福建省漳州市龙海区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟 满分：150分）
友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题纸上！请不要错位、越界答题！
一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分）
1. 下列方程中，一元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义逐一判断即可求解，熟记：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”是解题的关键只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．
【详解】解：A、，不是一元一次方程，故不符合题意；
B、，不是一元一次方程，故不符合题意；
C、，不是一元一次方程，故不符合题意；
D、，是一元一次方程，故符合题意；
故选D．
2. 已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐一判断即可求解，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
【详解】解：A、，
，则错误，故不符合题意；
B、当，时，
则，，则错误，故不符合题意；
C、，
，则正确，故符合题意；
D、当，时，
则，，则错误，故不符合题意；
故选C．
3. 已知是关于的二元一次方程的一个解，则的值为（ ）
A. 5B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．把代入方程，得出一个关于的方程，求出方程的解即可．
【详解】解：是关于、的二元一次方程的一个解，
代入得：，
解得：，
故选：B
4. 如果不等式的解集是，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据原不等式的解集为得，进而可求解，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
详解】解：，
原不等式的解集为，
，
解得：，
故选D．
5. 下列等式变形正确的是（ ）
A. 若，则B. 如果，那么
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立．
【详解】解：A、若，则，原式变形错误，不符合题意；
B、如果，那么，原式变形错误，不符合题意；
C、若，则，原式变形正确，符合题意；
D、若，则，原式变形错误，不符合题意；
故选：C．
6. 二元一次方程的正整数解的个数是（ ）
A 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了解二元一次方程，用y表示出x，令y为正整数求出x的值，可确定出方程的正整数解，掌握求解的方法是解本题的关键．
【详解】解:对进行变形，
得，
由于要求方程的解为正整数，
则，
所以
解得
所以，由于y是整数，
所以当时，；
当时，；
综上所述，方程的正整数解是、，共两组，
故选：B．
7. 我国元朝的数学著作《算学启蒙》记载：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，两马同地出发，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？其大意是：良马每天跑里，驽马每天跑里． 良马和驽马从同地出发，驽马先走天，问良马追上驽马的时间为多少天？若设良马追上驽马的时间为天，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设良马追上驽马的时间为x天，根据路程=速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设良马x天可以追上驽马，
依题意，得：240x=150（x+12）．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8. 由方程组可得出与的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组．方程组两式相加即可得出关系式．
【详解】解：方程组，
，得，
整理得．
故选：A．
9. 已知方程组中，，互为相反数，则的值是（ ）
A. 4B. C. 0D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是解二元一次方程组．根据，互为相反数可知，方程组变为，解方程组即可得出的值．
【详解】解：∵，互为相反数，
∴，
∴方程组变为，
解得，
故选：A．
10. 已知关于x、y的二元一次方程组的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握整体代值的数学思想．首先利用整体代值的数学思想可以得到与的值，然后解关于m、n的方程组即可求解．
【详解】解：∵二元一次方程组的解为，
∴关于m、n二元一次方程组中，
解得：，
故选D．
二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分）
11. 由，用的代数式表示，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程，移项，再化系数为1即可求解，熟练掌握代入消元法是解题的关键．
【详解】解：移项，得：，
，
故答案为：．
12. x的3倍与5的和大于8，用不等式表示为________________ ．
【答案】
【解析】
【分析】先表示出x的3倍，再表示出与5的和，最后根据大于8即可得不等式．
【详解】x的3倍为3x，
x的3倍与5的和为3x＋5，
所以x的3倍与5的和大于8为：3x＋5＞8，
故答案为：3x＋5＞8．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，根据关键语句，弄清运算的先后顺序和不等关系，从而得出不等式是关键．
13. 已知方程组，的解满足，则的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了根据方程组的解的情况，求参数，由得，再根据题意即可求解，将方程组变形为已知的形式是解题的关键．
【详解】解：，
得：，
即：，
，
，
即：，
故答案：1．
14. 若是二元一次方程的一个解，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值．熟练掌握二元一次方程的解，代数式求值是解题的关键．
由题意知，，根据，代值求解即可．
【详解】解：∵是二元一次方程的一个解，
∴把代入，得
∴，
故答案为：．
15. 现规定：，则的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据题目中的规定，得出一元一次不等式并求解即可，运用题目中新规定的运算得出一元一次不等式是解题关键．
【详解】依题意得：，
解得：，
故答案为：．
16. 已知关于的方程组，给出下列结论：
①是方程组一个解；②当时，的值互为相反数；③若，则；
④取任意实数，的值始终不变．
其中正确的是______．（填写正确结论的序号）
【答案】①②③④
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是明确方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．①将，代入检验即可做出判断；②将代入方程组求出方程组的解即可做出判断；③将代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；④消去得到关于与的方程，即可做出判断．
【详解】解：①将代入方程组得：，
解得：，故原说法正确；
②将代入方程组得：，
①②得：，即，
将代入②得：，
则与互为相反数，本选项正确；
③将代入方程组得：，
解得：，
将，代入方程的左边得：，是方程的解，故原说法正确；
④，
由①得：，
代入②得：，
整理得：，故原说法正确，
综上所述，正确的为①②③④．
故答案为：①②③④．
三、解答题（共9小题，满分86分）
17. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程常见的过程有去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等．通过去分母、移项、合并同类项，求得的值．
