福建省福州延安中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份福建省福州延安中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（满分：150分 时间：120分钟）
一、单选题（共10题，每题4分）
1. 下列式子为最简二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案即可．
【详解】解：A、=，不是最简二次根式，故此选项错误；
B、是最简二次根式，故此选项正确；
C、=2，不是最简二次根式，故此选项错误；
D、=，不是最简二次根式，故此选项错误；
故选B．
【点睛】此题主要考查了最简二次根式，正确把握最简二次根式的定义是解题关键．
2. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可．
【详解】解：A、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、，符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
C、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；该试卷源自 每日更新，享更低价下载。D、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3. 下列函数中，是一次函数的是（ ）
A. ；B. ；C. ；D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义逐项验证即可．
【详解】解：由一次函数的定义知，是一次函数，
故选：A
4. 若一次函数的函数值y随x的增大而减小，则m的值可以是（ ）
A. B. C. 0D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数的增减性．对于一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．熟记相关结论即可．
【详解】解：由题意得：，
∴
故选：A
5. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A. 当时，是菱形B. 当时，是矩形
C. 当时，是菱形D. 当且时，是正方形
【答案】A
【解析】
【分析】根据有一个角等于90°的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等且对角线垂直的平行四边形是正方形，逐一判定．
【详解】A. 当∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形而不是菱形，故该选项不正确，符合题意；
B. 当∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，故该选项正确，不符合题意；
C. 当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形，故该选项正确，不符合题意；
D. 当AC＝BD且时，平行四边形ABCD是正方形，故该选项正确，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查了矩形，菱形，正方形等，熟练掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理，正方形的判定定理，是解此题的关键．
6. 一次函数的图像，可由函数的图像（ ）
A. 向左平移2个单位长度而得到B. 向右平移2个单位长度而得到
C. 向上平移2个单位长度而得到D. 向下平移2个单位长度而得到
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图象平移的规律即可得出；
本题主要考查了一次函数图象的平移，解题的关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
【详解】解：将向下平移2个单位，
得到，
的图像由一次函数向下平移2个单位得到的；
故选：D．
7. 在同一平面直角坐标系中，函数y=kx与的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据一次函数的性质判断出k取值，再根据正比例函数的性质判断出k的取值，二者一致的即为正确答案．
【详解】解：A、由函数y=kx的图象，得k＜0，由y=x+k的图象，得k＜0，故符合题意；
B、由函数y=kx的图象，得k＜0，由y=x+k的图象，得k＞0，k值相矛盾，故不符合题意；
C、由函数y=kx的图象，得k＞0，由y=x+k的图象不正确，故不符合题意；
D、由函数y=kx的图象，得k＞0，由y=x+k的图象不正确，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象，要掌握一次函数性质才能灵活解题．
8. 已知一次函数的图象不过第三象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，要熟练掌握，根据一次函数的图象不经过第三象限，可得，据此求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限，
∴，
解得：，故D正确．
故选：D．
9. 若样本x1，x2，x3，…，xn的平均数为10，方差为4，则对于样本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，…，xn﹣3，下列结论正确的是（ ）
A. 平均数为10，方差为2B. 众数不变，方差为4
C. 平均数为7，方差为2D. 中位数变小，方差不变
【答案】D
【解析】
【分析】利用平均数、中位数、众数和方差的意义进行判断．
【详解】解：∵样本x1，x2，x3，…，xn的平均数为10，方差为4，
∴样本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，…，xn﹣3的平均数为10-3=7，方差不变为4，众数和中位数变小．
故选：D．
【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数和方差的定义，熟练掌握方差的意义是解题的关键．
10. 如图，在矩形中，，，是上一个动点，过点作，垂足为，连接，取的中点，连接，则线段的最小值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、中位线定理以及含30度角的直角三角形，延长至点，使得，连接，可得，进一步可得；根据可知当时，有最小值，据此即可求解．
【详解】解：延长至点，使得，连接，如图所示：
∵，,
∴垂直平分，
∴，
∴
∴
∵的中点为点，
∴
∵，，
∴当时，有最小值，最小值为，
此时也最小，最小值为
故选：A
二、填空题（共6题，每题4分）
11. 函数y＝中，自变量x取值范围是________．
【答案】x≤1
【解析】
【详解】分析：根据二次根式有意义的条件解答即可.
