知，若，则，解得 ，则实数 的取值范围为 ；若③，若，则 或 ，解得 或 ，则实数 的取值范围为 ．【标注】【知识点】一元二次不等式；分式不等式；集合关系中的含参问题7. 已知集合 为非空数集，定义：， ．（ 1 ）若集合（ 2 ）若集合，直接写出集合 ， ．，，且，求证：．（ 3 ）若集 ， ，记 为集合 中元素的个数，求 的最大值．【答案】（ 1 ），．（ 2 ）证明见解析．（ 3 ） ．【解析】（ 1 ） ， ， ，则 ，， ，∴ ．（ 2 ） 中必有 ，则 ，∴ ，则，则 ， ， 必与 ， ， ， 中的一个相等，任 ， ， 均小于 ，大于 ，故 ， ， 必定与 ， 中的一个相等，而 ，故 ，∴ ，∴ ，即（ 3 ）设，得证．且，则，∴ 至少有 个元素，又∵ ，∴ 至少有 个元素，∵ ，则 ，至少有 个元素，而中最小的元素为 ，最大的元素为 ，中元素个数至多为 ，∴ ，∴ ，当 时，满足条件．∴ 中元素个数的最大值为 ．【标注】【知识点】集合的概念；集合中元素的个数；综合法与分析法8. 已知集合 ．若 ，且对任意的 ，，均有 ，则集合 中元素个数的最大值为（ ）．A. B. C. D.【答案】D【解析】由题知，，若，，则 ，解得 ，故横，纵坐标相等的点在集合 中至多一个．不妨设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ，， 都是集合 中的元素，故符合题意的集合 中可以有 个元素．假设 且 ， ，所以 与 矛盾，则假设不成立，故符合题意的集合 中至多有 个元素，所以集合 中元素个数的最大值为 ．【标注】【知识点】子集；描述法9. 已知集合 ，对于， ，定义 与 之间的距离为：，若集合 满足： ，且任意两元素间的距离均为 ，则集合 中元素个数的最大值为（ ）．A. B. C. D.【答案】A【解析】 中含有 个元素，可将其看成正方体的 个顶点，集合 中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体对角线的两个端点，∴ 或，∴集合 中元素个数最大值为 ．故选 ．【标注】【知识点】归纳推理二、 常用逻辑用语10. 下列四个结论中正确的是（ ）．A. 命题：“ ， ”的否定是“ ， ”B. 命题“至少有一个整数 ， 是 的倍数”是真命题C. “ 且 ”是“ ”的充要条件D. 当 时，幂函数 在区间 上单调递减【答案】AD【解析】A 选项：命题“，”的否定为“ ， ”，正确；B 选项：假设命题为真，则 为偶数，∴ 为奇数，即 为奇数，设 ， ，则C 选项：“且，即”可得“除以 余数为 ，矛盾，错误；”成立，“ ”不能得到“ 且 ”，不正确；D 选项：当 时， 在 上单调递减，正确．故选 A D .【标注】【知识点】幂函数的图象及性质；全称量词命题与存在量词命题的否定；充要条件与不等式结合11. 若命题“ ，使得 ”为假命题，则实数 的取值范围是（ ）．A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意知：命题“，使得”的否定为，“ ，都有 ”，由于命题“ ，使得 ”为假命题，则其否定为“ ，都有 ”，为真命题，即 ，解得 ，则实数 的取值范围为 ，故选 ．【标注】【知识点】一元二次不等式【素养】数学运算12. 设函数 的定义域为集合 ．不等式 的解集为集合 ．（ 1 ）求集合（ 2 ）设 ：．， ：，且 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．【答案】（ 1 ） ．（ 2 ） ．【解析】（ 1 ）∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ 即 ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ．