陕西省西安市碑林区西安市第二十六中学等2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份陕西省西安市碑林区西安市第二十六中学等2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共19页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．满分120分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元一次不等式的概念，由含有一个未知数的，且未知数的次数为1的整式构成的不等式，依次判断，即可求解，
此题主要考查了一元一次不等式的概念，解题时，明确概念内容：一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，然后据此判断即可．
【详解】解： A是一元一次不等式，符合题意，
B没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意，
C含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意，
D含有分式，不是一元一次不等式，不符合题意，
故选：A．
2. 下列是我国几个轨道交通的图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】A、图形绕某一点旋转后180度与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；该试卷源自 每日更新，享更低价下载。B、图形绕某一点旋转后180度与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
C、图形绕某一点旋转后180度与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形绕某一点旋转后180度与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
3. 若不等式的解集为，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的解集，掌握不等式的性质是解题关键．
根据不等式的性质3，可得答案．
【详解】解；不等式的解集是，
，
解得，
故选：D．
4. 用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反证法的应用，熟练掌握反证法的一般步骤，理解假设结论不成立即结论的反面成立是解题的关键．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立即结论的反面成立进行解答即可．
【详解】解：用反证法证明“在中，若，则”时，应假设，
故选：C．
5. 将不等式组的解集表示在数轴上，下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解不等式组以及运用数轴表示不等式组解集，
先根据，得出，再将其表示在数轴上，即可作答．
【详解】解：∵，
∴解集为，
则解集表示在数轴上，如图：
，
故选：C．
6. 如图，在中，，的平分线交于点D，若，，则的面积是（ ）
A. 30B. 15C. 20D. 27
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
过D作于E，根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
【详解】解：过D作于E，如图，
∵，，的平分线交于点D，，
∴，
∵，
∴的面积，
故选：B．
7. 某汽车有油和电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用．已知汽车用油驱动方式行驶1千米的油费为0.96元，电费比油费少0.8元．汽车从A地行驶100千米至B地，若用油和用电的总费用不超过40元，则至少需用电行驶多少千米？若设汽车从A地行驶至B地用电行驶x千米，则x满足的不等关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式即可．
【详解】由题意知，用电行驶x千米，则用油行驶千米，
x满足的不等式关系为，
故选：A．
8. 如图，与都是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，与相交于点G，与相交于点F，与相交于点H，连接．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，先利用证明即可判断①；根据全等三角形的性质得出，结合三角形内角和定理、对顶角的性质可得出，即可判定③，证明，得出，，进而可证明是等边三角形，即可判定④，可求，，则可判断，则可判定②．
【详解】解∶∵与都是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
∴，故①正确；
∴，
又，
∴，故③正确；
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，，
又，
∴是等边三角形，
∴，故④正确，
，
∴，
∴，
∴，
∴，故②错误，
故选∶C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称的两个点横纵坐标都互为相反数进行求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键．
10. 命题“如果，那么”，则它的逆命题是________命题（填“真”或“假”）．
【答案】假
【解析】
【分析】先写出该命题的逆命题，再进行真假判断即可得到答案．
【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题为：“如果，那么”，
由于如果，那么，
故此命题为假命题，
故答案为：假．
【点睛】本题考查了判断命题的真假，先写出该命题的逆命题是解题的关键．
11. 如图，的周长为，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的想性质得出，，，，从可求阴影部分的周长，即可求解．
【详解】解：∵平移，
∴，，，，
∴阴影部分的周长为
，
∵的周长为，
∴，
∴阴影部分的周长为，
故答案为：12．
12. 如图，在中，，，则边上的高的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本通主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形面积公式过作于点，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，再根据勾股定理可解得，然后根据三角形面积公式计算求解即可．
【详解】解：过作于点，如下图，
∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
在中，，
∴的面积为，
∴，即，
解得．
故答案为：．
13. 如图，直线与分别交x轴于点，，则不等式组的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由直线与坐标轴的交点求不等式组的解集．数形结合是解题的关键．
根据的解集为直线和在轴下方图象对应的的取值范围，结合图象作答即可．
【详解】解：由题意知，的解集为直线和在轴下方图象对应的的取值范围，
由图象可得，，
故答案为：．
三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14. 解不等式：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式．熟练掌握解 一元一次不等式是解题的关键．
先去分母去括号，然后移项合并，最后系数化为1即可．
【详解】解：，
，
，
，
解得，．
15. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，首先将原不等式分成两个不等式，然后分别求出它们的解集，最后写出两个解集的交集即可．
【详解】解：解，得；
解，得，
不等式组的解集为．
16. 如图，方格纸中小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点都在格点（网格线的交点）上，求证：是直角三角形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，结合网格特征，利用勾股定理求出，，，可得出，然后根据勾股定理的逆定理判定即可．