详解：
∵二次根式有意义，被开方数为非负数，
∴1 -x≥0，
解得x≤1.
故答案为x≤1.
点睛：本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义，被开方数为非负数是解题的关键.
12. 对甲、乙两个超市在九月份每天的营业额进行调查，发现：在九月份两个超市每天营业额的平均值相同，方差分别为＝7.5，＝2.6，则九月份每天营业额较稳定的超市是 _____（填“甲”或“乙”）．
【答案】乙
【解析】
【分析】根据方差越小，越稳定进行求解即可．
【详解】解：∵＝7.5，＝2.6，
∴，
∴九月份每天营业额较稳定的超市是乙，
故答案为：乙．
【点睛】本题主要考查了根据方差判定稳定性，熟知方差越小，越稳定是解题的关键．
13. 有一列数2，3，4，4，6，若增加一个实数a后，中位数仍不变，则a的值可以是______（写出一个即可）．
【答案】4（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查中位数，根据中位数的意义求解即可，理解中位数的意义是正确解答的前提，将一组数据从小到大排序找出中间位置的一个数或两个数的平均数是解决问题的关键．
【详解】将这组数据从小到大排列为：2，3，4，4，6，则中位数为4，
∵增加一个数a后，这列数的中位数仍不变，
则这组数据从小到大排列为：2，3，4，a，4，6或2，3，4，4，a，6
∴或，
∴a的取值范围为
∴a的值可取4．
故答案为：4（答案不唯一）．
14. 如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是_____．
【答案】x＞3
【解析】
【详解】∵直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），
∴由图象可得，当x＞3时，x+b＞kx+6，
即不等式x+b＞kx+6的解集为x＞3．
故答案为：x＞3
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
15. 如图，菱形的对角线，交于点O，过点D作于点E，连接，若，，则菱形的面积为________．

【答案】96
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，由中，点O是的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，，则，根据勾股定理求出，得出，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴菱形的面积为：．
故答案为：96．
16. 如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转900至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴．垂足为B，直线AB与直线交于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线交于点Q，则点Q的坐标为_______.
【答案】
【解析】
【详解】如图，过点P 作EF∥x轴，交y轴与点E，交AB于点F，则
易证△CEP≌△PFD（ASA），
∴EP=DF，
∵P（1，1），
∴BF=DF=1，BD=2，
∵BD=2AD，
∴BA=3
∵点A在直线上，∴点A的坐标为（3，3），
∴点D的坐标为（3，2），∴点C的坐标为（0，3），
设直线CD的解析式为，
则解得：
∴直线CD的解析式为，
联立可得
∴点Q的坐标为
三、解答题（共9题，总分86分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）7 （2）
【解析】
【分析】（1）根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，二次根式的性质进行计算即可；
（2）根据二次根式混合运算法则，结合完全平方公式和平方差公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂和零指数幂运算法则，二次根式的性质，二次根式混合运算法则，结合完全平方公式和平方差公式，准确计算．
18. 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，DE=AF，于点G．
（1）求证：．
（2）求证：四边形ABCD是正方形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）先根据矩形的性质可得，从而可得，再根据垂直可得，从而可得，然后根据定理即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得，再根据正方形的判定即可得证．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
，
，
，
，
，
在和中，，
．
【小问2详解】
证明：由（1）已证：，
，
又∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形．
【点睛】本题考查了矩形性质、正方形的判定、三角形全等的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．
19. 已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点C．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求点C的坐标；
（3）求这两个函数图象与轴所围成的的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】此题综合考查了两条直线相交问题，待定系数法求解析式，直线与坐标轴围成的三角形的面积，
（1）用待定系数法可得一次函数的表达式；
（2）联立解析式解方程组，可得C的坐标；
（3）根据三角形的面积公式，即可求解．
【小问1详解】
解：把，代入得：
，
解得
∴一次函数的表达式为；
【小问2详解】
由 得：
∴点C的坐标为；
【小问3详解】
解：∵，
∴
20. 快递员张师傅并快递公司出发骑电动车匀速前往幸福家园小区投送快递，到达小区后将快递投放到快递专柜，然后原路匀速返回快递公司，且返回时的速度是返回前速度的1.5倍，张师傅距离快递公司的路程y（千米）与从公司出发所用时间t（小时）的函数图象如图所示，根据图象回答问题：
（1）合理解释线段AB表示的实际意义______；
（2）图中a=______，直线BC的函数表达式为______．
（3）出发t小时，快递员距离快递公司10千米，求t的值．
【答案】（1）张师傅到达小区后将快递投放到快递专柜；（2）3，y=-30x+90；（3）0.5，.