（ 2 ）记 ： ．∵ 是 的充分不必要条件，∴ 即 ，∴ 的取值范围是 ．【标注】【知识点】充要条件与集合结合；交集13. 下列说法正确的是（ ）．A.B.““”是“ ”的必要不充分条件”是“关于 的方程有一正一负根”的充分不必要条件C. 若 是 的充分条件，则 是 的必要条件D. “函数 在区间 上单调递增”的充要条件是“ ”【答案】BC【解析】A 选项：若，则；若，则，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，故 选项错误．B 选项：若，则，令 的两根分别为 ， ，则 ， ，故 有一正一负根．若 有一正一负根，则 ，解得 ．所以“ 是“关于 的方程 有一正一负根”的充分不必要条件．故选项 正确．C 选项：若 是 的充分条件，则 是 的必要条件，选项 正确．D 选项：若函数 在区间 上单调递增，则 ，解得 ，故选项 错误．故选 B C .【标注】【知识点】充要条件与不等式结合；充要条件与其他知识点结合14. ， 表示不超过 的最大整数，十八世纪， 被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则下列命题中是真命题的是（ ）．A. ，B. ， ，C.D.函数若存在的值域为，使得，，， ，同时成立，则正整数 的最大值是【答案】BCD【解析】A 选项：当 为整数时，若，当 不为整数时 ，∴ ，故 错误；B 选项：由定义可得，对 ，，，，，∴ ，∴ ，∴ ，故 正确．C 选项：由 可知 ,x为整数时等号成立故 的值域为 ﹐故 正确；D 选项：若，，， ，同时成立，则 ， ， ， ，，∵，若，则不存在 使，，只有时，存在 满足，故正整数 的最大值为 ，故 正确．故选 B C D .【标注】【知识点】取整函数（高斯函数）三、 不等式15. 下列四个命题中，真命题是（ ）．A. 若 且 ，则B.C.若若，则，则D. 若 ，则【答案】ACD【解析】A 选项：，∵ ，∴B 选项：若，∴，比如，故 正确；，，则 ，故 错误；C 选项： ，∵ ，∴ ，∴ ，故 正确；D 选项：由 ， 且 可知，，当且仅当 即 ， 时，等号成立，故 正确．故选 A C D .【标注】【知识点】倒数和形式；作差法比较大小16. 若一元二次不等式 的解集为 ，则 的值为 ．【答案】【解析】若一元二次不等式的解集为，则 且 和 是 的两根，则 ，解得 ， ，则 ．故答案为： ．【标注】【知识点】已知解集求参问题17. 设 ， ，且 ，则 （ ）．A. 有最小值为 B. 有最小值为C. 有最小值为 D. 无最小值【答案】C【解析】∵，，且，∴，则有最小值为．故选 ．【标注】【知识点】利用基本不等式求最值18. 若正实数 ， ，满足 ，则 最小值为（ ）．A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意，若正实数 ， ，满足，则 ，当且仅当 时等号成立，即 的最小值为 ．故选 ．【标注】【知识点】倒数和形式；利用基本不等式求最值；基本不等式的实际应用19. 若关于 的不等式 对于一切 恒成立，则实数 的取值范围是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴ ，① 时，方程 无解，即不等式 恒成立，则 ．② 时，若 在 恒成立，则 ，∴ ，∵ 或 ，∴ ．综上所述， 的取值范围是．故选 ．【标注】【知识点】已知解集求参问题20. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示， 为线段 上的点，且 ， ， 为 的中点，以 为直径作半圆．