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数学必修 第一册5.2 三角函数的概念学案设计
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这是一份数学必修 第一册5.2 三角函数的概念学案设计，文件包含三角函数的概念-讲义教师版docx、三角函数的概念-讲义学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共48页， 欢迎下载使用。
三角函数的概念
一、 任意角的概念与弧度制
1. 角的概念的推广
（一）角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．如下图所示：
（1）始边：射线的起始位置 ．
（2）终边：射线的终止位置 ．
（3）顶点：射线的端点 ．
（4）记法：图中的角可以记为“角 ”或“”或“”或“”．
（二）任意角
（1）按逆时针方向旋转形成的角叫做
，如下图（左）所示；
（2）按顺时针方向旋转形成的角叫做，如下图（中）所示；
（3）如果一条射线没有旋转，我们称它形成一个，即零角的始边和终边重合．如果 是零角，
那么，如下图（右）所示．
这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角．（三）象限角与轴线角
为了研究角度方便，可以将角放入平面直角坐标系中，即使角 的顶点与原点重合，始边与 轴正半
轴重合，终边落在第几象限，则称角 为第几象限角；终边落在坐标轴上的角 称为．
（四）终边相同的角
一般地，我们有：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合
，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的
和．
经典例题
1.角的终边在（ ）．
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 如图，分别写出适合下列条件的角的集合．
（ 1 ）终边落在射线 上：．
（ 2 ）终边落在直线 上：．
（ 3 ）终边落在阴影区域内（含边界）：
．
巩固练习
3. 设集合为锐角 ，为第一象限角 ，为小于 的角 ，则（ ）．
A.B.，
C.D.，
4. 若，则与 具有相同终边的最小正角为．
2.所在象限的确定方法
已知 终边所在的象限，要确定所在的象限常用的方法有两种：
方法一：分类讨论．由 的范围得到 的范围，然后就 进行分类讨论，从而确定 所在象限．方法二：“轮盘法”
① 所在象限的问题如下图：
作出各个象限的角平分线，它们与坐标轴把周角等分成 个区域，从 轴的非负半轴起，按逆时针方
向把这 个区域一次循环标上号码，则标有某个数字的区域，就是 为该象限角时，
的终边落在的区域．如图中标 的区域，就是当 为第三象限角时， 的终边落在的区域．② 所在象限的问题
规律同上，下面直接给出示意图，请读者自行对比理解：
经典例题
5. 若角 是第二象限的角，则 是（ ）．
A. 第一象限或第二象限的角B. 第一象限或第三象限的角
C. 第二象限或第四象限的角D. 第一象限或第四象限的角
6. 若 是第三象限的角， 是第二象限的角，则是第象限的角．
巩固练习
7. 若角 是第四象限的角，则角 是．
8. 若角 为第一象限角，则角 （ ）．
A. 不是第三象限角B. 不是第四象限角C. 不是第二象限角D. 不是第一象限角
3. 弧度制
（一）弧度制的定义
长度等于
的弧所对的圆心角叫做 弧度的角；用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度
制；在弧度制下， 弧度记作．
角 的弧度数的绝对值（其中 是以角 作为圆心角时所对的弧长， 是圆的半径）． 的正
负由角 终边的旋转方向决定（为正，为负）．
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零．
（二）弧度制和角度制的转换
，， 弧度．依据以上
公式，就可以自由的进行弧度与角度的换算了．
角度
弧度
角度
弧度
经典例题
9. 一个角的度数是，化为弧度数是．
10. 下面与角终边相同的角是（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
11. .在平面直角坐标系中，以 轴的非负半轴为始边，绕坐标原点 按逆时针方向旋转 弧度后所
得角的终边在（ ）．
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
12. 如图所示，在平面直角坐标系 中，动点 ， 从点出发在单位圆上运动，点 按逆时针
方向每秒钟转 弧度，点 按顺时针方向每秒钟转弧度，则 ， 两点在第次相遇时，点
的坐标为．
4. 扇形的弧长和面积公式
若扇形的圆心角为，半径为 ，弧长为 ，周长为 ，面积为 ，则有
，，．
经典例题
13. 已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是
．
14. 若扇形的周长等于，则扇形面积的最大值是.
巩固练习
15. 已知扇形的周长为 ，圆心角为 弧度，则该扇形的面积为()
A.B.
C.D.
16. 已知一扇形的周长为，当这个扇形的面积最大时，半径的长为（ ）．
A.B.C.D.
17. 一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ）．
A.B.C.D.
