2024年广东省惠州市惠城区中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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数学试卷
本试卷共6页，25小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号，姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 3的倒数是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 （ ）
A.
B. C.
D.

3. 计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
4. 在方格纸中位置如图所示，则的值是（ ）
A. B. C. D.
5. 某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为（ ）

A. B. C. D.
6. 2023年12月11日，国家重大科技基础设施高能同步辐射光源（）加速器储存环最后一台磁铁安装就位，储存环是世界上第三大光源加速器，其发射度小于0.06纳米（）•弧度．已知．将用科学记数法表示应为（ ）
A B. C. D.
7. 如图所示，已知，，，那么的度数为（ ）
A. 63°B. 45°C. 37°D. 26°
8. 若一个等腰三角形的两边长分别为4和7，则这个三角形的周长为（ ）
A. 15B. 12或21C. 15或18D. 21
9. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图所示，抛物线经过矩形的三个顶点A，B，D，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分
11 因式分解：______．
12. 计算：_____．
13. 已知点关于x轴的对称点为，则___________．
14. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是________．
15. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转后得到，点B经过的路径为，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是_______．（结果保留）

三、解答题（一）：本大题共5小题，每小题5分，共25分
16. 解不等式组：
17. 计算：．
18. 如图，菱形中，过点分别作边上的高，求证：．
19. 某单位党支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶贫困家庭赠送甲、乙两种树苗．已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，求甲、乙两种树苗每棵的价格．
20. 如图，在中，．

（1）在边上求作一点，使（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）连接，若，，试求线段长．
四、解答题（二）：本大题共3小题，第21，22题各8分，第23题10分，共26分．
21. 综合与实践
主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识
操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，垂直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为，；
步骤二：如1图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，与点O在一条直线上为止．
结论：这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同．
探究：（1）①如1图，与之间存在什么关系？请说明理由；
②由标准视力表中的，，可计算出时，___________mm；
运用：（2）如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为，则点P的坐标为___________．
22. 如图，内接于，（不是直径）与相交于点D，且，过点A作的切线交的延长线于点E．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长．
23. 2024年3月5日，《政府工作报告》提出了开展“人工智能”行动，涵盖众多行业和领域，其中大型语言模型是最近的热门话题．某实践小组开展了对A，B两款AI聊天机器人的使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，结果分为四个等级：不满意：，比较满意：，满意：，非常满意：）．下面给出了部分信息：抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；
抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中，___________，___________，___________；
（2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）在此次调查中，有200人对A款AI聊天机器人进行评分，160人对B款AI聊天机器人进行评分，估计此次调查中对AI聊天机器人“不满意”的共有多少人．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
24. 如图所示，抛物线的图象与x轴交于点与点B，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点，直线l为对称轴．
（1）求抛物线和直线的表达式，并求出点D的坐标；
（2）如图所示，若点M是直线上方抛物线上一动点，连接，交于点H，过点M作x轴的平行线，交直线于点G，设点M的横坐标为m．
①求用含m的代数式表示线段的长；
②求的最大值．
25. 综合探究
【初步探究】如图1，在正方形中，点E是边上一点（不与B，C重合），于点G，交对角线于点H，交于点F．为了探究与之间的数量关系，在如图2中，作，交的延长线于点M．
（1）如图2，①求证：；②当，时，求证：；
【类比迁移】（2）如图3，在矩形中，，，，于点G，交于点H，交于点F．求的值；
【拓展应用】（3）如图4，在等边三角形中，，E是的中点，，交于点G，交于点F．请直接写出的值．
设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所点百分比
A
88
b
96
45%
B
88
87．5
c
40%