过点 作 的垂线交半圆于 ，连结 ， ， ，过点 作 的垂线，垂足为 ．则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）．A. B. C.D.【答案】AC【解析】根据图形，在 中，利用射影定理得：，所以 ，即 ，由于 ， ，所以 ．同理，在，利用射影定理得：，所以 ，由于 ，所以 ．故选： ．【标注】【知识点】二元不等式链的应用21.若对任意使得关于 的方程有实数解的 ， ， 均有，则实数 的最大值是（ ）．A. B. C. D.【答案】B【解析】方法一：设关于 的方程的实数解为 ， ，则 ， ，于是．右侧代数式的最小值为 ，因此所求实数 的最大值为 ．故选 ．方法二：根据题意，不妨设，则，且，记右侧代数式为情形一：，此时 ．情形二： ，此时 ．当 时第二个不等式取到等号．综上所述，实数 的最大值为 ．故选 ．【标注】【知识点】韦达定理22. 已知 ， ， 为正实数，则代数式的最小值是．【答案】【解析】令，则 ，．【标注】【知识点】多元均值不等式的应用四、 函数的概念与性质23. 函数 的定义域为 ．【答案】【解析】解：要使有意义，则，可得．【标注】【知识点】求具体函数（包括复合函数）的定义域24. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）．A.B.，，C. ，D. ，【答案】B【解析】A 选项：定义域为，定义域为，故 错；B 选项：∵，∴ 和C 选项：是同一个函数，故 对；定义域，定义域为，故 错；D 选项：∵，∴ ，则 定义域为 ，∵ ，∴ 或 ，则 定义域为 ，故 错．故选 B .【标注】【知识点】相同函数25. 在同一坐标系中，函数 与 的图像可能是（ ）．A. B.C. D.【答案】A【解析】由图可知，选项： 开口向上， ，一、二、三象限， ， ，无矛盾之处，故 正确，故 错误；选项： 开口向下， ，一、二、三象限， ， ，矛盾，故 错误，故 错误．故选 ．【标注】【知识点】函数图象的识别问题26. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则函数 的图象大致是（ ）．A. B.C. D.【答案】B【解析】由题得，得，得 ，得 ，所以 为奇函数，故 错误．，故 错误．当 时，得 ，∴ ，故 错误．综上所述选 ．【标注】【知识点】函数图象的识别问题；平移变换问题27. 函数 是定义在 上的增函数，如果对于任意正实数 ， ，恒有 ，且，则不等式 的解集是 ．【答案】【解析】∵，，∴ ，则不等式 等价为 ，∵函数 在定义域 上为增函数，∴不等式等价为 ，即 ，解得 ，∴不等式的解集为．故答案为： ．【标注】【知识点】利用函数单调性解不等式；抽象函数28. 已知函数在区间上的最大值和最小值分别为 ， ，则 ．【答案】【解析】，令 ，则 ，，为奇函数，对称中心为，∴ ，对称中心为 ，∵ 在区间 上的最大值和最小值分别为 ， ，∴ ．【标注】【知识点】利用奇偶性求值29. 函数 的函数值表示不超过 的最大整数，例如： ， ．若，则 中所有元素的和为 ．【答案】【解析】当时，，，∴ ，当 时， ， ，∴ ，当 时， ， ，∴ ，当 时， ， ，∴ ，当 时， ， ，∴ ，∴ 中元素之和为： ．故答案为： ．【标注】【知识点】函数求值问题；分段函数30. 设函数 的定义域 ，且满足：① 时 ；② ， ， ．则下列说法正确的是（ ）．A. 是奇函数 B. 是偶函数C. 在定义域上是减函数 D. 在定义域上是增函数【答案】AC【解析】奇偶性：在②式中，令，则②变为③令 得 ，则，四代③式：，∴ 为奇函数，故 正确，故 错误；单调性：任取 ，且，，∵ 且 ， ，∴ ，，，∴ ，∵ 时， ，∴ ，即 ，又 ，∴ 在 上单调递减，故 正确；故 错误．