湖南省长沙市浏阳市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
一、单选题
1. 下列各式是最简二次根式的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【详解】解：A．不是最简二次根式；
B．不是最简二次根式；
C．不是最简二次根式；
D．是最简二次根式．
故选：D．
2. 如图，点M（﹣3，4）到原点的距离是（ ）
A 3B. 4C. 5D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】根据点在平面直角坐标系中的坐标的几何意义，及两点间的距离公式便可解答．
【详解】解：∵点M的坐标为（﹣3，4），
∴点M离原点的距离是=5．
故选：C．
【点睛】本题考查了两点间的距离公式，属于基础题，关键是掌握设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB=．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【详解】A、，所以A选项错误；
B、与不能合并，所以B选项错误；
C、，所以C选项正确；
D、，所以D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4. 如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小宇同学在池塘的一侧选取一点O，测得的中点分别是点D、E，且米，则A、B两点的距离是（ ）
A 9米B. 18米C. 36米D. 54米
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中位线定理应用，根据D、E是、的中点，即是的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解．
【详解】解：∵D、E是、的中点，即是的中位线，
∴，
∴（米）．
故选：C．
5. 如图，平行四边形中，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质结合已知条件即可求解．
【详解】解∶∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又，
∴．
故选：D．
6. 如图， 已知线段和射线， 且， 在射线上找一点C， 使得四边形是平行四边形，下列作法不一定可行的是 （ ）
A. 过点D作与交于点C
B. 在下方作与交于点C， 使
C. 在上截取， 使， 连接
D. 以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的判定．根据基本作图和平行四边形的判定方法对各选项进行判断．
【详解】解：A．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以A选项不符合题意；
B．由作法得，由得，则，所以，则四边形是平行四边形，所以B选项不符合题意；
C．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以C选项不符合题意；
D．由作法得，而，则四边形不一定是平行四边形，所以D选项符合题意．
故选：D．
7. 如图，在四边形中，为直角，，，对角线、相交于点O，，，则四边形的面积为（ ）
A. 60B. 30C. 90D. 96
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理，先证明四边形是矩形，再利用矩形的性质和勾股定理求得即可．证明四边形是矩形是解答的关键．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵为直角，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴，则，
∴四边形的面积为．
故选：A．
8. 如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为（ ）

A. 2B. 2.5C. 3D. 3.5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，明确、、在同一直线上时，取最小值是解题的关键．
根据勾股定理得到，根据直角三角形斜边中线的性质求得，，由当、、在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为2．
【详解】解：如图，连接、，

，，，
，
，点、分别是、的中点，
，，
当、、同一直线上时，取最小值，
的最小值为：．
故选：A．
9. 如图，在中，点D，E，F分别在边上，且，下列说法不正确是（ ）
A. 若，那么四边形是矩形
B. 若平分，那么四边形是菱形
C. 若且，那么四边形是菱形
D. 若，那么四边形是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的判定，菱形的判定，解答即可，本题考查了矩形，菱形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【详解】∵
∴四边形是平行四边形，
A. 若，那么四边形是矩形，正确，不符合题意；
B. 若平分，那么四边形是菱形，正确，不符合题意；
C. 若且，那么四边形是菱形，正确，不符合题意；
D. 若，不能得出四边形是矩形，错误，符合题意；
故选D．
10. 如图，在矩形纸片中，，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为．则的长为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由折叠的性质，矩形的性质可知，，，则，设，则，由勾股定理得，，即，可求，则，如图，作于，则四边形是矩形，，，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可知，，，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，
如图，作于，则四边形是矩形，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形与折叠，等角对等边，矩形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形与折叠，等角对等边，矩形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 二次根式有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，据此得到，即可求出答案．
【详解】解：∵次根式有意义，
∴，
解得，
故答案为：．
12. 已知菱形的两条对角线分别是4和6，则其面积是________．
【答案】12
【解析】
【分析】此题考查了菱形面积的求解方法：①底乘以高，②对角线积的一半．
根据菱形面积的求解方法求解即可．
【详解】∵菱形的两条对角线分别是4和6，
∴其面积是．
故答案为：12．
13. 若x，y为实数，且，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的非负性以及二次根式有意义的条件，根据，得出，再分别计算，即可作答．
【详解】解：∵，且
∴
∴
解得
∴
故答案为：
14. 古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为a、b、c，记，则三角形的面积为，因此后人将他们的发现合称为海伦-秦九韶公式，请你利用海伦-秦九韶公式计算以下的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的意义，先根据题意求出，再根据公式代值计算即可．
【详解】解：由题意得，，
∴
，
故答案为：．
15. 如图，我国古代数学家赵爽的“勾股图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是12，小正方形的面积是3，直角三角形的两直角边分别为a，b，那么的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，以及完全平方式，由题意可得，，，进而可得，再根据即可求解，正确根据图形的关系求得和的值是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，，
由可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，负值舍去，
故答案为：．
16. 如图所示的网格是正方形网格，则＝_____°（点A，B，P是网格线交点）.
