2024年黑龙江省大庆市杜尔伯特蒙古族自治县中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案：非选择题用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应位置作答，在草纸、试题卷上作答无效．
3．考试时间120分钟，总分120分．
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1. 1949年10月1日，伟大领袖毛泽东主席在天门城楼上庄严宣告：“中华人民共和国中央人民政府今天成立了”！1949年10月1日被确定为“国庆日”，的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：的相反数是，
故选：B．
2. 天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为，数字2 900 000 000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示计算即可；
【详解】，
故答案选B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示，准确书写是做题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方与幂的乘方，运用相关运算法则计算出各选项的结果再进行判断即可
【详解】解：A. ，原选项计算错误，故不符合题意；
B. ，原选项计算错误，故不符合题意；
C. ，原选项计算错误，故不符合题意；
D. ，计算正确，符合题意，
故选：D
4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
，
故选：C．
5. 如图，四边形ABCD是菱形，E、F分别是BC、CD两边上的点，不能保证△AEC和△AFC一定全等的条件是（ ）
A. ∠AEC＝∠AFCB. EC＝FCC. AE＝AFD. ∠BAE＝∠DAF
【答案】C
【解析】
【分析】由菱形的性质和全等三角形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACE＝∠ACF，
A、在△AEC和△AFC中，
，
∴△AEC≌△AFC（AAS），故选项A不符合题意；
B、在△AEC和△AFC中，
，
∴△AEC≌△AFC（SAS），故选项B不符合题意；
C、由AE＝AF，∠ACE＝∠ACF，AC＝AC，不能判定△AEC和△AFC一定全等，故选项C符合题意；
D、∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵∠BAE＝∠DAF，
∴∠CAE＝∠CAF，
在△AEC和△AFC中，
，
∴△AEC≌△AFC（SAS），
故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形性质和全等三角形的判定方法，解题关键是熟练掌握相关性质与定理．
6. 如图，某轿车轮胎停靠在台阶的直角顶点P处，台阶拐角顶点A到点Q（轮胎与地面的接触点）的距离为． 已知该轿车轮胎的直径为，则台阶的高度为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设轮胎的圆心为O，连接、，过P点作，由题意得为的切线，Q点为切点，则可得四边形是矩形．设，则，．在中根据勾股定理列方程求出x的值即可．
本题主要考查了切线的性质、矩形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：如图，设轮胎的圆心为O，连接、，过P点作，
由题意知为的切线，Q点为切点，
．
又，，
∴四边形是矩形，
，．
设，则，
∵的直径为 ，
∴的半径为，
，．
在中，，
，
解得（舍去），（符合题意），
，
故选：B．
7. 一个正n边形的每一个外角都是36°，则n=（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】由多边形的外角和为360°结合每个外角的度数，即可求出n值，此题得解．
【详解】∵一个正n边形的每一个外角都是36°，
∴n=360°÷36°=10，
故选D．
【点睛】本题考查了多边形的外角，熟记多边形的外角和为360°是解题的关键.