二、 任意角的三角函数
1. 任意角的三角函数的定义
根据研究函数的经验，我们在直角坐标系上进行对三角函数的研究．
如下图，以单位圆的圆心 为原点，以射线 为 轴的非负半轴，建立直角坐标系，点 的坐标为
，点 的坐标为．射线 从 轴的负半轴开始，绕点 按逆时针反向旋转角 ，终止位置为
．
一般地，任意给定一角
，它的终边 与单位圆交点 的坐标，无论是 还是 ，都是唯一确
定的．所以点 的横坐标 ，纵坐标 都是角 的函数．
（1）将 叫做角 的正弦，记为，即；
（2）将 叫做角 的余弦，记为，即；
（3）将分式 叫做角 的正切，记为，即．
可以看出，当时， 的终边落在 轴上，此时，所以无意义．
除此之外，对于确定的角 ，上述三个值都是唯一确定的，符合构成函数的标准，所以：正弦、余弦、正切都是以角为自变量，一单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们三个统称为三角函数．
假设点 为任意角 终边上的任意一点， 坐标为，点 与原点间的距离为 ．此时利用勾股定
理和相似三角形不难证明：
；
；
．
只要知道角 终边上任意一点 的坐标，就可以求得角 的各个三角函数值，并且这些函数值不会随 点位置的改变而改变．
经典例题
18. 若角 的终边经过点，则（ ）．
A.B.C.D.
19. 角 的终边过点，则（ ）．
A.B.
C.或D. 与 的值有关
巩固练习
20. 如果角 的终边经过点，则（ ）．
A.B.
C.D.
21. 已知，若，则．
2. 三角函数线(选讲)
设角 的终边与单位圆交于点 ，与过点
的单位圆切线交于 点（当终边与切线不相交时，
取终边的反向延长线与切线的交点为 ），过 做轴于 ，则有向线段、、
分别叫做角 的正弦线、余弦线、正切线．即，，
，如下图：
经典例题
22. 已知 为锐角，利用三角函数线的有关知识证明：
．
巩固练习
23. 设 与 分别是角的正弦线和余弦线，则（ ）．
A.B.
C.D.
24.年 月 日是全球首个国际圆周率日．历史上，求圆周率 的方法有多种，与中国传统
数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔 卡西的方法是：当正整数 充分大时，计算单位圆的内接正 边形的周长和外切正 边形(各边均与圆相切的正 边形)的周长，将它们的算术平均数作为 的近似
值，按照阿尔 卡西的方法， 的近似值的表达式是()
A. B. C. D.
三、 三角函数的定义域、值域和符号
1. 三角函数的定义域和值域
结合三角函数的定义和单位圆，不难得出三角函数的定义域和值域：
三角函数定义域值域
2. 三角函数值在各象限的符号
（1）三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内的坐标符号导出的．根据三角函数的定义表达式得知：正弦的符号取决于纵坐标 的符号；余弦的符号取决于横坐标 的符号；正切的符号由横纵坐标共同决定（同号为正，异号为负）．这样，各三角函数值在每个象限的符号见下图：
（2）三角函数在各象限的符号可简记为“全正切余”，具体解释为：第一象限全为正；第二象限正弦为正；第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
经典例题
25. 下列三角函数判断错误的是（ ）．
A.B.
C.D.
26. 已知角 的终边过点，则 是第（ ）象限角．
A. 一B. 二C. 三D. 四
27. 函数的值域是．
巩固练习
28. 下列三角函数值的符号判断正确的是（）．
A.
C.
B.
D.
29. 已知，，则 是第象限角．
30. 已知点在第三象限，则角 的终边在第象限．
31. 已知 终边经过点，且，，则 的取值范围为．
四、 同角三角函数的基本关系
如下图：
在单位圆中，是圆上一点．正弦线 、余弦线 和半径 三者构成直角三角形，而且
，因此，即
．
显然，当 的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立．
根据三角函数的定义，当，有
．
语言描述为：同一个角 的正弦、余弦的平方和等于 ，商等于角 的正切．
经典例题
32. 若象限角 满足，则 是（ ）．
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
33. 已知角 的终边经过点，且，则的值为（ ）．
A.B.C.D.
34. 若，则（ ）．
A.B.C.D.
35. 已知，且，求下列各式的值．
（ 1 ）．
（ 2 ）．
巩固练习
36. 如图，在平面直角坐标系中， ， ， ， 是以原点为圆心的单位圆上的四段弧，点 是
其中一段弧上的动点，角 以 为始边， 为终边，且恒有，则点 所在的
圆弧是（ ）．
A.B.
