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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换导学案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换导学案，文件包含三角恒等变换-讲义教师版docx、三角恒等变换-讲义学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共42页， 欢迎下载使用。
三角恒等变换
一、 和差角公式
1. 差角的余弦公式
下面我们运用几何知识进行探究
如下图：
y
α终边
P1
A1
β终边
α-β终边
P
A
Ox
在平面直角坐标系 内作单位圆 ，与 轴的正半轴相交于点，以 轴非负半轴为始边作
角 ， ，，它们的终边分别于单位圆相交于点，，
．
显然，所对的弦，根据两点间距离公式有：
化简可得：
此公式不仅在如上图所示的 ， ，
为第一象限角时成立，也适用于其他角的情况．
我们将这个公式称为差角的余弦公式，简记作．
有了公式以后，我们只要知道、、、的值，就可以求得的值
了．
2. 和角的正弦余弦，差角的正弦公式推导
有了，就可以以之为基础推导出另外三个公式：
例如：，
根据，有，
接下来根据诱导公式（三），，
整合上面的等式，有，
这样，就得到了两角和的余弦公式：．
请仿照着相同的思路，把下面的空白补充完整：
1．：___________________．
2．：________________．
经典例题
1. 计算（ ）．
A.B.
C.D.
2. 已知，，则（ ）．
A. B. C. D.
或
3. 若，， 、 为锐角，则的值是．
4. 已知，，则的值是．
巩固练习
5. 求
的值．
6. 已知，，，则 等于（ ）．
A.B.
C.D.
7.
已知，，，，则的
值为．
8. 若，，则（ ）．
A.B.
C.D.
9. 已知，，则的值是．
3. 和角与差角正切公式的推导
有了上述四个公式，利用同角三角函数基本关系式和弦化切的技巧，可以轻松得出
、
两个公式，请将你得到的结果填入下面空白处：
1．：_______________．
2．：________________．
公式、、给出了任意角 ， 的三角函数值与其和角的三角函数值之间的关
系．为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式．
类似地，、、都叫做差角公式．
从以上推导过程可以看出，这 个和与差的三角函数公式之间具有紧密的逻辑联系．这种联系可用框图形式表示如下：
经典例题
10. 设，，则的值是（ ）．
A.B.C.D.
11. 若，则的值为．
12.的值是（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
13. 已知，，（ ）．
A.B.C.D.
14. 求值：．
15.．
二、 二倍角公式
选取三个和角公式
、
、
，令
，这样就得到了三个倍角公式，请完成以下空
白：
：__________________．
：_________________．
：__________________；且．
对于 ，根据同角三角函数基本关系式，还可以得到另外两种形式，即
_______________ ________________．
以上这些公式都叫做倍角公式．倍角公式给出了 的三角函数与 的三角函数之间的关系．
二倍角公式的常见变换
1．链式变换：
2．平方差变换：
3．降幂变换：
；；
4．升幂变换：
；．
5．与相加减可以得到和，相比得到．
6．与相加减可以得到和，相比得到．
经典例题
16. 设 为锐角，若
，则
．
17. 已知锐角 满足，则（ ）．
A.B.
C.D.
18. 已知，则．
19. 若，且，则（ ）．
A.B.
C.D.
20. 已知，则．
21. 设，．求，的值（ ）．
A.，B. ，
C.，D.，
22. 若，则（ ）．
A.B.
C.D.
23. 求值：．
巩固练习
24. 若
，且
，则
的值为
．
25. 已知，则（ ）．
A.B.C.D.
26. 若，且，则（ ）．
A.B.
C.D.
27. 已知且，则的值是（ ）．
A.B.
C.D.
28. 已知，则等于（ ）．
A.B.C.D.
29. 已知，则的值为（ ）．
A.B.C.D.
30. 求值．
31. 已知，，则（ ）．
A.B.
C.D.
32. 求值：．
三、 辅助角公式
下面介绍利用和角公式推导出来的一个很有用的结论，即辅助角公式：
对于形如（ 是不同时为零的实数）这样的表达式，如何去研究它的值域、
周期以及单调区间？
由于之前我们学习过正弦型函数的相关性质，一个自然的想法是，若可以把它恒等变化为正弦型函
数，问题自然就解决了，那么是否能够将其整合成为一个正弦型函数呢？答案是肯定的，如下：
考察以为坐标的点，设以 为终边的一个角是 ，则由三角函数的定义，有：
，．
于是：
其中 角所在象限由 、 的符号确定， 角的值由
，
共同确定．
温馨提示：若中间的符号为减号，形如：，只需把最终形式中的加号变为减号！！
经典例题
33. 用辅助角公式化简下列各式：（ 1 ）
．
（ 2 ）．
（ 3 ）．
（ 4 ）．
34. 求值：．
35. 已知函数
A. 最小正周期为 ，最大值为
B. 最小正周期为 ，最大值为
C. 最小正周期为 ，最大值为
D. 最小正周期为 ，最小值为
，
，则函数
（ ）．
36. 已知，则（ ）．
A.B.