8. 已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，依据题意，由一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第二、四象限，则，从而函数的图象开口向下，对称轴为直线，从而排除A、D，C，故可得解．
【详解】解：∵一次函数图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第二、四象限，则，
∴函数的图象开口向下，对称轴为直线．
∴综上，可得B正确．
故选：B．
9. 如图，将长方形平均分成三个小长方形，再将三个小长方形平均分成2份、3份和n份，如果阴影部分面积是长方形面积的，那么（ ）
A. 6B. 8C. 16D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查分数的应用．设大长方形的面积为1，则第一个长方形阴影部分的面积为，第二个长方形阴影部分的面积是，第三个长方形的阴影部分的面积是，将阴影部分面积加在一起列式计算即可．
【详解】解：设大长方形的面积为1，
则第一个长方形阴影部分的面积为，
第二个长方形阴影部分的面积是，
第三个长方形的阴影部分的面积是，
由题意得，
解得．
故选：B．
10. 在中，，，点是线段上一动点，作射线，点关于的对称点为，直线与相交于点，连接，下面结论正确的个数是（ ）
①线段；②当时，四边形的面积是3；③随着点的移动，的角度不变；④当点运动到点时，线段为4；
A. 1B. 2C. 3D. 42
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等边对等角，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，根据轴对称的性质，得到线段相等，则①正确；将图中不规则的四边形面积分割为两个三角形的面积进行求解，作于点，利用特殊角得到，，利用三角形面积公式计算可得②正确；利用等腰三角形性质，以及平角为 ，可求得具体角度，判断③正确；由轴对称的性质可得，再由三角形三边的关系即可判断④错误．
【详解】解：点B关于的对称点为，，
，故①正确；
作于点，
，
由对称的性质可知，，
，
，
，
，
，
，
四边形的面积是，故②正确；
是等腰三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
随着点D的移动，的角度不变；故③正确；
当和重合时，

由轴对称的性质可得，
∵，
∴，故④错误；
综上所述，正确的有①②③，
故选：C．
二．填空题（本大题共8小题，每小题共3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. 若代数式有意义，则x的取值范围为__________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据分式和二次根式有意义的条件确定x的取值范围即可．
【详解】解：根据题意有：，
解得：，且，
故答案为：，且．
【点睛】本题考查分式成立的条件及二次根式有意义的条件，掌握分母不能为0和被开方数不能为负数是本题的解题关键．
12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据判别式求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
13. 已知反比例函数y=（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是_____．
【答案】k＜1
【解析】
【详解】【分析】由于在反比例函数y=的图象有一支在第二象限，故k﹣1＜0，求出k的取值范围即可．
【详解】∵反比例函数y=的图象有一支在第二象限，
∴k﹣1＜0，
解得k＜1，
故答案为k＜1．
【点睛】本题考查了反比例函数y=(k≠0，k为常数)的图象与性质，反比例函数的图象是双曲线，k>0时，图象位于一、三象限，k<0时，图象位于二、四象限，熟知这些相关知识是解题的关键.
14. 若2x=5，2y=3，则22x+y=_____．
【答案】75
【解析】
【详解】【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案即可．
【详解】∵2x=5，2y=3，
∴22x+y=（2x）2×2y=52×3=75，
故答案为75．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键.
15. 已知a为实数，且满足．若，则b的最大值是_________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件以及可得且，从而得到，进而得到，即可求解．
【详解】解：∵，且，
∴且，
解得：，
∴，
即，
∴b的最大值是3．
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解不等式组，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
16. 已知m的平方根是和，则m的值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平方根的概念，熟知一个数的两个平方根互为相反数是解题的关键．
根据一个数的两个平方根互为相反数列式求得k的值，进而求得m的值．
【详解】解：∵m的平方根是和，
∴，解得：，
∴．
故答案为：．
17. 现有4张化学仪器的示意图卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片，背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片正面图案都是轴对称图形的概率是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了画树状图法求概率、轴对称图形，能根据题意画出树状图是解题的关键．把4张卡片分别记为：A、B、C、D，画树状图，共有12种等可能的结果，找出满足条件的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把4张卡片分别记为：A、B、C、D，其中A、C、D为轴对称图形，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，两张卡片正面图案都是轴对称图形的结果有6种，
∴正面图案都是轴对称图形的概率为．
故答案为：
18. 有两个解，则的取值范围是___________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了函数图像与方程的解，根据直线与函数图像交点的个数得到方程解的个数．掌握数形结合的数学思想是解答本题的关键．
方程的解可以看成直线的图像与的图像的交点，作出直线与的图像，根据图像的交点情况即可解答．
【详解】解：方程的解可以看成直线的图像与的图像的交点，
如图，作函数的图像和直线的图像，
由有2个解，则直线的图像与的图像应有2个交点，
∴当或时，有2个交点，即有2个解．
2
故答案为：或．
三．解答题（本大题共10小题，共66分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，零指数幂，负整数指数幂和求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，再根据二次根式的混合计算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，6
【解析】
【分析】先对括号进行通分，再根据分式运算进行化简，最后代入m=2求值即可.