C.D.
37. 已知中，，则等于（ ）．
A.B.C.D.
38. 已知．
（ 1 ）求的值．
（ 2 ）求的值．
39. 已知 为第二象限角且
（ 1 ）．
（ 2 ）．
，求：
40. 若，则（ ）．
A.B.C.D.
五、 三角函数的诱导公式
角
的终边
的终边
图示
的终边的终边的终边
终边关系相同关于原点对称关于 轴对称
公式
角
的终边
的终边的终边
图示的终边的终边的终边
终边关系
关于 轴对称
关于
对称
先关于对称
再关于 轴对称
公式
（1）六组诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系，诱导公式可以概括
为：各三角函数值与角 的三角函数值之间的关系：当 为偶数时，得 的同名三角函
数值；当 为奇数时，得 的异名三角函数值，然后在前面加上一个把 看作锐角时原函数的符号．
（2）记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、偶”是指中 的奇偶性，当 为
奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当 为偶数时，函数名不变，“符号”看的应该是诱导公式中，把 看
作锐角时原函数的符号，而不是 的三角函数值的符号．
利用上述公式，可以将任意角的三角函数值转化为锐角三角函数值，一般可以按照下面的步骤进
行：
（1）先把负角化为正角，公式选用“”或“”诱导公式；
（2）把大角（大于 ）化为小角（），公式选用“”诱导公式；
（3）再把角化为锐角（），公式选用“”、“”或“”诱导公式．
例题讲解
41. 已知，则的值等于()
A.B.
C.D.
42.（ ）．
A.B.C.D.
43. 已知，且 是第三象限角．
（ 1 ）求的值．
（ 2 ）求的值．
巩固练习
44. 已知，的值为（ ）．
A.B.C.D.
45. 已知，求：的值．
46. 已知
是
的根，且 为第三象限角，则
（ ）．
A.B.C.D.
导图总结
你学会了吗？快来用思维导图总结本节课所学吧！
出门测
47. 若 为第二象限角，且，则（ ）．
A.B.C.D.
48.
已知，则等于（ ）．
A.B.C.D.
49. 已知扇形的周长是 ，面积是，则扇形的中心角的弧度数是（ ）．
A.B.C. 或D. 或
50. 已知，求下列各式的值.
（ 1 ）．
（ 2 ）．
14
三角函数的概念
一、 任意角的概念与弧度制
1. 角的概念的推广
（一）角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．如下图所示：
（1）始边：射线的起始位置 ．
（2）终边：射线的终止位置 ．
（3）顶点：射线的端点 ．
（4）记法：图中的角可以记为“角 ”或“”或“”或“”．
（二）任意角
（1）按逆时针方向旋转形成的角叫做
，如下图（左）所示；
（2）按顺时针方向旋转形成的角叫做，如下图（中）所示；
（3）如果一条射线没有旋转，我们称它形成一个，即零角的始边和终边重合．如果 是零角，
那么，如下图（右）所示．
这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角．（三）象限角与轴线角
为了研究角度方便，可以将角放入平面直角坐标系中，即使角 的顶点与原点重合，始边与 轴正半
轴重合，终边落在第几象限，则称角 为第几象限角；终边落在坐标轴上的角 称为．
（四）终边相同的角
一般地，我们有：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合
，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的
和．
经典例题
1.角的终边在（ ）．
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 如图，分别写出适合下列条件的角的集合．
（ 1 ）终边落在射线 上：．
（ 2 ）终边落在直线 上：．
（ 3 ）终边落在阴影区域内（含边界）：
．
巩固练习
3. 设集合为锐角 ，为第一象限角 ，为小于 的角 ，则（ ）．
A.B.，
C.D.，
4. 若，则与 具有相同终边的最小正角为．
2.所在象限的确定方法
已知 终边所在的象限，要确定所在的象限常用的方法有两种：
方法一：分类讨论．由 的范围得到 的范围，然后就 进行分类讨论，从而确定 所在象限．方法二：“轮盘法”
① 所在象限的问题如下图：
作出各个象限的角平分线，它们与坐标轴把周角等分成 个区域，从 轴的非负半轴起，按逆时针方
向把这 个区域一次循环标上号码，则标有某个数字的区域，就是 为该象限角时，