C.D.
37. 若函数没有零点，则的取值范围是（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
38.．
39. 设，，，则 ， ， 大小关系（ ）．
A.B.C.D.
40. 函数的图象的一个对称中心是（ ）．
A. B. C. D.
41. 关于 的方程有解，则实数 的取值范围是（ ）．
A.B.
C.D.
42. 函数的最大值是（ ）．
A.B.C.D.
43. 若，化简为（ ）．
A. B. C. D.
四、 和积互化公式（拓展）
积化和差公式：
左侧是互余积时，右边是正弦的和、差；左侧是同名积时，右侧是余弦的和、差．和差化积公式：
和差化积的作用有些类似于代数中的因式分解．需要注意的是，和差化积公式只对系数绝对值相等且同为正弦或余弦的和与差才能直接应用，如不是同名三角函数，须先用诱导公式进行转化．
经典例题
44. 利用和差化积公式，求下列函数的最值：（ 1 ）
（ 2 ）
45. 化简：（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
46.．
47. 求的值．
五、 三角函数综合
经典例题
48. 已知函数．
（ 1 ）求 的最小正周期和最大值；
（ 2 ）讨论 在上的单调性．
巩固练习
49. 已知函数
（ 1 ）求
的最小正周期和
．
图象对称轴的直线方程．
（ 2 ）求 在区间上的最小值，以及取到最小值时 的值．
50.
已知函数．
（ 1 ）化简．
（ 2 ）若，，求值．
导图总结
你学会了吗？快来用思维导图总结本节课所学吧！
出门测
51. 已知，且，则，.
52.
已知函数的图象向右平移 个单位后关于 轴对
称，则在区间上的最小值为（ ）．
A.B.C.D.
53. 已知函数，．
（ 1 ）求函数（ 2 ）若
的最大值；
，求函数
的单调递增区间．
10
三角恒等变换
一、 和差角公式
1. 差角的余弦公式
下面我们运用几何知识进行探究
如下图：
y
α终边
P1
A1
β终边
α-β终边
P
A
Ox
在平面直角坐标系 内作单位圆 ，与 轴的正半轴相交于点，以 轴非负半轴为始边作
角 ， ，，它们的终边分别于单位圆相交于点，，
．
显然，所对的弦，根据两点间距离公式有：
化简可得：
此公式不仅在如上图所示的 ， ，
为第一象限角时成立，也适用于其他角的情况．
我们将这个公式称为差角的余弦公式，简记作．
有了公式以后，我们只要知道、、、的值，就可以求得的值
了．
2. 和角的正弦余弦，差角的正弦公式推导
有了，就可以以之为基础推导出另外三个公式：
例如：，
根据，有，
接下来根据诱导公式（三），，
整合上面的等式，有，
这样，就得到了两角和的余弦公式：．
请仿照着相同的思路，把下面的空白补充完整：
1．：___________________．
2．：________________．
经典例题
1. 计算（ ）．
A.B.
C.D.
2. 已知，，则（ ）．
A. B. C. D.
或
3. 若，， 、 为锐角，则的值是．
4. 已知，，则的值是．
巩固练习
5. 求
的值．
6. 已知，，，则 等于（ ）．
A.B.
C.D.
7.
已知，，，，则的
值为．
8. 若，，则（ ）．
A.B.
C.D.
9. 已知，，则的值是．
3. 和角与差角正切公式的推导
有了上述四个公式，利用同角三角函数基本关系式和弦化切的技巧，可以轻松得出
、
两个公式，请将你得到的结果填入下面空白处：
1．：_______________．
2．：________________．
公式、、给出了任意角 ， 的三角函数值与其和角的三角函数值之间的关
系．为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式．
类似地，、、都叫做差角公式．
从以上推导过程可以看出，这 个和与差的三角函数公式之间具有紧密的逻辑联系．这种联系可用框图形式表示如下：
经典例题
10. 设，，则的值是（ ）．
A.B.C.D.
11. 若，则的值为．
12.的值是（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
13. 已知，，（ ）．
A.B.C.D.
