湖南省永州市蓝山县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份湖南省永州市蓝山县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了如果与是同类项，则的值是，方程组的解是，平移后得到，若，，则的度数是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷满分120分，考试时间120分钟，本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明；
2．考生作答时，必须将正确答案写在相应位置上．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项字母填到表格对应的题号中）
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．多项式8x2n﹣4xn的公因式是（ ）
A．4xnB．2xn﹣1C．4xn﹣1D．2xn﹣1
3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如果与是同类项，则的值是（ ）
A．B．C．D．
5．方程组的解是( )．
A．B．C．D．
6．对于任何整数m，多项式都能被（ ）整除．
A．8B．mC．D．
7．平移后得到，若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．若方程的左边可以写成一个完全平方式，则值为（ ）
A．10B．10或14
C．-10或14D．10或-14
9．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ）
A．B．
C．D．
10．“滴滴快车”现在是人们一种便捷的出行工具，蓝山县滴滴快车计价规则如下表：
王莉与李军各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8公里．如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（ ）
A．10分钟B．12分钟C．14分钟D．15分钟
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．因式分解： ．
12．若方程，则用含的代数式表示得 ．
13．计算： ．
14．若x2+2（m﹣1）x+36是完全平方式，则m= ．
15．已知，则x+y= ．
16．蓝山县某中学为奖励“书香阅读月”中表现优异的同学，该中学决定用1200元购买篮球和排球两种球（同时购买两种球），其中篮球每个120元，排球每个90元，购买资金恰好用完的情况，请同学们根据以上条件认为购买方案一共有 种．
17．如图，边长为4cm的正方形先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为 ．

18．观察下列各式：
………
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．请你猜想：
．
三、解答题（第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分）
19．解方程组：
(1)
(2)
20．计算或因式分解：
(1)计算；
(2)因式分解：
21．先化简，再求值：；且x，y满足．
22．关于x，y的方程组的解满足，，
(1)求的值．
(2)化简
23．为了响应“绿色环保，节能减排”的号召，幸福商场用元购进甲、乙两种节能灯共计只，很快售完．这两种节能灯的进价、售价如下表：
（1）求幸福商场甲、乙两种节能灯各购进了多少只？
（2）全部售完只节能灯后，幸福商场共计获利多少元？
24．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是什么？
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
25．蓝山县某中学数学活动课上，小云和小辉在讨论李老师出示的一道二元一次方程组的问题．
已知关于x，y的二元一次方程组，的解满足，求m的值．
(1)请同学们按照小云的方法，求出x的值为 ，y的值为 ；
(2)李老师说小辉的方法体现了我们数学思想中的“整体代入”思想，值得同学们学习，请同学们根据小辉的思路求出m的值．
26．阅读题．
材料一：若一个整数能表示成（为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，，，，则都是“完美数”；再如，，（是整数），所以也是“完美数”．
材料二：任何一个正整数都可以进行这样的分解：（是正整数，且）．如果在的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并且规定．例如，这三种分解中3和6的差的绝对值最小，所以就有．
请解答下列问题：
(1)8 ．（填写“是”或“不是”）一个完美数， ．
(2)如果和都是“完美数”，试说明也是“完美数”．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项法则和单项式乘以单项式分别求每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、结果是，故本选项不符合题意；
B、结果是，故本选项不符合题意；
C、结果是，故本选项不符合题意；
D、结果是，故本选项符合题意；
故选D．
【点拨】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项法则和单项式乘以单项式等知识点，能够正确求出每个式子的值是解此题的关键．
2．A
【分析】本题考查公因式的定义．找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
【解答】8x2n﹣4xn＝4xn（2xn﹣1），
∴4xn是公因式．故选A．
【点拨】本题考查公因式的定义，难度不大，要根据找公因式的要点进行．
3．B
【分析】此题主要考查了分解因式的定义．正确把握分解因式的定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
直接利用因式分解的定义分析得出答案．
【解答】解：A．，是整式式的乘法运算，故此选项不符合题意；
B．，符合因式分解的定义，故此选项符合题意；
C．，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；
D．，是多项式的乘法运算，故此选项不符合题意．
故选：B．
4．B
【分析】根据同类项的定义：字母相同；相同字母次数相同，可得，解二元一次方程组即可．
【解答】解：∵与是同类项，
∴，解得，
故选：B．
【点拨】本题考查同类项的定义，二元一次方程组的解，牢记同类项的定义是解题的关键．
5．C
【分析】利用加减消元法求出方程组的解即可．
【解答】，
①-②得：3y=30，即y=10，
将y=10代入①得：x+10=60，即x=50，
则方程组的解为．
故选C．
【点拨】本题考查解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．
6．A
【分析】直接套用平方差公式，整理即可判断．
【解答】因为
所以原式能被8整除．
故选A．
【点拨】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．
7．D
【分析】本题主要考查了平移的性质，三角形内角和定理，熟记平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状是解题的关键．
根据三角形内角和定理求得的度数即可．根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状可得，进而求解即可．
【解答】解：∵中，，，
∴，
∵平移后得到，
∴．
∴
故选：D．
8．D
【分析】由题意可知和4均为平方项，则由完全平方公式的基本形式(ax)2±2abx+b2=0即可求解.
【解答】解：由题意得，，
则，，解得k=10或-14，
故选择D.
【点拨】牢记(ax)2±2abx+b2=0的完全平方形式是解决容易遗漏另一种情况的有效方法.
9．C
【分析】根据两个正方形及长方形面积的计算公式即可得到答案．
【解答】解：根据图甲可得阴影面积为，
根据图乙可得阴影面积为，
∴可以验证等式，
故选：C．
【点拨】此题考查了平方差公式与几何图形，正确理解并计算两个阴影部分的面积是解题的关键．
10．A
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，根据题意列出小王和小张车费的代数式，两者相等，计算可得出时间差．
【解答】解：设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，依题可得：
，
故这两辆滴滴快车的行车时间相差10分钟．
故选A．
11．
【分析】先提公因式3a，然后再利用平方差公式进行分解即可得.
【解答】原式
，
故答案为．
【点拨】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．
【分析】本题主要考查了解二元一次方程，把y看做已知求出x即可得到答案．
【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
13．−16a5b##−16ba5
【分析】本题考查了积的乘方运算以及单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题的关键；
直接利用积的乘方运算法则化简，在利用单项式乘以单项式计算得出答案．
【解答】
．
故答案为：
14．7或﹣5
【解答】∵x2+2（m﹣1）x+36是完全平方式，
∴2（m﹣1）x=±2×6x,
∴m﹣1=±6,
∴m=7或m=-5.
15．3．
【分析】方程组两方程相加即可求出x+y的值．
【解答】解：，
①+②得：3（x+y）=9，
则x+y=3，
故答案为3
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
16．3
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设购买个篮球，个排球，根据“该中学决定用1200元购买篮球和排球两种球”列出二元一次方程，结合为正整数，为非负整数，求出的值，即可得解．
【解答】解：设购买个篮球，个排球，
由题意得：，
，
为正整数，为正整数，
是的倍数，
的取值为，，，，
，，，（舍去，不符合题意），
共有种购买方案，
故答案为：．
17．6
【分析】根据题意和平移的特点，可以写出和的长度，然后即可计算出阴影部分的面积．
【解答】解：如图，