【答案】45
【解析】
【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，
∴PD2+DB2=PB2，
∴∠PDB=90°，
即△PBD为等腰直角三角形，
∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，
故答案为：45．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的减法计算，二次根式乘法计算：
（1）先化简二次根式，再计算二次根式减法即可；
（2）根据二次根式乘法计算法则求解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 如图，在中，，D为边上一点，以为邻边作平行四边形，连接．

（1）求证：；
（2）若点D是中点，说明四边形是矩形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等，结合等边对等角，得到，利用证明即可；
（2）根据三线合一，结合平行四边形的性质，得到四边形为平行四边形，，即可得证．
【小问1详解】
证明：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
【小问2详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，点是中点，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为矩形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定等知识点，掌握相关判定和性质，是解题的关键．
19. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈＝10尺，1尺＝米），这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为一丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？请你用所学知识解答这个问题．
【答案】水池里水的深度是4米，芦苇长为米
【解析】
【分析】根据题意，构建直角三角形，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】．解：设水池里水的深度是x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
由题意得，x2+52=（x+1）2，
解得：x=12，
x+1=13，
米，米，
答：水池里水的深度是4米，芦苇长为米
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练地掌握勾股定理是解题的关键．
20. 先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
（1）______的解答过程是错误的（填“小亮”或“小芳”）；
（2）错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______（请用符号语言表达）；
（3）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）小亮 （2）（或）
（3）；2030
【解析】
【分析】此题考查二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质进行判断即可；
（2）根据二次根式的性质进行回答即可；
（3）由m的值可知，根据二次根式的性质得到化简结果，再把字母的值代入计算即可．
【小问1详解】
解：根据二次根式的性质可知，小亮的解答过程是错误的；
故答案为：小亮
【小问2详解】
小亮错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质，二次根式的性质：（或），
故答案为：（或）
【小问3详解】
原式，
，
，
原式



．
21. 如图，每个小正方形的边长都是1，，，，均在网格的格点上．
（1）判断是否为直角：______．（填写“是”或“不是”）
（2）直接写出四边形的面积为______．
（3）找到格点，并画出四边形（一个即可），使得其面积与四边形面积相等．
【答案】（1）不是 （2）14
（3）见解析（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）先利用勾股定理分别求出的长，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可得；
（2）利用分割法求解即可得；
（3）先利用平行四边形的性质找到格点，再利用等高模型画出图形即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
不是直角，
故答案为：不是．
【小问2详解】
解：四边形的面积为，
故答案为：14．
【小问3详解】
解：如图，点和四边形即为所求．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理、平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．
22. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作，与的延长线相交于点F，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当满足什么条件时，四边形是菱形？请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）当满足条件时, 四边形是菱形，理由见解析
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形与直角三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键.
（1）由，得到两对内错角相等，再由为中点，得到，利用得到与全等，利用全等三角形对应边相等得到，再由，等量代换得到，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证；
（2）由，为中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到由邻边相等的平行四边为菱形，即可得证.
【小问1详解】
证明： ∵为的中点， 为中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
【小问2详解】
当满足条件时， 四边形是菱形，理由为：
由（1）可得四边形为平行四边形；
，是的中点，
，
∵四边形为平行四边形，，
∴四边形为菱形.
