高中物理人教版 (2019)必修 第三册3 电势差与电场强度的关系学案

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科学探究
1．知道电势差与电场强度的关系式，了解其适用条件.
科学思维
1．会用关系式U＝Ed处理匀强电场问题.
物理观念
1．知道电场强度的另一种求法，理解电场强度的另一个单位“伏(特)每米”的意义．
一、匀强电场中电势差与电场强度的关系
1．在匀强电场中，两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积．
2．公式：UAB＝Ed.
3．适用条件
①匀强电场。
②d为两点沿电场方向的距离。
二、公式E＝eq \f(UAB,d)的意义
1．意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与这两点沿电场强度方向距离之比．
2．电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势．
3．电场强度的另一个单位：由E＝eq \f(UAB,d)可导出电场强度的另一个单位，即伏每米，符号为V/m. 1 V/m＝1 N/C.
三、等势面的疏密与电场强度大小的关系
1.等势面越密的地方电场强度越大。
2.“等势面越密的地方电场强度越大”的结论适用于各种电场。
1．判断下列说法的正误．
(1)公式UAB=Ed适用于计算任何电场中A、B两点间的电势差。( × )
解析：此公式只适用于匀强电场中计算电势差。
(2)根据公式UAB=Ed,在匀强电场中A点和B点间距离越大,则这两点的电势差越大。( × )
解析：公式中的d是A、B两个等势面间的垂直距离,A点和B点间距离大,等势面间的垂直距离不一定大。
(3)在匀强电场中,沿电场线方向,相同距离上降低的电势必相等。( √ )
(4)由公式E=Ud得,电场强度E与电势差U成正比,与两点间的距离d成反比。( × )
解析：电场强度是电场本身的性质,与两点间的距离及电势差无关。
2．练一练
（1）(多选)下列公式中,既适用于点电荷产生的静电场,也适用于匀强电场的有( )
A.电场强度E=Fq
B.电场强度E=Ud
C.电场强度E=kQr2
D.电场力做功W=Uq
答案 AD
解析 E=Fq是电场强度的定义式,适用于一切电场;E=Ud只适用于匀强电场;E=kQr2是点电荷的电场强度公式,只适用于点电荷的电场;W=qU适用于一切电场,A、D正确。
（2）如图1所示，场强为E＝1.0×102 V/m的匀强电场中，有相距d＝2.0×10－2 m的A、B两点，A、B连线与电场方向的夹角为60°，则A、B两点间的电势差为________ V.
图1
答案 1.0
解析 U＝Edcs 60°＝1.0×102×2.0×10－2×eq \f(1,2) V＝1.0 V.
一、匀强电场中电势差与电场强度的关系
导学探究
如图2所示的一个匀强电场，场强大小为E，A、B是沿电场方向上的两点，其电势差为UAB，A、B之间的距离为d.现将一个电荷量为q的电荷由A移到B.
图2
(1)从力和位移的角度计算静电力所做的功；通过A、B间的电势差计算静电力做的功．
(2)比较两次计算的功的大小，说明电势差与电场强度有何关系．
(3)B、C在同一等势面上，UAC与电场强度有何关系？
答案 (1)WAB＝Fd＝qEd WAB＝qUAB (2)两次做功大小相等 UAB＝Ed (3)UAC＝Ed
知识深化
1．公式E＝eq \f(UAB,d)及UAB＝Ed的适用条件都是匀强电场．
2．由E＝eq \f(U,d)可知，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势．
式中d不是两点间的距离，而是两点所在的等势面间的距离，只有当此两点在匀强电场中的同一条电场线上时，才是两点间的距离．
3．电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向．
例1 如图3所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1 m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ.若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100 V/m，则O、P两点的电势差可表示为( )
图3
A．UOP＝－10sin θ (V)
B．UOP＝10sin θ (V)
C．UOP＝－10cs θ (V)
D．UOP＝10cs θ (V)
答案 A
解析 由题图可知匀强电场的方向是沿y轴负方向的，沿着电场线的方向电势降低，所以P点的电势高于O点的电势，O、P两点的电势差UOP为负值，根据电势差与场强的关系可得UOP＝－Ed＝－E·Rsin θ＝－10sin θ (V)，所以A正确．
INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2020\\同步\\例2.TIF" \* MERGEFORMAT 例2 如图4所示，P、Q两金属板间的电势差为50 V，板间存在匀强电场，方向水平向左，板间的距离d＝10 cm，其中Q板接地，两板间的A点距P板4 cm.求：
图4
(1)P板及A点的电势．
(2)保持两板间的电势差不变，而将Q板向左平移5 cm，则A点的电势将变为多少？
答案 (1)－50 V －30 V (2)－10 V
解析 板间场强方向水平向左，可知Q板电势最高．Q板接地，则电势φQ＝0，板间各点电势均为负值．
(1)场强E＝eq \f(U,d)＝eq \f(50,10×10－2) V·m－1＝5×102 V·m－1
Q、A间电势差UQA＝Ed′＝5×102×(10－4)×10－2 V＝30 V
所以A点电势φA＝－30 V，同理可求得P板电势φP＝UPQ＝－50 V
(2)当Q板向左平移5 cm时，两板间距离d ″＝(10－5) cm＝5 cm
Q板与A点间距离变为d＝(10－4) cm－5 cm＝1 cm
电场强度E′＝eq \f(U,d″)＝eq \f(50,5×10－2) V·m－1＝1.0×103 V·m－1
Q、A间电势差UQA′＝E′d＝1.0×103×1.0×10－2 V＝10 V
所以A点电势φA＝－10 V.