14. 求值：．
15.．
二、 二倍角公式
选取三个和角公式
、
、
，令
，这样就得到了三个倍角公式，请完成以下空
白：
：__________________．
：_________________．
：__________________；且．
对于 ，根据同角三角函数基本关系式，还可以得到另外两种形式，即
_______________ ________________．
以上这些公式都叫做倍角公式．倍角公式给出了 的三角函数与 的三角函数之间的关系．
二倍角公式的常见变换
1．链式变换：
2．平方差变换：
3．降幂变换：
；；
4．升幂变换：
；．
5．与相加减可以得到和，相比得到．
6．与相加减可以得到和，相比得到．
经典例题
16. 设 为锐角，若
，则
．
17. 已知锐角 满足，则（ ）．
A.B.
C.D.
18. 已知，则．
19. 若，且，则（ ）．
A.B.
C.D.
20. 已知，则．
21. 设，．求，的值（ ）．
A.，B. ，
C.，D.，
22. 若，则（ ）．
A.B.
C.D.
23. 求值：．
巩固练习
24. 若
，且
，则
的值为
．
25. 已知，则（ ）．
A.B.C.D.
26. 若，且，则（ ）．
A.B.
C.D.
27. 已知且，则的值是（ ）．
A.B.
C.D.
28. 已知，则等于（ ）．
A.B.C.D.
29. 已知，则的值为（ ）．
A.B.C.D.
30. 求值．
31. 已知，，则（ ）．
A.B.
C.D.
32. 求值：．
三、 辅助角公式
下面介绍利用和角公式推导出来的一个很有用的结论，即辅助角公式：
对于形如（ 是不同时为零的实数）这样的表达式，如何去研究它的值域、
周期以及单调区间？
由于之前我们学习过正弦型函数的相关性质，一个自然的想法是，若可以把它恒等变化为正弦型函
数，问题自然就解决了，那么是否能够将其整合成为一个正弦型函数呢？答案是肯定的，如下：
考察以为坐标的点，设以 为终边的一个角是 ，则由三角函数的定义，有：
，．
于是：
其中 角所在象限由 、 的符号确定， 角的值由
，
共同确定．
温馨提示：若中间的符号为减号，形如：，只需把最终形式中的加号变为减号！！
经典例题
33. 用辅助角公式化简下列各式：（ 1 ）
．
（ 2 ）．
（ 3 ）．
（ 4 ）．
34. 求值：．
35. 已知函数
A. 最小正周期为 ，最大值为
B. 最小正周期为 ，最大值为
C. 最小正周期为 ，最大值为
D. 最小正周期为 ，最小值为
，
，则函数
（ ）．
36. 已知，则（ ）．
A.B.
C.D.
37. 若函数没有零点，则的取值范围是（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
38.．
39. 设，，，则 ， ， 大小关系（ ）．
A.B.C.D.
40. 函数的图象的一个对称中心是（ ）．
A. B. C. D.
41. 关于 的方程有解，则实数 的取值范围是（ ）．
A.B.
C.D.
42. 函数的最大值是（ ）．
A.B.C.D.
43. 若，化简为（ ）．
A. B. C. D.
四、 和积互化公式（拓展）
积化和差公式：
左侧是互余积时，右边是正弦的和、差；左侧是同名积时，右侧是余弦的和、差．和差化积公式：
和差化积的作用有些类似于代数中的因式分解．需要注意的是，和差化积公式只对系数绝对值相等且同为正弦或余弦的和与差才能直接应用，如不是同名三角函数，须先用诱导公式进行转化．
经典例题
44. 利用和差化积公式，求下列函数的最值：（ 1 ）
（ 2 ）
45. 化简：（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
46.．
47. 求的值．
五、 三角函数综合
经典例题
48. 已知函数．
（ 1 ）求 的最小正周期和最大值；
（ 2 ）讨论 在上的单调性．
巩固练习
49. 已知函数
（ 1 ）求
的最小正周期和
．
图象对称轴的直线方程．
（ 2 ）求 在区间上的最小值，以及取到最小值时 的值．
50.
已知函数．
（ 1 ）化简．
（ 2 ）若，，求值．
导图总结
你学会了吗？快来用思维导图总结本节课所学吧！
出门测
51. 已知，且，则，.
52.
已知函数的图象向右平移 个单位后关于 轴对
称，则在区间上的最小值为（ ）．
A.B.C.D.
53. 已知函数，．
（ 1 ）求函数（ 2 ）若
的最大值；
，求函数
的单调递增区间．
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