的终边落在的区域．如图中标 的区域，就是当 为第三象限角时， 的终边落在的区域．② 所在象限的问题
规律同上，下面直接给出示意图，请读者自行对比理解：
经典例题
5. 若角 是第二象限的角，则 是（ ）．
A. 第一象限或第二象限的角B. 第一象限或第三象限的角
C. 第二象限或第四象限的角D. 第一象限或第四象限的角
6. 若 是第三象限的角， 是第二象限的角，则是第象限的角．
巩固练习
7. 若角 是第四象限的角，则角 是．
8. 若角 为第一象限角，则角 （ ）．
A. 不是第三象限角B. 不是第四象限角C. 不是第二象限角D. 不是第一象限角
3. 弧度制
（一）弧度制的定义
长度等于
的弧所对的圆心角叫做 弧度的角；用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度
制；在弧度制下， 弧度记作．
角 的弧度数的绝对值（其中 是以角 作为圆心角时所对的弧长， 是圆的半径）． 的正
负由角 终边的旋转方向决定（为正，为负）．
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零．
（二）弧度制和角度制的转换
，， 弧度．依据以上
公式，就可以自由的进行弧度与角度的换算了．
角度
弧度
角度
弧度
经典例题
9. 一个角的度数是，化为弧度数是．
10. 下面与角终边相同的角是（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
11. .在平面直角坐标系中，以 轴的非负半轴为始边，绕坐标原点 按逆时针方向旋转 弧度后所
得角的终边在（ ）．
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
12. 如图所示，在平面直角坐标系 中，动点 ， 从点出发在单位圆上运动，点 按逆时针
方向每秒钟转 弧度，点 按顺时针方向每秒钟转弧度，则 ， 两点在第次相遇时，点
的坐标为．
4. 扇形的弧长和面积公式
若扇形的圆心角为，半径为 ，弧长为 ，周长为 ，面积为 ，则有
，，．
经典例题
13. 已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是
．
14. 若扇形的周长等于，则扇形面积的最大值是.
巩固练习
15. 已知扇形的周长为 ，圆心角为 弧度，则该扇形的面积为()
A.B.
C.D.
16. 已知一扇形的周长为，当这个扇形的面积最大时，半径的长为（ ）．
A.B.C.D.
17. 一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ）．
A.B.C.D.
二、 任意角的三角函数
1. 任意角的三角函数的定义
根据研究函数的经验，我们在直角坐标系上进行对三角函数的研究．
如下图，以单位圆的圆心 为原点，以射线 为 轴的非负半轴，建立直角坐标系，点 的坐标为
，点 的坐标为．射线 从 轴的负半轴开始，绕点 按逆时针反向旋转角 ，终止位置为
．
一般地，任意给定一角
，它的终边 与单位圆交点 的坐标，无论是 还是 ，都是唯一确
定的．所以点 的横坐标 ，纵坐标 都是角 的函数．
（1）将 叫做角 的正弦，记为，即；
（2）将 叫做角 的余弦，记为，即；
（3）将分式 叫做角 的正切，记为，即．
可以看出，当时， 的终边落在 轴上，此时，所以无意义．
除此之外，对于确定的角 ，上述三个值都是唯一确定的，符合构成函数的标准，所以：正弦、余弦、正切都是以角为自变量，一单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们三个统称为三角函数．
假设点 为任意角 终边上的任意一点， 坐标为，点 与原点间的距离为 ．此时利用勾股定
理和相似三角形不难证明：
；
；
．
只要知道角 终边上任意一点 的坐标，就可以求得角 的各个三角函数值，并且这些函数值不会随 点位置的改变而改变．
经典例题
18. 若角 的终边经过点，则（ ）．
A.B.C.D.
19. 角 的终边过点，则（ ）．
A.B.
C.或D. 与 的值有关
巩固练习
20. 如果角 的终边经过点，则（ ）．
A.B.
C.D.
21. 已知，若，则．
2. 三角函数线(选讲)
设角 的终边与单位圆交于点 ，与过点
的单位圆切线交于 点（当终边与切线不相交时，
取终边的反向延长线与切线的交点为 ），过 做轴于 ，则有向线段、、
分别叫做角 的正弦线、余弦线、正切线．即，，
，如下图：
经典例题
22. 已知 为锐角，利用三角函数线的有关知识证明：
．
巩固练习
23. 设 与 分别是角的正弦线和余弦线，则（ ）．
A.B.
C.D.