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得
移项，得，
合并同类项，得．
系数化为1，得．
18. 解方程组：；
【答案】
【解析】
【分析】利用加减消元法求解即可．
【详解】
②-①，得，解得．
把代入①，得：．
所以原方程组的解是．
【点睛】本题考查了二元一次方程的计算问题，掌握加减消元法是解题的关键．
19. 解不等式，并把它的解集表示在数轴上．
【答案】，数轴见解析
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示解集．根据解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解，最后把解集在数轴上表示．
【详解】解：
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
这个不等式的解集在数轴上表示为：
20. 关于的两个一元一次方程①，②，已知方程①的解比方程②的解大1，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程，先求出方程①和方程②的解，再根据题意得，解方程即可求解，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
【详解】解：，
解得：，
，
解得：，
方程①的解比方程②的解大1，
，
解得：．
21. 光明中学为丰富学生的校园生活，准备从体育商店购买若干个同款足球和篮球，已知购买2个足球和4个篮球共需420元，购买3个足球比1个篮球要多花70元．求所购足球、篮球的单价各是多少元？
【答案】足球的单价为元，篮球的单价为元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设所购足球的单价为元，篮球的单价为元，根据题意列出方程组求解即可．解题的关键是找到等量关系，正确列出二元一次方程组．
【详解】解：设所购足球的单价为元，篮球的单价为元，
依题意，得，解得
答：足球的单价为元，篮球的单价为元．
22. 在我们日常生活中的日历上也隐藏着许多的数学规律．如图是2024年3月份的日历，一个虚线方框圈出的（2行2列）个数字之和为：
（1）若这个虚线方框圈出的个数字之和为100，则这4个数的左上角那天是3月几日？
（2）请通过计算判断这个虚线方框圈出的个数字之和能否为84．
【答案】（1）这个数的左上角那天是3月21日；
（2）不能圈出和为84的个数．
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数加法的实际应用，整式加减的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．解题要点是要了解日历上相邻数之间的关系．
（1）设这个数的左上角数字是，则右上角数字是，则左下角的数字为，右下角的数字为，再根据题意建立方程求解即可；
（2）假设能用方框圈出的个数字之和能否为84，求得表格中的，再分析17所处的位置，据此进行解答即可．
【小问1详解】
设这个数的左上角数字是，则右上角数字是，则左下角的数字为，右下角的数字为，
由题意得，，
解得，
这个数的左上角那天是3月21日；
【小问2详解】
如果能用方框圈出和为84的个数，
列方程，，
解得，
因为17处于最后一列，
所以不能圈出和为84的个数．
23. 我校七年级准备组织观看电影《热辣滚烫》，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张25元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两种优惠方案可选择．方案一：全体人员可打8折；方案二；若打9折，有5人可以免票．
（1）若二班有42名学生，则他选择哪个方案更优惠？
（2）一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道一班有多少人吗？
【答案】（1）若二班有42名学生，则他选择方案一更优惠
（2）一班有45人
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用：
（1）分别计算出方案一和方案二的花费，然后比较大小得到答案；
（2）设一班有人，根据已知条件得到两种方案费用一样，进而列出方程求出答案；
理解题意，列出正确的等量关系是解答本题的关键．
【小问1详解】
解：依题意得：
方案一的花费为：（元），
方案二的花费为：（元），
，
若二班有42名学生，则他选择方案一更优惠．
【小问2详解】
设一班有人，根据题意，得：
，
解得：，
答：一班有45人．
24. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务一：8，3；0，6；任务二：购进110张该型号板材，制作成480张学生椅；任务三：159张
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组．
任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，可得：，求出非负整数解即可；
任务二：列式计算得能制作成240张学生椅；
任务三：设用x张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背0张和坐垫6张，可得，解方程组可得答案．
【详解】解：任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，
，
m，n为非负整数，
或或
故答案为：8，3；0，6；
任务二：∵（张），
∴购进110张该型号板材，制作成480张学生椅；
任务三：设用x张板材裁切靠背8张和座垫3张，用y张板材裁切靠背0张和座垫6张，，
解得：
∵（张），
∴需要购买该型号板材159张，用其中86张板材裁切靠背8张和座垫3张，用73张板材裁切靠背0张和座垫6张．
25. 对于任意有理数，规定：当时，；当时，．
（1）填空：______，______，______；
（2）若，求的值；
（3）若两个有理数，，且异号，满足，请直接写出之间可能存在的数量关系．
【答案】（1）5，1，
（2）或
（3）或或或
【解析】
【分析】（1）根据新定义运算的法则代入的值进行计算即可；
（2）分情况讨论：当与，再建立方程求解即可；
（3）由a， b异号，可得，或，，再分两种情况讨论即可．
【小问1详解】
解：∵当时，； 当时，．
∴，，
；
故答案为：5，1，；
【小问2详解】
∵，
∴当时，即，
∴，
解得：，
当，则，
∴，
解得：（不符合题意）；
综上，或；
【小问3详解】
∵a， b异号，
∴，或，，
当，时，
∴，，
∵两个有理数，， 满足，
∴，
若，时，则，
∴，
∴或；
若，时，则，
∴，
∴，（不符合题意舍去）；
当，时，
∴，，
∵两个有理数，， 满足，
∴，
若，时，，
∴或；
若，时，
∴，
∴，
∴（不符合题意舍去）；
综上：或或或．
【点睛】本题考查的是求解代数式的值，绝对值方程的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键．如何设计板材裁切方案？
素材1
图l中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．圈2是靠背与
座垫的尺寸示意图．
素材2
因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材来加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为50cm．（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一
拟定裁切方案
若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法．
方法一：裁切靠背16张和座垫0张．
方法二：裁切靠背______张和座垫______张．
方法三：裁切靠背______张和座垫______张．
任务二
确定搭配数量
若该工厂购进110张该型号板材，能制作成多少张学生掎？
任务三
解决实际问题
现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，若将板材采用方法二和方法三裁切，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？