1．电势差的三种求解方法
(1)应用定义式UAB＝φA－φB来求解．
(2)应用关系式UAB＝eq \f(WAB,q)来求解．
(3)应用关系式UAB＝Ed(匀强电场)来求解．
2．在应用关系式UAB＝Ed时可简化为U＝Ed，即只把电势差大小、场强大小通过公式联系起来，电势差的正负、电场强度的方向可根据题意另作判断．
二、利用E＝eq \f(U,d)定性分析非匀强电场
UAB＝Ed只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题．
(1)在非匀强电场中，公式U＝Ed中的E可理解为距离为d的两点间的平均电场强度．
(2)当电势差U一定时，场强E越大，则沿场强方向的距离d越小，即场强越大，等差等势面越密．
(3)距离相等的两点间的电势差：E越大，U越大；E越小，U越小．
INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2020\\同步\\例3.TIF" \* MERGEFORMAT 例3 如图5所示，实线为电场线，虚线为等势面，φa＝50 V，φc＝20 V，则a、c连线中点b的电势φb为( )
图5
A．等于35 V B．大于35 V
C．小于35 V D．等于15 V
答案 C
解析 从电场线疏密可以看出ab段场强大于bc段场强，由U＝Ed可以判断Uab＞Ubc，即φa－φb>φb－φc，所以φb＜eq \f(φa＋φc,2)＝35 V，故C正确．
三、用等分法确定等势线和电场线
1．在匀强电场中电势差与电场强度的关系式为U＝Ed，其中d为两点沿电场方向的距离．
由公式U＝Ed可以得到下面两个结论：
结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝eq \f(φA＋φB,2)，如图6甲所示．
图6
结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，同理有UAC＝UBD，如图乙所示．
2．确定电场方向的方法
先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面．
INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2020\\同步\\例4.TIF" \* MERGEFORMAT 例4 如图7所示，A、B、C、D是匀强电场中的矩形的四个顶点，电场线与矩形所在平面平行，A、B、C三点电势分别为φA＝8 V，φB＝2 V，φC＝3 V，则D点的电势为( )
图7
A．7 V B．6 V C．10 V D．9 V
答案 D
解析 因为UAB＝UDC，即8 V－2 V＝φD－3 V，故φD＝9 V，选项D正确．
INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2020\\同步\\例5.TIF" \* MERGEFORMAT 例5 (2018·云南元江一中高二期中)如图8所示，A、B、C、D是匀强电场中的四个点，D是BC的中点，A、B、C构成一个直角三角形，AB长为1 m，电场线与三角形所在的平面平行，已知φA＝5 V、φB＝－5 V、φC＝15 V，由此可以判断( )
图8
A．场强的方向由C指向B
B．场强的方向垂直AD连线斜向上
C．场强的大小为10 V/m
D．场强的大小为eq \f(20,3)eq \r(3) V/m
答案 D
解析 匀强电场中，φB＝－5 V，φC＝15 V，则B、C连线的中点D的电势为φD＝eq \f(φB＋φC,2)＝eq \f(－5＋15,2) V＝5 V，故φD＝φA，AD为一条等势线，根据电场线与等势线垂直，沿着电场线方向电势降低，可知场强的方向垂直于AD连线斜向下，A、B错；场强的大小E＝eq \f(UAB,lABcs 30°)＝eq \f(10,\f(\r(3),2)) V/m＝eq \f(20,3)eq \r(3) V/m，C错，D对.