由题意可得，，
∴阴影部分的面积：，
故答案为：6．
【点拨】本题考查正方形的性质、平移的性质，解答本题的关键是明确题意，求出和的长度．
18．
【分析】本题考查了平方差公式、数字的变化类，根据所列式子所反映的规律得出答案即可，发现规律是解此题的关键．
【解答】解：
………
，
故答案为：．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
（1）利用加减消元法进行求解即可；
（2）利用加减消元法进行运算即可．
【解答】（1）
得，
解得：，
将代①入得，
；
则该方程组的解为；
（2）
原方程组可变形为
得
解得：，
将代入得
解得：
则该方程组的解为
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了积的乘方、单项式乘单项式，因式分解，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键；
（1）先算积的乘方，在单项式乘单项式即可得出答案；
（2）直接提取公因式m，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】（1）解：
；
（2）
；
21．，0
【分析】此题考查了整式的混合运算−化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式中括号中利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值．
【解答】
，
，
，，
解得：，，
原式
22．(1)
(2)
【分析】此题考查了二元一次方程组的解以及化简绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）将，，代入方程组解答即可，
（2）利用（1）求得的k值，化简绝对值即可．
【解答】（1）解：将，代入得：
，
解得：；
（2）把代入得
；
23．（1）幸福商场购进甲种节能灯只，乙种节能灯只；（2）1900元.
【分析】（1）仔细审题，找到等量关系：甲、乙两种节能灯共150只，购进两种节能灯共计元，设出未知数，列方程组求解；
（2）然后根据利润=售价-进价，可求解.
【解答】解：（1）设幸福商场购进甲种节能灯只，乙种节能灯只，
根据题意，得，
由②得，③，
把③代入①得，
，
解得，
把代入③得，
，
，
答：幸福商场购进甲种节能灯只，乙种节能灯只．
（2）（元）．
答：幸福商场共计获利元．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组求解．
24．(1)用完全平方公式分解因式
(2)该同学因式分解的结果不彻底，分解的最后结果为
(3)
【分析】（1）根据完全平方公式的特点即可得到答案；
（2）观察可知第四步的结果括号内还可以用完全平方公式分解因式；
（3）仿照题意进行求解即可．
【解答】（1）解：由题意得该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是用完全平方公式分解因式；
（2）解：设，
原式



，
∴该同学因式分解的结果不彻底，分解的最后结果为
（3）解：设，
∴
．
【点拨】本题主要考查了因式分解，熟知用完全平方公式分解因式是解题的关键．
25．(1)，
(2)
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，整体法，掌握解二元一次方程组的方法与步骤，熟练运用整体法求解都是解本题的关键．
（1）利用加减消元法求出方程解即可；
（2）把方程①加方程②，利用整体未知数再建立一元一次方程即可．
【解答】（1）把①③联立得：
得
解得：，
将代入①得，
，
方程组的解为，
故答案为：，；
（2）①②，得
．
．
，
，
解得．
26．(1)是，
(2)见解析
【分析】本题考查了多项式乘以多项式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．
（1）利用“完美数”的定义可得；
（2）根据完全平方公式，可证明是“完美数”；
【解答】（1）∵
∴8是完美数，
；
（2）设，，其中a，b，c，d均为整数，
则

∵a，b，c，d均为整数
∴与也是整数，即是“完美数”．
计费项目
里程费
时长费
远途费
单价
2元/公里
0.5元/分钟
1元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含７公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里多收1元．
进价（元/只）
售价（元/只）
甲种节能灯
乙种节能灯