广东省深圳市光明区光明中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

这是一份广东省深圳市光明区光明中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题，共8页。试卷主要包含了本卷命题范围，函数的单调递减区间是，若，其中为实数，则等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：选择性必修第二册、选择性必修三第六章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．小米汽车首款车型小米SU7于2024年3月28日正式发布，该款车型有9种外观颜色，4种内搭颜色可供选择．若车主自由选择车的外观和内搭颜色，共有（ ）种情况
A．4B．9C．13D．36
2．某质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（ ）
A．B．3m/sC．D．
3．在等比数列中，，，则公比（ ）
A．B．C．D．
4．的展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第二项B．第三项C．第四项D．第五项
5．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
6．某校街舞社共8位同学，为了给高三学子加油鼓劲，编排了一组团体舞蹈，站队时要求站成两排四列，且要保证每一列前面的同学身高比后面的同学矮（8名学生身高均不相同），共有（ ）种站队方法
A．2250B．2520C．2790D．3250
7．已知函数与偶函数在交点处的切线相同，则函数在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知数列，，，且，则数列的前2023项之和为（ ）
A．0B．2C．2024D．4048
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知数列是公比为q的等比数列，且成等差数列，则q的值可能为（ ）
A．B．1C．D．
10．若，其中为实数，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数，，下列说法正确的是（ ）
A．函数存在唯一极值点，且
B．令，则函数无零点
C．若恒成立，则
D．若，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知为等差数列，且，，则______．
13．安排甲、乙，丙、丁4位老师到A，B，C三所学校工作，要求每所学校都有人去，每人只能去一所学校，则甲不去A学校、乙不去B学校工作的分配方案数为______种．
14．已知函数，，若存在m，n，使得若存在成立，则mn的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知等差数列的前n项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和．
16．（15分）
在的展开式中，所有项的二项式系数的和为128．
（1）求n的值；
（2）若展开式中x的系数为，求实数a的值．
17．（15分）
已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若恰有三个零点，求a的取值范围．
18．（17分）
已知数列为等差数列，，，数列的前n项和为，且满足．
（1）求和的通项公式；
2若，数列的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围．
19．（17分）
已知函数，其中a为实数．
（1）若，试求函数的单调区间；
（2）当，，且时，若恒有，试求实数的取值范围．
深圳市光明区光明中学2023~2024学年高二第二学期期中考试·数学
参考答案、提示及评分细则
1．D 根据分步乘法计数原理，第一步选外观颜色，有9种选择；
第二步选内搭，有4种选择，因此种．
2．C 由函数关系式，得其导函数为，将代入导函数，得，所以当时，该质点的瞬时速度为．
3．A 由题知，所以．
4．C 的展开式中，项的二项式系数为，当时，最大，即第四项的二项式系数最大．
5．A 由题意可得，
且函数的定义域为．由，得，即的单调递减区间是．
6．B 将前后2人看成一组，可看成4个不同位置，分别取出2人排在4个位置，两人顺序确定（高在后，矮在前），所以不同的站法共有种．
7．D 由题可知，与相切于，且，
又为偶函数，所以，，故切线方程为．
8．B 当n为奇数时，，，所以数列的奇数项构成首项为2，公差为的等差数列；当n为偶数时，，所以数列的偶数项构成首项为0，公差为2的等差数列．所以前2023项和为：．
9．BC 由题意，可知，即．
又，，或．
10．ACD 令，则原式转化为，
令，得；由二项式定理得；
令，得，令，得，
所以，所以．
11．ABD A项，，在单调递增，
，，所以，使得，A正确．
B项，恒大于0，恒大于0，故无零点，B正确．
C项，即恒成立，令，则，
由在上递增，又，，
所以存在，使，所以在上递减，
在上递增（其中满足，即）．
所以，要使恒成立，
所以，存在满足题意，故C错误．
D项，构造，且在单调递增，，所以D正确．
12． 因为，所以．
13．17 当甲去B学校时，，当甲不去B学校时，，所以共有种．
14． 的定义域为，由得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
又，由得，
又，，，
令，则令，得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以当时，，所以mn的最小值为．
15．解：（1）设等差数列的公差为d，由，，
得，解得，，所以．
（2）由（1）得，所以，
所以．
16．解：（1）因为所有项的二项式系数的和为128，所以，所以．
（2）二项式的展开式的通项公式为，
令得，所以展开式中x的系数为，解得．
17．解：（1）时，，所以，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，即，
（2）因为，所以是的一个零点，
因为恰有三个零点，
所以方程有两个不为2实数根，即方程有两个不为2实数根，
令，所以，
令，得，令，得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，的值域为；当时，的值域为，
所以，且，所以且．
所以a的取值范围是．
18．解：（1）等差数列中，设公差为d，
则；
数列中的前n项和为，且①
当时；当时，②，②－①得：，
故数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以．
（2）数列中，．
则，
所以，
故
，
所以，
因为对恒成立．
当n为奇数时，；
当n为偶数时，，
综上，实数m的取值范围为．
19．解：（1），，．
当，即时，，单调递增；
当时，，单调递减．
函数的单调增区间为，单调减区间为．
（2）函数
令，，
当时，可知，故恒成立，
可知，在区间上为单调增函数，
不妨设，且，
则变为，
即，
设函数
，
由，得在时为单调减函数，
即，即，
也即对与恒成立．
，可知时，取最大值，
即，即对时恒成立，
由，可知，即取值范围为．