1．(公式E＝eq \f(UAB,d)和UAB＝Ed的理解)对公式E＝eq \f(UAB,d)和UAB＝Ed的理解，下列说法正确的是( )
A．公式UAB＝Ed适用于计算任何电场中A、B两点间的电势差
B．由UAB＝Ed知，A点和B点间距离越大，则这两点的电势差越大
C．由E＝eq \f(UAB,d)知，匀强电场中A、B两点沿电场线方向的距离越大，则电场强度越小
D．公式中的d是匀强电场中A、B所在的两等势面之间的距离
答案 D
2.(应用UAB＝Ed定性分析非匀强电场)(2018·天津实验中学段考)如图9所示的同心圆是电场中的一簇等差等势线，一个电子只在电场力作用下沿着直线由A→C运动时的速度越来越小，B为线段AC的中点，则下列说法正确的是( )
图9
A．电子沿AC方向运动时受到的电场力越来越小
B．电子沿AC方向运动时具有的电势能越来越大
C．电势差UAB＝UBC
D．电势φA<φB<φC
答案 B
解析 由等势线分布和电子速度变化可知该电场类似于负点电荷的电场，电势φA>φB>φC，电子沿AC方向运动时受到的电场力越来越大，选项A、D错误；根据电子只在电场力作用下沿着直线由A→C运动时的速度越来越小，可知电子具有的电势能越来越大，选项B正确；根据U＝Ed，由于电场为非匀强电场，平均电场强度EAB3．(等分法确定电场强度)(多选)如图10所示，A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，H、F三等分AB，G为AC的中点，在下列各示意图中，能正确表示该电场强度方向的是( )
图10
答案 BC
解析 根据匀强电场的特点可知，H、F的电势分别为φH
＝4 V，φF＝3 V，G的电势φG＝eq \f(5 V＋3 V,2)＝4 V，则φH＝φG，则电场线垂直于GH，又φC＝φF＝3 V，可知电场线也与CF垂直，故选B、C.
4．(公式UAB＝Ed的应用)平行的带电金属板A、B间是匀强电场，如图11所示，两板间距离是5 cm，两板间的电压是60 V.
图11
(1)两板间的场强大小是________；
(2)电场中有P1和P2两点，P1点离A板0.5 cm，P2点离B板也是0.5 cm，P1和P2两点间的电势差U12＝________.
答案 (1)1.2×103 V/m (2)48 V
解析 (1)两板间是匀强电场，由UAB＝Ed可得两板间的场强大小E＝eq \f(UAB,d)＝eq \f(60 V,5×10－2 m)＝1.2×103 V/m.
(2)P1、P2两点沿场强方向的距离：d′＝4 cm.
所以U12＝Ed′＝1.2×103×4×10－2 V＝48 V.
考点一 公式U＝Ed及E＝eq \f(U,d)的理解
1．(2019·咸阳市百灵中学高二上月考)对公式E＝eq \f(U,d)的理解，下列说法正确的是( )
A．此公式适用于计算匀强电场中A、B两点间的电势差
B．A点和B点间距离越大，则这两点的电势差越大
C．公式中的d是指A点和B点之间的距离
D．若eq \x\t(AB)＝eq \x\t(AC)，则一定有UAB＝UAC
答案 A
2．(2018·丰城二中月考)关于匀强电场中的电势差与电场强度的关系的说法正确的是( )
A．任意两点间的电势差等于场强和这两点间的距离的乘积
B．电势降低的方向必定是场强方向
C．沿电场线方向任意相同距离的两点间的电势差必相等
D．不沿电场线方向任意相同距离的两点间的电势差不可能相等
答案 C
解析 匀强电场中两点间的电势差等于场强跟两点沿场强方向上的距离的乘积，沿场强方向电势降落最快，不沿电场线方向的平行直线上相等距离的两点间的电势差也是相等的，所以C正确，A、B、D错误．
考点二 公式U＝Ed及E＝eq \f(U,d)的简单应用
3．如图1所示是匀强电场中的一组等势面，每两个相邻等势面间的距离都是25 cm，由此可确定此电场的电场强度的方向及大小为( )
图1
A．竖直向下，E＝0.4 V/m