【解析】
【分析】（1）AB段张师傅未有路程行驶，表示张师傅在原地未动，根据题意，AB段表示张师傅到达小区后将快递投放到快递专柜；
（2）OA表示张师傅并快递公司出发骑电动车匀速前往幸福家园小区投送快递，BC段表示原路匀速返回快递公司，且返回时的速度是返回前速度的1.5倍，即可求出直线BC；
（3）分为两种情况：当出发至离公司10千米时，当回公司至离公司10千米时.
【详解】解：（1）AB段张师傅未有路程行驶，表示张师傅在原地未动，
根据题意，AB段表示张师傅到达小区后将快递投放到快递专柜；
故答案为张师傅到达小区后将快递投放到快递专柜
（2）根据题意，OA表示张师傅并快递公司出发骑电动车匀速前往幸福家园小区投送快递，其速度为：30÷1.5=20（km/h），BC段表示原路匀速返回快递公司，且返回时的速度是返回前速度的1.5倍，故其速度为：20×1.5=30（km/h），故时间为：30÷30=1h，故a=2+1=3h；
直线BC的函数函数图象为直线，设y=kx+b，
把B（2，30），C（3，0）代入y=kx+b，得 解得
∴直线BC的函数表达式为：y=-30x+90．
故答案为3，y=-30x+90．
（3）分为两种情况：
当出发至离公司10千米时，t=10÷20=0.5h，
当回公司至离公司10千米时，10=-30t+90，解得t=．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象和解析式，图象和函数函数结合的题目，看清图象是解题的关键．
21. 每年6月5日为世界环境日，某中学为增强学生的环保意识，开展了关于保护环境的知识竞赛，经过班级推荐，共有50名学生参赛，其成绩统计如下：
其中分的成绩如下
81 81 82 82 83 84 84 84 85 85 86 87 87 88 88 90
请回答：
（1）直接写出此次竞赛成绩的中位数；
（2）根据表格估计此次竞赛成绩的平均数；
（3）根据数据分析，请写出一条你认为正确的结论．
【答案】（1）82分 （2）分
（3）答案见解析
【解析】
【分析】本题考查的是从频数分布表中获取信息，求解数据的中位数，平均数，利用合适的统计量进行分析，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键．
（1）由从小到大排列的50个数据得到排在第25个，26个数据是82，82，可得中位数；
（2）根据加权平均数的公式进行计算即可；
（3）从极差与80分以上的人数占比出发得出信息即可．
【小问1详解】
解：∵分的成绩如下：
81 81 82 82 83 84 84 84 85 85 86 87 87 88 88 90
∴排在第25个，26个数据是82，82，
∴中位数为：（分）
【小问2详解】
平均数为：（分）；
【小问3详解】
信息1：50个同学竞赛成绩的极差较大，从而班级之间对环保知识掌握程度的差异较大；
或则信息2：80分以上的占比为，从而说明整个学生群体对环保知识的掌握程度还需要加强．
22. （1）如图1，在中， ，线段的垂直平分线交于点D．交于点E．若，，求的长；
（2）如图2，点C是上一定点，请在上作一点D，使得 (要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，掌握类比思想是解决第二问的关键．
（1）由题意可得，设，根据即可求解；（2）作，再作的垂直平分线即可．
【详解】解：（1）∵垂直平分线，
∴
设
∵，
∴
∵，
∴
解得：
∴
（2）如图所示，点D即为所求：
23. 某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价220元；乙种服装每件进价120元，售价160元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？
（3）在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a（）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少b元，售价不变，且，若最大利润为4950元，求a的值．
【答案】（1）
（2）当时，y最大为5500元
（3）
【解析】
【分析】（1）设购进甲种服装x件，则购进乙种服装件，然后根据进价、售价和利润之间的关系列出函数关系式即可；
（2）根据不等关系“购进100件服装的总费用不超过15000元”和“甲种服装不少于60件”列不等式组求得x的取值范围，再根据一次函数的增减性即可解答；