24.年 月 日是全球首个国际圆周率日．历史上，求圆周率 的方法有多种，与中国传统
数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔 卡西的方法是：当正整数 充分大时，计算单位圆的内接正 边形的周长和外切正 边形(各边均与圆相切的正 边形)的周长，将它们的算术平均数作为 的近似
值，按照阿尔 卡西的方法， 的近似值的表达式是()
A. B. C. D.
三、 三角函数的定义域、值域和符号
1. 三角函数的定义域和值域
结合三角函数的定义和单位圆，不难得出三角函数的定义域和值域：
三角函数定义域值域
2. 三角函数值在各象限的符号
（1）三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内的坐标符号导出的．根据三角函数的定义表达式得知：正弦的符号取决于纵坐标 的符号；余弦的符号取决于横坐标 的符号；正切的符号由横纵坐标共同决定（同号为正，异号为负）．这样，各三角函数值在每个象限的符号见下图：
（2）三角函数在各象限的符号可简记为“全正切余”，具体解释为：第一象限全为正；第二象限正弦为正；第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
经典例题
25. 下列三角函数判断错误的是（ ）．
A.B.
C.D.
26. 已知角 的终边过点，则 是第（ ）象限角．
A. 一B. 二C. 三D. 四
27. 函数的值域是．
巩固练习
28. 下列三角函数值的符号判断正确的是（）．
A.
C.
B.
D.
29. 已知，，则 是第象限角．
30. 已知点在第三象限，则角 的终边在第象限．
31. 已知 终边经过点，且，，则 的取值范围为．
四、 同角三角函数的基本关系
如下图：
在单位圆中，是圆上一点．正弦线 、余弦线 和半径 三者构成直角三角形，而且
，因此，即
．
显然，当 的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立．
根据三角函数的定义，当，有
．
语言描述为：同一个角 的正弦、余弦的平方和等于 ，商等于角 的正切．
经典例题
32. 若象限角 满足，则 是（ ）．
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
33. 已知角 的终边经过点，且，则的值为（ ）．
A.B.C.D.
34. 若，则（ ）．
A.B.C.D.
35. 已知，且，求下列各式的值．
（ 1 ）．
（ 2 ）．
巩固练习
36. 如图，在平面直角坐标系中， ， ， ， 是以原点为圆心的单位圆上的四段弧，点 是
其中一段弧上的动点，角 以 为始边， 为终边，且恒有，则点 所在的
圆弧是（ ）．
A.B.
C.D.
37. 已知中，，则等于（ ）．
A.B.C.D.
38. 已知．
（ 1 ）求的值．
（ 2 ）求的值．
39. 已知 为第二象限角且
（ 1 ）．
（ 2 ）．
，求：
40. 若，则（ ）．
A.B.C.D.
五、 三角函数的诱导公式
角
的终边
的终边
图示
的终边的终边的终边
终边关系相同关于原点对称关于 轴对称
公式
角
的终边
的终边的终边
图示的终边的终边的终边
终边关系
关于 轴对称
关于
对称
先关于对称
再关于 轴对称
公式
（1）六组诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系，诱导公式可以概括
为：各三角函数值与角 的三角函数值之间的关系：当 为偶数时，得 的同名三角函
数值；当 为奇数时，得 的异名三角函数值，然后在前面加上一个把 看作锐角时原函数的符号．
（2）记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、偶”是指中 的奇偶性，当 为
奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当 为偶数时，函数名不变，“符号”看的应该是诱导公式中，把 看
作锐角时原函数的符号，而不是 的三角函数值的符号．
利用上述公式，可以将任意角的三角函数值转化为锐角三角函数值，一般可以按照下面的步骤进
行：
（1）先把负角化为正角，公式选用“”或“”诱导公式；
（2）把大角（大于 ）化为小角（），公式选用“”诱导公式；
（3）再把角化为锐角（），公式选用“”、“”或“”诱导公式．
例题讲解
41. 已知，则的值等于()
A.B.
C.D.
42.（ ）．
A.B.C.D.
43. 已知，且 是第三象限角．
（ 1 ）求的值．
（ 2 ）求的值．
巩固练习
44. 已知，的值为（ ）．
A.B.C.D.
45. 已知，求：的值．
46. 已知
是
的根，且 为第三象限角，则
（ ）．
A.B.C.D.
导图总结
你学会了吗？快来用思维导图总结本节课所学吧！
出门测
47. 若 为第二象限角，且，则（ ）．
A.B.C.D.
48.
已知，则等于（ ）．
A.B.C.D.
49. 已知扇形的周长是 ，面积是，则扇形的中心角的弧度数是（ ）．
A.B.C. 或D. 或
50. 已知，求下列各式的值.
（ 1 ）．
（ 2 ）．
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