安徽省淮北市国泰中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题（原卷版+解析版）

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考试范围：必修二第一章，第二章前三节 考试时间：120分钟； 考试分值：150分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差等差中项的性质，结合等差数列求和公式进行计算.
【详解】因为，
所以
故选：B.
2. 已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平均变化率的定义直接求解.
【详解】因为函数，
所以该函数在区间上的平均变化率为
，
故选：A
3. 已知数列为等比数列，公比为．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题中条件建立关于的等式，由此可解得的值.
【详解】由题意得，，，可得，解得.
故选：C．
4. 已知数列首项为，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知的递推公式，利用累加法可求数列通项.
【详解】由已知得，，
则当时，有，
，
当时，，成立，
，
，
故选：D.
5. 数1与4的等差中项，等比中项分别是（ ）
A. ，B. ，2C. ，2D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】利用等差中项与等比中项的定义分别进行求解即可.
【详解】根据等差中项的定义可知，1与4的等差中项为；
根据等比中项的定义可得，1与4的等比中项G满足G2＝1×4＝4，G＝±2.
故选：D.
6. 在数列中，，则( )
A. 2 012B. 2 020C. 2 021D. 2 022
【答案】C
【解析】
【分析】由题可知数列为等差数列，根据等差数列通项公式即可求解.
【详解】∵，∴，
∴为等差数列，首项为1，公差为1，
∴，∴.
故选：C.
7. 已知等比数列的前n项和，则数列的前5项和等于（ ）
A. 10B. 15C. 20D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式，再求出即可计算得解.
【详解】等比数列的前n项和，则，而，
因此公比，，，显然是等差数列，
所以数列的前5项和等于.
故选：A
8. 已知数列满足则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用累加法即可求解.
【详解】因为所以
累加得：，
所以.
故选：D
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，满分18分）
9. 已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据等差中项的性质可判断AB选项；利用等差数列的求和公式可判断CD选项.
【详解】对于A选项，，A对；
对于B选项，设等差数列的公差为，
则，B错；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，的值无法确定，D错.
故选：AC.
10. 在等比数列{an}中，已知a1＝3，a3＝27，则数列的通项公式是（ ）
A. an＝3n，n∈N＋B. an＝3n－1，n∈N＋C. an＝(－1)n－13n，n∈N＋D. an＝2n－1，n∈N＋
【答案】AC
【解析】
【分析】根据已知条件求得数列的公比，进而求得，从而确定正确选项.
【详解】设等比数列的公比为，则，
当时，.当时，.
故选：AC
11. 设数列的前n项和为，，且，则（ ）
A. B. 是等差数列
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据的关系，即可求解是首项为1，公比为3的等比数列，由等比数列的求和公式即可求解.
【详解】当时，，因为，所以，故A正确；
于是，
当时，，
所以，即，即，
所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，
故，，故BC错误，D正确．
故选：AD
三、填空题(每题5分共3题总分15分)
12. 已知等差数列的公差为，且满足，，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据等差数列的公差的定义计算可得结果.
【详解】.
故答案为：.
13. 若等比数列的前项和，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据等比数列的前项和的理解即可解决.
【详解】由题知，，
因为，
所以由等比数列的性质，.
故答案为：
14. 函数在处的切线与直线平行，则实数的值为________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据导数的几何意义得函数在处的切线的斜率为，再根据直线平行的关系求解即可.
【详解】解：因为，所以，
所以，
所以函数在处的切线的斜率为，
又因为函数在处的切线与直线平行，
所以，解得
故答案为：
四、解答题(15题13分，16、17题每题15分18、19题每题17分共77分)
15. 在某场世界一级方程式锦标赛中，赛车位移单位：与比赛时间单位：的关系是求：
（1），时的与
（2）时的瞬时速度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依据题给条件即可求得对应的与；
（2）利用瞬时速度定义即可求得时的瞬时速度．
【小问1详解】
．
；
【小问2详解】
．
则在时的瞬时速度为
16 已知，.
（1）求数列的通项公式;
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列定义判断数列，根据首项，公差求数列的通项公式即可；
（2）根据等差数列求和公式求出的前项和即可.
【小问1详解】
因为，，又，
由等差数列的定义知是首项为，公差为的等差数列，
故数列的通项公式为.
【小问2详解】
由等差数列的求和公式可得：，所以
17. 求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【解析】
【分析】根据基本初等函数的求导公式求导即可.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
【小问3详解】
，所以.
【小问4详解】
.
【小问5详解】
所以.
18 已知数列满足，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）在式子两边同时加上1，按等比数列的定义证明；
（2）可通过第（1）问构造出的等比数列，求解出的通项公式，然后使用错位相减法和公式法求出数列前n项和.
【小问1详解】
证明：由，可得，
又，所以，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列.
【小问2详解】
解：由（1）得，所以，
，
设，前n项和为，
，
，
两式相减得，
，
得，
.
19. 已知等差数列的公差，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，且，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由，，成等比数列，可得，利用等差数列，，即可求出和，从而求出的通项公式；
（2）由（1）知，利用累加法可得，利用裂项求和即可得 的前项和.
【详解】（1），，成等比数列，
∴∴， 整理得
∴或，
当时，由解得，满足题意，
当时，由解得，不合题意，
∴.
（2）由（1）知，当时，，
∵，∴当时，，
，
又∴当时，∴，.
∴，
∴
【点睛】本题考查求等差数列的通项公式与前项和，考查累加法求数列通项，裂项相消法求和，属于中档题.