B．水平向右，E＝0.4 V/m
C．水平向左，E＝40 V/m
D．水平向右，E＝40 V/m
答案 D
解析 电场线与等势面垂直且沿电场线方向电势降低，故场强方向水平向右，场强大小E＝eq \f(U,d)＝eq \f(10,0.25) V/m＝40 V/m，故D项正确．
4.如图2所示，沿x轴正方向场强为E的匀强电场中，有一动点从A点开始以O为圆心，r＝OA为半径逆时针转动一周，O与圆周上的A点的连线OA与x轴正方向(E方向)成θ角(θ图2
A．U＝Er B．U＝Er(sin θ＋1)
C．U＝Er(cs θ＋1) D．U＝2Er
答案 C
解析 由U＝Ed知，与A点间电势差最大的点应是沿场强方向与A点相距最远的点，dmax＝r＋rcs θ，所以Umax＝Er(cs θ＋1)，C项正确．
5.(多选)如图3所示，一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN.P点在y轴右侧，MP⊥ON.则下列说法正确的是( )
图3
A．M点的电势比P点的电势高
B．将负点电荷由O点移动到P点，电场力做正功
C．M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差
D．M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差
答案 AD
解析 根据电场线和等势面的关系，可以判断出M点的电势比P点的电势高，A正确．将负点电荷由O点移到P点，电场力做负功，B错误．根据U＝Ed进行定性分析可知UMN＜UOM，C错误，D正确．
6．(多选)如图4所示，A、B两板间电势差UAB＝600 V，A板接地，A、B两板间距离为12 cm，C点离A板4 cm，下列说法正确的是( )
图4
A．E＝2 000 V/m，φC＝200 V
B．E＝5 000 V/m，φC＝－200 V
C．电子在C点具有的电势能为－200 eV
D．电子在C点具有的电势能为200 eV
答案 BD
解析 A板接地，则其电势为零，因为A、B两板间的电势差UAB＝600 V，则B板电势为－600 V，由此知C点电势为负值，A、B两板间场强E＝eq \f(U,d)＝eq \f(600 V,12 cm)＝50 V/cm＝5 000 V/m，则φC＝－EdAC＝－50 V/cm×4 cm＝－200 V，A错误，B正确；电子在C点具有的电势能为200 eV，C错误，D正确．
7.如图5所示的匀强电场场强为103 N/C，ab、cd平行于电场线，ac、bd垂直于电场线，ab＝cd＝4 cm，ac＝bd＝3 cm.则( )
图5
A．a、b之间的电势差为40 V
B．a、c之间的电势差为50 V
C．将q＝－5×10－3 C的点电荷沿矩形路径abdca移动一周，电场力做的功是－0.25 J
D．将q＝－5×10－3 C的点电荷沿abd从a移到d，电场力做的功是0.25 J
答案 A
解析 由U＝Ed得Uab＝103×0.04 V＝40 V，A正确；a、c在同一等势面上，所以Uac＝0，B错误；将电荷沿abdca移动一周，位移为0，故电场力做功为0，C错误；Wad＝Wab＝qUab＝－5×10－3×40 J＝－0.2 J，D错误．
8.如图6所示，在电场强度E＝2×103 V/m的匀强电场中有三点A、M和B，AM＝4 cm，MB＝3 cm，AB＝5 cm，且AM边平行于电场线，把一电荷量q＝2×10－9 C的正电荷从B点移动到M点，再从M点移动到A点，电场力做功为( )
图6
A．1.6×10－7 J
B．1.2×10－7 J
C．－1.6×10－7 J
D．－1.2×10－7 J
答案 C
解析 B、M在同一等势面上，正电荷由B到M电场力不做功．由M到A电场力做功为WMA＝－WAM＝－qUAM＝－q·Ed＝－2×10－9×2×103×4×10－2 J＝－1.6×10－7 J，即电场力做功为－1.6×10－7 J.