【标注】【知识点】抽象函数31.若函数 对于任意 都满足 ，则 的最小值是 ．【答案】【解析】解：提示：，又，所以，所以．令 ，则，所以 的最小值是 ．【标注】【知识点】函数的概念32. 已知函数 ， ，则不等式 的解集为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，函数，其图象大致为：若，则有，解可得： ，即不等式的解集为 ；故选：A．【标注】【知识点】利用函数单调性解不等式33. 已知函数 ．（ 1 ）判断函数 在 上的单调性，并用函数单调性定义证明．（ 2 ）关于 的方程 有 个不同的实数根 ．则：1 2．求 ， 满足的条件．（直接写出答案）【答案】（ 1 ）（ 2 ）1在上单调递减，证明见解析．2 ， ．【解析】（ 1 ） 在 上单调递减，证明：任取 ，则，∴ ，∴ 在 上单调递减．（ 2 ）1 ∵ 的定义域为 ，且 ，∴ 为奇函数，∵ 在 上单调递减，∴ 在 上单调递减，∴ 图象的如图所示：令 ，则方程 有 个不同的实根，故 定有 个不同的实数解，且 必为方程 的解，否则会有 个解，故 ，∵ 且 ，∴ ， ，∴ ，∴ 的另一个解为 ，若 ，则 ，故由韦达定理知： ，若 ，则 ，故由韦达定理知： ，∴ ．2 由（ ）知，， ．【标注】【知识点】用定义法证明函数的单调性；利用函数图象研究方程根的分布问题（图象与零点综合）34.已知函数 ，对于给定的 （ 且 ），存在，使得 ，则 的最大值为（ ）．A. B. C. D.【答案】C【解析】 的最大值为 ，首先当 时，取 ，则 ， ，符合题意，假设存在 ，使得函数 成立，则 ，当 时，， ， ， ，当 时，， ， ， ，所以不存在 ，使得 ，所以， 的最大值为 ．故选 ．【标注】【知识点】分段函数35. 已知二次函数 满足 ，且 的最小值是 ．（ 1 ）求 的解析式．（ 2 ）若关于 的方程在区间上有唯一实数根，求实数 的取值范围．（ 3 ）函数 ，对任意 都有 恒成立，求实数的取值范围．【答案】（ 1 ） ．（ 2 ）（ 3 ）．．【解析】（ 1 ）设 ，则由 ，可得 ，的对称轴为 ，所以 ，解得 ， ， ，所以（ 2 ）由方程．，得，令 ，则可知其在 上单调递减，在 上单调递增，因为 在区间 上有唯一的实数根，即 与 只有一个交点，所以 或 ，解得 或 ，故 的取值范围是 ．（ 3 ）由题意知， ，假设存在实数 满足条件，对任意 ，都有成立，①当时，在上为增函数，，解得 ，即 ；②当 时，有 ，解得 ，即 ；③当 时，有 ，解得 ，即 ；④当 时，有 ，解得 ，即 ．综上所述， ．【标注】【知识点】解析法；用待定系数法求解析式；函数的值域；动轴定区间求值域；函数零点的概念；一元二次方程根的分布36. 已知函数（ 1 ）当（ 2 ）若方程，在， ．时，求方程 的解．上有实数根，求实数 的取值范围．（ 3 ）当 时，若对任意的 ，总存在 ，使 成立，求实数 的取值范围．【答案】（ 1 ）（ 2 ）或．．（ 3 ） ．【解析】（ 1 ）当 ， 时，求方程 化为 ，解得： 或 ．（ 2 ）∵函数 的对称轴是 ，∴ 在区间 上是减函数，∵函数在区间 上存在零点，则必有：，即 ，解得 ，故所求实数 的取值范围为（ 3 ）若对任意的 ，总存在．，使成立，只需函数 的值域为函数 的值域的子集，， 的值域为 ，下面求 的值域，①当 时， 为常数，不符合题意舍去；②当 时， 的值域为 ，要使 ，需 ，解得 ；③当 时， 的值域为 ，要使 ，需 ，解得 ，综上， 的取值范围为 ．【标注】【知识点】用单调性观察法求值域；二次函数的图象及性质；函数零点存在定理；已知零点情况求参数的取值范围；一元二次方程根的分布27