23. 如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接，，．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，则菱形的面积为______．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）先由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得出，由菱形的性质得出，，、的长，然后由菱形的面积公式即可得出结果．
【小问1详解】
证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：四边形是矩形，
，
四边形是菱形，，
，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
．
故答案为：．
24. 如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F，求证．（提示：取的中点G，连接）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键．
取中点，连接，得出，，进而得到△BHE为等腰直角三角形即可得出的值，再利用补角的性质得出，然后根据角平分线的性质求出，最后根据性质判定和全等即可得出答案．
【详解】证明：取中点，连接
又为的中点，四边形是正方形
∴，
∴为等腰直角三角形
∴，
又∵，
∴，
∴
又交正方形外角的平分线于点F
∴，
在和中
∴
∴．
25. 若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形”．
（1）下列四边形一定是巧妙四边形的是 ；（填序号点①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
初步应用
（2）在绝妙四边形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，则∠BCD＝ ；
深入研究
（3）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，∠B＝72°．求证：梯形ABCD是绝妙四边形．
（4）在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的度数．
【答案】（1）③④；（2）140°或80°或160°；（3）见解析；（4）∠BCD的度数是45°或135°或90°
【解析】
【分析】（1）由巧妙四边形的定义，即可得到菱形和正方形是巧妙四边形；
（2）根据绝妙四边形的定义可知：两条对角线都是巧分线，分情况画图进行计算可得结论；
（3）首先根据题意画出图形，然后分别证明两条对角线分成的三角形是等腰三角形即可；
（4）根据AC是四边形ABCD的巧分线，可知：△ACD和△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形时分三种情况画图进行讨论可得结论．
【详解】解：（1）∵菱形的四条边相等，
∴连接对角线能得到两个等腰三角形，
∴菱形是巧妙四边形；
正方形是特殊的菱形，所以正方形也是巧妙四边形；
故答案是：③④；
（2）分三种情况，
①当AC＝AD＝AB时，如图1，
∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵∠BAD＝80°，
∴∠BAC＝∠DAC＝40°，
∵AC＝AD＝AB，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠ACB＝∠ABC＝＝70°，
∴∠BCD＝2∠ACD＝140°；
②当AD＝CD，AB＝BC时，如图2，
∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，
∴AB＝AD＝CD＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠BCD＝∠BAD＝80°；
③在四边形ABCD中，AC＝CD＝BC，如图3，
∴∠CAD＝∠ADC＝40°
∴∠ACD＝∠ACB＝100°
∴∠BCD＝360°﹣100°﹣100°＝160°；
综上，∠BCD＝140°或80°或160°；
故答案为140°或80°或160°；
（3）如图4，连接AC与BD，交于点O，
梯形ABCD中，AB＝CD，
∴∠ABC＝∠DCB＝72°，
∵AD∥BC，
∴∠BAD＝∠ADC＝108°，
∵AB＝AD＝CD，
∴△ABD是等腰三角形，∠ABD＝∠ADB＝36°，
∴∠DBC＝72°﹣36°＝36°，∠BDC＝108°﹣36°＝72°＝∠DCB，
∴△BDC也是等腰三角形，
∴对角线BD叫做这个四边形ABCD的“巧分线”，
同理可得△ADC和△ACB也是等腰三角形，
∴对角线AC叫做这个四边形ABCD的“巧分线”，
∴梯形ABCD是绝妙四边形；
（4）∵AC是四边形ABCD的巧分线，
∴△ACD和△ABC是等腰三角形，
①当AC＝BC时，如图5，过C作CH⊥AB于H，过C作CG⊥AD，交AD的延长线于G，
∵∠HAD＝∠AHC＝∠G＝90°，
∴四边形AHCG是矩形，
∴AH＝CG＝AB＝CD，
∴∠CDG＝30°，
∴∠ADC＝150°，
∴∠DAC＝∠DCA＝15°，
∵∠DAB＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝75°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠BCD＝30°+15°＝45°；
②当AC＝AB时，如图6，
∵AC＝AB＝AD＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠CAD＝∠ACD＝60°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝75°，
∴∠BCD＝75°+60°＝135°；
③当AB＝BC时，如图7，此时∠BCD＝90°
综上，∠BCD的度数是45°或135°或90°．
【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查了新定义：“巧妙四边形”和“绝妙四边形”的定义和判定，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质、矩形的判定和性质、正方形和菱形的判定和性质，此题难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．