9.如图7所示，A、B、C、D是匀强电场中以坐标原点为圆心、半径为1 cm的圆与两坐标轴的交点，已知A、B、C三点的电势分别为φA＝12 V、φB＝2 V、φC＝－2 V．由此可得D点的电势为( )
图7
A．4 V B．8 V
C．6 V D．9 V
答案 B
解析 在匀强电场中，电势沿某方向均匀变化，即UDC＝UAB，则φD＝8 V，选项B正确．
10.匀强电场中的三点A、B、C是一个三角形的三个顶点，AB的长度为1 m，D为AB的中点，如图8所示，已知电场线的方向平行于△ABC所在平面，A、B、C三点的电势分别为14 V、6 V和2 V．设电场强度大小为E，一电荷量为1×10－6 C的正电荷从D点移到C点电场力所做的功为W，则( )
图8
A．W＝8×10－6 J，E＞8 V/m
B．W＝6×10－6 J，E＞6 V/m
C．W＝8×10－6 J，E≤8 V/m
D．W＝6×10－6 J，E≤6 V/m
答案 A
解析 因电场是匀强电场，D是AB的中点，故D的电势φD＝eq \f(φA＋φB,2)＝10 V，所以W＝q(φD－φC)＝8×10－6 J；设E的方向与eq \x\t(AB)的夹角为α，则α≠0，否则等势面与AB垂直，C点电势就会高于B点电势，由E＝eq \f(UAB,d)＝eq \f(φA－φB,\x\t(AB)·cs α)＝eq \f(8,cs α)，因0<α11.如图9所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为( )
图9
A．200 V/m B．200 eq \r(3) V/m
C．100 V/m D．100 eq \r(3) V/m
答案 A
解析 在匀强电场中，沿某一方向电势均匀降落或升高，故OA的中点C的电势φC＝3 V(如图所示)，因此B、C在同一等势面上．O点到BC的距离d＝eq \x\t(OC)sin α，而sin α＝eq \f(\x\t(OB),\r(\x\t(OB)2＋\x\t(OC)2))＝eq \f(1,2)，所以d＝eq \f(1,2)eq \x\t(OC)＝1.5×10－2 m．根据E＝eq \f(U,d)得，匀强电场的电场强度E＝eq \f(U,d)＝eq \f(3,1.5×10－2) V/m＝200 V/m，故选项A正确．
12.(2018·南京市高一期末)如图10所示，在竖直平面内存在匀强电场，其电场线如图中实线所示，方向未知，将带电荷量为q＝－1.0×10－6 C的点电荷由A点沿水平线移至B点，其电势能增加了3×10－5 J，已知A、B两点间的距离为2 cm，两点连线与电场线成60°角．
图10
(1)求A、B两点间的电势差UAB；
(2)若A点的电势φA＝－1 V，求B点的电势φB；
(3)求电场强度E的大小，并判断其方向．
答案 (1)30 V (2)－31 V (3)3 000 V/m 沿电场线指向左下方
解析 (1)由题意知，静电力做负功为
WAB＝－3×10－5 J
由UAB＝eq \f(WAB,q)得：UAB＝30 V
(2)UAB＝φA－φB
故φB＝φA－UAB＝(－1－30) V＝－31 V
(3)A、B两点间沿电场线方向的距离为：
d＝2×10－2×cs 60° m＝1×10－2 m.
则E＝eq \f(UAB,d)＝eq \f(30,0.01) V/m＝3 000 V/m.
方向沿电场线指向左下方．
13．如图11所示，平行金属带电极板A、B间可看成匀强电场，场强E＝1.2×102 V/m，极板间距离d＝5 cm，电场中C点到A板的距离、D点到B板的距离均为0.5 cm，B板接地，求：
图11
(1)C、D两点的电势和两点间的电势差；
(2)将带电荷量为q＝2×10－2 C的正点电荷从C点匀速移到D点时除电场力外的其他力做的功．
答案 (1)－5.4 V －0.6 V －4.8 V (2)9.6×10－2 J
解析 (1)因正极板接地，故极板间各点电势均小于零，由U＝Ed得
UBD＝EdBD＝1.2×102×0.5×10－2 V＝0.6 V，
即φD＝－0.6 V.
由于dCB＝5 cm－0.5 cm＝4.5 cm＝4.5×10－2 m，
所以UCB＝－EdCB＝－1.2×102×4.5×10－2 V
＝－5.4 V，即φC＝－5.4 V.
所以UCD＝φC－φD＝－5.4 V－(－0.6 V)＝－4.8 V.
(2)因为点电荷匀速移动，除电场力外的其他力所做的功等于克服电场力所做的功W外＝|qUCD|＝2×10－2×4.8 J＝9.6×10－2 J.
14.(2019·辽宁省实验中学高二月考)如图12所示，在匀强电场中，将带电荷量q＝－6×10－6 C的电荷从电场中的A点移到B点，克服电场力做了2.4×10－5 J的功，再从B点移到C点，电场力做了1.2×10－5 J的功．
图12
(1)求A、B两点间的电势差UAB和B、C两点间的电势差UBC；
(2)如果规定B点的电势为零，则A点和C点的电势分别为多少？
(3)作出过B点的一条电场线．
答案 见解析
解析 (1)UAB＝eq \f(WAB,q)＝eq \f(－2.4×10－5,－6×10－6) V＝4 V
UBC＝eq \f(WBC,q)＝eq \f(1.2×10－5,－6×10－6) V＝－2 V
(2)UAB＝φA－φB，UBC＝φB－φC
又φB＝0
故φA＝4 V，φC＝2 V
(3)AB的中点D的电势为2 V，连接CD，CD为等势线，电场线与等势线垂直，由高电势指向低电势，如图．