河南省信阳市光山县第二高级中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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命题人：胡莹 做题人：张付坤 审题人：王生科
（分值：150分 时间：150分钟）
一、单选题：本题共8道小题，每一题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 复数满足，则的模等于（ ）
A B. 0C. 1D.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
3. 若，则的最小值是（ ）
A. 2B. aC. 3D. 4
4. 如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE＝CD，若点P为CD的中点，且，则（ ）
A. 3B.
C. 2D. 1
5. 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，则的值为（ ）
A. B. C. D. 或
6. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在直角梯形ABCD中，，，，，P是线段AB上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. 5C. D. 7
8. 已知函数，若函数恰有8个不同零点，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
二、多选题：本题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9. 用一个平面去截一个三棱柱，可以得到的几何体是（ ）
A. 四棱台B. 四棱柱C. 三棱柱D. 三棱锥
10. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为1
B. 若，则
C. 若，与垂直的单位向量只能为
D. 若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A. 是函数的一个周期
B. 是函数一条对称轴
C. 函数的最大值为，最小值为
D. 函数在上单调递减
三、填空题：本题共3道小题，每小题5分，共15分
12. 如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形，如果三棱柱的体积，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为_________
13. 设向量、满足，，且，则向量在向量方向上投影向量是_________.
14. 设为内一点，且满足关系式，则__．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答莹写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示．
（1）求此几何体的表面积；
（2）如果点在直观图中所示位置，为所在母线中点，为母线与底面圆的交点，求在几何体表面上，从点到点的最短路径长．
16. 的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，面积为2，求．
17. 已知向量满足.
（1）求向量的夹角；
（2）求向量与的夹角的余弦值.
18. 如图，在中，已知，，为锐角，是线段的中点，在线段上，且，，相交于点，的面积为．

（1）求长度；
（2）求的余弦值．
19. 某公园拟对一扇形区域进行改造，如图所示，平行四边形为休闲区域，阴影部分为绿化区，点在弧上，点，分别在，上，且米，，设.

（1）请求出顾客休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值，最大值为多少平方米？
（2）设，求的取值范围.