江西省宜春市高安市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份江西省宜春市高安市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟.
一、选择题（每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则代数式可化简为（ ）
A. B. C. D.
3. 数学活动课上，乐乐选取五根小木棒，其长度分别为8，9，12，15，17（单位：），现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在菱形中，对角线和相交于点，于点，连接，若，则的度数为（ ）该试卷源自 每日更新，享更低价下载。
A. 10° B. 20° C. 25° D. 35°
6. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结.若，且，则的长为（ ）
A. B. C. D. 2
二、填空题（每小题3分，共18分）
7. 若式子有意义，则的取值范围是_______________.
8. 化简计算：_____________.
9. 两个矩形的位置如图所示，若，则的度数为________________.
10. 如图，在等腰中，已知，则边上的高的长为______________.
11. 如图，已知是正方形的边中点，将正方形沿翻折，使点落在处，延长交于，若正方形边长为6，则的长是______________.
A. B. C. D.
12. 如图，在中，，，为的中点，点是射线上的一个动点，当为直角三角形时，则的长为________________.
三、（本大题共5个小题，每小题6分，共30分）
13. 计算：
（1）
（2）
14. 已知实数在数轴上的位置如图所示，化简.
15. 如图，在菱形中，于点，于点，连接.
（1）求证：
（2）若，求的度数.
16. 如图，点是正方形内一点，且，请你仅用无刻度的直尺按要求作图（保留画图痕迹，不写作法）.
（1）在图1中，作出边的中点；
（2）在图2中，作出边的中点.
17. 体育公园广场视野开阔，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级学生小聪和小明学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米.
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果他们想风筝沿方向下降12米，则小明应该往回收多少米的线.
四、（本大题共三个小题，每小题8分，共24分）
18.（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值.
19. 如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接.
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，，求四边形的面积.
20. 如图，在中，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动.同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点运动的时间是.过点作于点，连接.
（1）请你判断四边形的形状，并说明理由；
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由；
五、（本大题共两个小题，每小题9分，共18分）
21. 定义：如图，点把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点.
（1）已知把线段分割成，若，则点是线段的勾股分割点吗？请说明理由.
（2）已知点是线段的勾股分割点，且为直角边，若，求的长.
22. 如图，点为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接.为的中点，连接.
（1）若，求的度数；
（2）求证：四边形为平行四边形；
（3）连接，交于点，若，请你求出的长度.
六、（本大题共一个小题，共12分）
23.【问题探究】
（1）如图1，在正方形中，对角线相交于点，在线段上任取一点（端点除外），连接.
①求证：；
②将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处.当点在线段上的位置发生变化时，请你判断的大小是否发生变化，并请说明理由；
【迁移探究】
（2）如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变，请你探究与的数量关系，并说明理由.
参考答案
一、单项选择题
1. C 2. A 3. C 4. D 5. B 6. A
二、填空题
7. 且 8. 9. 60° 10. 11. 2 12. 或或
三、解答题
13. （1）解：原式
（2）
14. 解：如图所示：，
则原式.
15. 解：（1）证明：∵四边形是菱形，∴，
又∵，∴，
在和中，，
∴，∴；
（2）∵四边形是菱形，∴，
∵，∴，
又∵，∴，
由（1）知，∴，
∴
∵，∴等边三角形，∴.
16. 每小题3分，共6分.（其它画法参照给分）
17. 解：
（1）在中，
由勾股定理得，，
∴（负值舍去），
∴（米），
答：风筝的高度为21.6米；
（2）由题意得，米，∴米，
∴（米），
∴（米）
答：小明应该往回收线8米.
四、解答题
18.（1）解：∵，
∴，，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴.
19. 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，
又∵，∴四边形是平行四边形，
∵，∴，
∴四边形是矩形；
（2）∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∴，
∵，∴，
∴在中，
，
∴矩形的面积是：
答：四边形的面积是20.
20. 解：（1）四边形是平行四边形，
理由如下：
∵，∴，
∵，
∴，
又∵由题意知，∴，∴.
∵，，∴，
∴四边形是平行四边形.
（2）当时，平行四边形是菱形，理由如下：
当时，平行四边形是菱形，
∵，
∴，∴，
∴.
五、解答题
21. 解：（1）是
理由如下：∵，
∴，，
∴，
∴为边的三角形是一个直角三角形，
∴点是线段的勾股分割点；
（2）设，则，
①当为最长线段时，依题意，
即，解得；
②当为最长线段时，依题意，
即，解得，
综上所述，或10.
22. 解：（1）∵ 四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，∴是的中位线，
∴，，
∴，∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）如图，连接，
∵，∴，
∵，∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，∴，
又∵，∴.
六、解答题
23. 解：（1）①证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵
∴，
∴；
②解：的大小不变，；
理由如下：作于点，于点，如图，
∵四边形是正方形，∴，
∴四边形是矩形，∴，
∵，∴，
∵，
∴，
∴，∴，
∴，即；
（2）；
理由如下：∵四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形，垂直平分，
∴，，
∵，∴，
作交于点，交于点，如图，
则四边形是平行四边形，，，
∴，都是等边三角形，
∴，
作于点，则，
∴，
∴.