【详解】证明：，，，
，
是直角三角形．
17. 如图，在中，点D在边上，且，在上找一点P，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】作图见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图——垂直平分线，熟练掌握尺规作图的垂直平分线的方法是解题的关键．
①连接分别以点B、点B为圆心，以大于长为半径在线段两侧画弧，得到两个交点E、F；②连接并延长，与交于点P，即点P为所求作点．
【详解】解：如图，点即为所求．
18. 如图，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据直角三角形定理，即可求解，
本题考查了，直角三角形定理，解题的关键是：熟练掌握应用定理证明三角形全等．
【详解】证明：，
和都是直角三角形．
和中，
，
．
19. 如图，在长为，宽为的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为，其他部分均种植花草．试求出种植花草的面积是多少．
【答案】种植花草的面积是
【解析】
【分析】将横向的小路平移至长方形的上边，将纵向小路平移至长方形的左边，则剩余部分即为种植花草的面积，
本题考查了平移在实际中的应用，将两条小路平移至长方形的边上，使种植花草的面积等于一个长方形的面积是解决此题的关键．
【详解】解：将横向的小路平移至长方形的上边，将纵向小路平移至长方形的左边，如图所示：
所以种植花草的面积为：，
故答案为：种植花草的面积是．
20. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上．若，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键．
先根据直角三角形两锐角互余可得，再根据旋转的性质可得、，然后运用等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的内角和定理即可解答．
【详解】解：，，
．
由旋转的性质可得，，，
，
．
21. 如图，在中，，，是高，，求的长．
【答案】6
【解析】
【分析】求出和，根据含30度角的直角三角形性质求出，，求出的长即可．本题主要考查的是含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出，．
【详解】解：是高，，
，
，
，，
∵，
，，
，
22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．
（1）将先向右平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到．画出．
（2）将绕原点O逆时针旋转，得到，画出．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（）将三个顶点分别向右平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到其对应点，再首尾顺次连接即可，
（）将三个顶点分别绕点按顺时针方向旋转得到其对应点，再首尾顺次连接即可得，
本题主要考查作图——旋转变换与平移变换，掌握旋转变换和平移变换的定义与性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：三个顶点分别为，，，向右平移个单位长度，再向上个单位长度后对应点为，，，连接，，，
如图，即为所求，
【小问2详解】
解：如图，三个顶点分别绕点按顺时针方向旋转得到其对应点，，，连接，，，
如图，即为所求．
23. 已知关于x的不等式组：．
（1）若，求这个不等式组的解集．
（2）若这个不等式组的整数解有2个，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解不等式组以及不等式组的整数解的问题，
（1）分别解出每个不等式的解集，再取它们的公共部分解集，即可作答．
（2）结合不等式组整数解有2个，即这两个整数解应是，0，再列式，解出即可．
【小问1详解】
解：∵
解不等式①，得；
解不等式②，得．
当时，不等式组的解集是．
【小问2详解】
解：该不等式组的整数解有2个，
这两个整数解应是，0，
，
∴
解得
的取值范围是．
24. 如图，在中，边的垂直平分线交，于点，，边的垂直平分线交，于点，，的周长是12．
（1）求的长．
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）的长为12；
（2）的面积为6．
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据角之间的数量关系，得到，再根据勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：是边的垂直平分线，是的垂直平分线，
，，
；
【小问2详解】
解：，
，
，，
，，
，
设，则．
，
，
，
，，，
的面积．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等边对等角、勾股定理、三角形的内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
25. 为倡导读书风尚，打造书香校园．某校计划购买一批图书，若同时购进A种图书20本和B种图书50本．则共需1700元．且购进A种图书16本和购进B种图书28本的价格相同．
（1）求A，B两种图书的单价各是多少元．
（2）若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买．且A种图书的数量多于B种图书的数量，根据学校预算，购买总金额不能超过1690元．请问学校共有哪几种购买方案？
【答案】（1）种图书的单价为35元，种图书的单价为20元
（2）共有两种购买方案，见解析
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组以及不等式组的实际应用，根据题意找出等量关系是解题的关键，
（1）设种图书的单价为元，种图书的单价为元，根据题意列出方程组，即可求解；
（2）设购买种图书本，则购买种图书本，根据题意列出不等式组，即可求解．
【小问1详解】
解：设种图书的单价为元，种图书的单价为元．
依题意，得，
解得，
答：种图书的单价为35元，种图书的单价为20元．
【小问2详解】
设购买种图书本，则购买种图书本．
依题意，得，
解得，
为正整数，
可取31，32，
或，
共有两种购买方案：
①购买种图书31本，购买种图书29本；
③购买种图书32本，购买种图书28本．
26. （1）如图1，在中，，，点D，E在边上，，若，，求的长．
小明的解题思路：如图2，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接．可证，最后在中可求得的长，即的长．
①请你写出与全等的证明过程．
②求出的长．
（2）某公园有一块三角形空地（图3），其中，，．为了美化环境，蓄洪防涝，公园管理人员拟在中间挖出一个三角形人工湖，即，D，E是边上的点，要求，，求的长．
【答案】（1）①见解析，②；（2）
【解析】
【分析】（1）①由旋转的性质可知，，根据题意知，进而得，即，得，即可利用证得；
②由①可知，，得，根据等腰直角三角形的性质及旋转的性质，得，，可得．由勾股定理得，即可求解；
（2）如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，类比（1）可证得，，，得，．进而可知，，得．设．在中，，，得，，可得方程，解得，即可求得的长．
【详解】解：（1）①证明：由旋转的性质得，，．
，，
，
，即，
．
在和中，
，
．
②由①可知，，
．
，，
．
由旋转的性质，得，，
．
在中，由勾股定理，得，
．
（2）如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，
，，，，．
，，
，，
，
．
，
．
在与中，
，
，．
，
，
．
设．
在中，，，
，，
，解得，
的长为．
【点睛】本题考查旋转性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、含的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用旋转性质构造全等三角形求解是解答的关键．