河北省石家庄市2024届高三教学质量检测（三）数学试卷

这是一份河北省石家庄市2024届高三教学质量检测（三）数学试卷，共10页。试卷主要包含了已知角满足，则等内容，欢迎下载使用。

（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则（ ）
A．B．C．3D．5
2．已知圆和圆，则两圆公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．25B．27C．30D．35
4．已知双曲线的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．设是三个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
6．某项活动在周一至周五举行五天，现在需要安排甲、乙、丙、丁四位负责人值班，每个人至少值班一天，每天仅需一人值班，已知甲不能值第一天和最后一天，乙要值班两天且这两天必须相邻，则不同安排方法的种数为（ ）
A．24B．10C．16D．12
7．已知角满足，则（ ）
A．B．C．D．2
8．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线过与交于两点，若，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（ ）
A．三项比赛都参加的有2人B．只参加100米比赛的有3人
C．只参加400米比赛的有3人D．只参加1500米比赛的有1人
10．函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．的图象关于直线对称
C．
D．若方程在上有且只有5个根，则
11．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．若点为中点，则异面直线与所成角的余弦值为
B．若点为线段上的动点（包含端点），则的最小值为
C．若点为的中点，则平面与四边形的交线长为
D．若点在侧面正方形内（包含边界）且，则点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．为了解全市高三学生的体能素质情况，在全市高三学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名学生的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．则直方图中实数的值为______．
13．给定函数，用表示中的较大者，记．若函数的图像与有3个不同的交点，则实数的取值范围是______．
14．已知数列满足：，定义：表示整数除以4的余数与整数除以4的余数相同，例：．设其中，数列的前项和为，则______；满足的最小值为______．（本题第一个空2分，第二个空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在中，角所对的边分别为．
（1）若，求的值；
（2）求面积的最大值．
16．（本小题满分15分）
在推动电子制造业高质量发展的大环境下，某企业统筹各类资源，进行了积极的改革探索．下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量（件）与相应的生产总成本（万元）的四组对照数据．
企业研究人员建立了与的两种回归模型，利用计算机算得近似结果如下：
经验回归方程①：；经验回归方程②：．
其中经验回归方程①的残差图如图所示（残差观测值预测值）：
（1）在下表中填写经验回归方程②的残差，根据残差分析，判断哪一个经验回归方程更适宜作为关于的回归方程，并说明理由；
（2）从该企业在过去几年生产的该产品中随机抽取100件，优等品有60件，合格品有40件．每件优等品利润为20万元，每件合格品利润为15万元．若视频率为概率，该企业某月计划生产12件该产品，记优等品件数为，总利润为．
（ⅰ）求与的关系式，并求和；
（ⅱ）记该月的成本利润率，在（1）中选择的经验回归方程下，求的估计值．（结果保留2位小数）
附：成本利润率．
17．（本小题满分15分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若函数，求函数极值点的个数．
18．（本小题满分17分）
如图，在五棱锥中，平面平面，．
（1）证明：平面；
（2）若四边形为矩形，且，．当直线与平面所成的角最小时，求三棱锥体积．
19．（本小题满分17分）
已知椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，直线与交于两点，点在第一象限，点在第四象限且满足直线与直线的斜率之积为．当垂直于轴时，．
（1）求的方程；
（2）若点为的左顶点且满足，直线与交于，直线与交于．
①证明：为定值；
②证明：四边形的面积是面积的2倍．
2023－2024年度石家庄市高中毕业年级质量检测（三）
数学答案
一、选择题：
1－4 B C A B 5－8 D D C C
二、选择题：
9．ABD 10．ACD 11．BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12． 13． 14．2 40
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．解：（1），，
（2），，，
，，
，，
当且仅当时，等号成立
16．解：（1）经验回归方程②的残差数据如下表：
（说明：以上每空1分）
经验回归方程②的残差图如图所示：
经验回归方程①更适宜作为关于的回归方程．
（以下理由或其他合理的理由，说出一条即可得分）：
理由1：经验回归方程①这4个样本点的残差的绝对值都比经验回归方程②的小．
理由2：经验回归方程①这4个样本的残差点落在的带状区域比经验回归方程②的带状区域更窄．
理由3：经验回归方程①这4个样本的残差点比经验回归方程②的残差点更贴近轴．
（2）（ⅰ）由题意知，每件产品为优等品的概率
则，因此
由 则
（ⅱ）由（ⅰ）知总利润为216万元，总成本估计值（万元）则
17．解：（1）
当时，当时，单调递增；
当时，单调递减．
当时，当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，在单调递增．
（2）时，，
设在区间单调递增．
因为，
所以存在唯一使得，
当时，单调递减，即单调递减；
当时，单调递增，即单调递增．
，且在单调递减，所以，又
因此在区间存在唯一零点
当时，单调递增；
当时，单调递减；所以极值点为，
因此极值点个数为2
18．（1）证明：因为平面平面平面，
平面平面 所以平面，
又平面，所以，
又因为，且平面 所以平面．
（2）以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系
设，则，
可得与轴夹角为，所以，
，
，平面的法向量记为
由得
令，得
即，
当时，等号成立，
此时，直线与平面的所成的角取得最小值，
此时
19．解：（1）当垂直轴时，由直线与直线的斜率之积为，故，设，则，解得，
即，则，解得，故的方程为；
（2）①设，由知，将得，
即．由为上点，则
．又直线与直线的斜率之积为，故，即．因此；
②由①联立，消去得，
，
由，
即，即．因此有．
面积，四边形的面积，即若要证，只需证．
设，故只需证即可．
直线，联立解得，
同理得．
故，故问题得证．5
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