（3）由题意可得：，再由题意可得，根据然后分和两种情况分别y最大值，再根据最大利润为4950元，列出关于a的方程分别求解即可．
【小问1详解】
解：设购进甲种服装x件，则购进乙种服装件，
由题意得：，
【小问2详解】
解：由题意得：，
∴，
∵中，，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，y最大（元）．
【小问3详解】
解：∵，
∴，
由题意得：
．
∵，，
∴①当，即时，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，y最大，
∴，符合题意．
当时，，不合题意．
②当时，即，y随x的增大而减小．
∴当时，y最大，
∴，不合题意，舍去．
综上，．
【点睛】本题主要考查了列一次函数关系式、一次函数的应用、一次函数的增减性等知识点，根据题意建立函数关系式是解答本题的关键．
24. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．
（1）若是等腰三角形时，求AP的长；
（2）求证：PC⊥CF．
【答案】（1）AP的长为4或5或；（2）详见解析.
【解析】
【分析】（1）先求出AC，再分三种情况讨论计算即可得出结论；
（2）连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，根据矩形的性质解答即可．
【详解】（1）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，
∴DC=AB=6， AC= =10；
要使△PCD是等腰三角形，有如下三种情况：
①当CP=CD时，CP=6，∴AP=AC-CP=4 ；
②当PD=PC时，∠PDC=∠PCD，∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，
∴∠PAD=∠PDA，∴PD=PA，∴PA=PC，∴AP= ，即AP=5；
③当DP=DC时，过D作DQ⊥AC于Q，则PQ=CQ，
∵S△ADC= AD·DC= AC·DQ，
∴DQ= ，∴CQ= ，
∴PC=2CQ = ,∴AP=AC-PC= .
综上所述，若△PCD是等腰三角形，AP的长为4或5或.
（2）连接PF、DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，
四边形ABCD是矩形，
在矩形PEFD中,, , ,, ,
又，
,
∴PC⊥CF．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题关键是分三种情况讨论计算．
25. 已知直线a：与x轴交于点P、与y轴交于点Q

（1）直线a经过定点A，则点A的坐标为： （直接写出结果）
（2）直线b：与y轴交于点M，与直线a交于点B，判断的面积是否为定值，若是定值，求的面积；若不是，说明理由．
（3）如图，过点Q在第二象限内作线段，且，连接，取的中点D．当k满足时，求点D运动的路径长．
【答案】（1）
（2）的面积为定值，面积为
（3）
【解析】
【分析】（1）对于，令，求出y值，即可解答；
（2）分别求出，，，从而得出，再结合三角形面积公式求解即可；
（3）过A作轴于M，连接，过D作交的延长线于点N．先证明点D的运动轨迹为直线，再求出，进而即可求解．
【小问1详解】
解：对于，令，则，
∴直线a经过定点，即点A的坐标为．
故答案为：；
【小问2详解】
解：对于，令，则，
∴．
联立，解得：，
∴．
对于，令，则，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为定值，且面积为；
【小问3详解】
解：如图，过A作轴于M，连接，过D作交的延长线于点N．

∵，点D为中点，
∴．
又∵，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，，，，
∴点D的运动轨迹为直线．
∵等腰直角三角形，轴，
∴．
当时，；
当时，，
∴点D运动的路径长为．
【点睛】本题属于一次函数综合题．考查一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，两点的距离公式等知识．解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质．在解（3）时正确作出辅助线也是解题关键．成续（单位：分）
人数（单位：人）
2
8
12
16
12