【详解】解：原式
当时，原式．
【点睛】本题是对分式化简求值的考查，熟练掌握分式化简知识是解决本题的关键.
21. 为了配合学校贯彻落实“双减”政策，开展学生课后体育活动，某体育用品商店用10000元购进了一批足球，很快销售一空；商店又用10000元购进了第二批该种足球，每个足球的进价比原来涨了，结果所购进足球的数量比第一批少40个．求第一批足球每个的进价是多少元？
【答案】第一批足球每个的进价是50元
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设第一批足球每个的进价是元则第二批足球每个的进价是元，根据第二批所购进足球的数量比第一批少40个列出方程求解即可．
【详解】解：设第一批足球每个的进价是元则第二批足球每个的进价是元
根据题意得：，
解得，
经检验是原方程的解，符合实际题意，
，
答：第一批足球每个的进价是50元．
22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．
（1）按下列要求作图：
①将向左平移个单位，得到；
②将绕点逆时针旋转，得到．
（2）求点在旋转过程中所经过的路径长．
【答案】（1）①作图见解析，②作图见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）①利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
②利用网格特点和旋转的性质画出A1、C1的对应点A2、C2即可；
（2）利用弧长公式计算．
【详解】（1）①如图，为所求；
②如图，为所求；
（2）B1A1=，
点在旋转过程中所经过的路径．
【点睛】本题考查了作图－旋转变换、平移变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
23. 为进一步提高课后服务质量，将“双减”政策落地，某校利用课外活动时间开设了“．园艺、．厨艺、．木工、．编织”四大类劳动课程．为了解八年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了八年级若干名学生进行调查（每人必选且只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．

请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）随机抽样调查的样本容量是______，扇形统计图中“”所对应的圆心角的度数为______；
（2）补全条形统计图：
（3）若该校八年级共有800名学生，请估计该校八年级学生选择“厨艺”劳动课的人数．
【答案】（1）400；108
（2）见解析 （3）该校八年级800名学生中选择“厨艺”劳动课的大约有240人
【解析】
【分析】（1）由两个统计图可得，参加“园艺”的人数为100人，占调查人数的，然后样本容量即可；先求出“厨艺”的人数，然后用乘“”所占的百分比，即可得出“”所对应的圆心角的度数即可；
（2）根据求出的“厨艺”和“编织”的人数，即可补全条形统计图；
（3）根据样本估计整体，求出样本中“厨艺”所占的百分比，进而估计整体中“厨艺”所占的百分比，进而求出答案．
【小问1详解】
解：由统计图可知：参加“园艺”劳动课的人数为100人，占调查人数的，
∴样本容量为：，
参加“编织”劳动课的学生人数为：（人），
参加“厨艺”劳动课的学生人数为：（人），
∴“”所对应的圆心角的度数为；
故答案为：400；108．
【小问2详解】
解：补全条形统计图，如图所示：
【小问3详解】
解：（人），
答：该校八年级800名学生中选择“厨艺”劳动课的大约有240人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，熟练掌握条形统计图和扇形统计图的特点，是正确解答的关键．
24. 台风是一种破坏性极强的自然灾害．如图，点是东方市，台风中心位于东方市的南偏东方向，距离千米的点处，已知台风中心沿北偏西的方向移动，一段时间后台风中心移动到东方市的南偏东方向的点处．
（1）填空：______度，______度；
（2）求台风移动的路径的长度；
（3）若此次台风影响区域的半径为千米且移动方向不改变，请问这次台风是否会影响东方市，为什么？（参考数据：）
【答案】（1），
（2）的长度为
（3）此次不受影响，理由见详解
【解析】
【分析】本题主要考查方位角与勾股定理，解直角三角形的运用，掌握方位角的计算，勾股定理的运用是解题的关键．
（1）根据方位角的计算即可求解；
（2）由（1）可知是等腰三角形，如图所示，过点作于点，根据勾股定理即可求解；
（3）如图所示，过点作于点，根据解直角三角形即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，，，，，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：由（1）可知，，，
∴是等腰三角形，
如图所示，过点作于点，
∴，
在中，，
∴，
∴的长度为；
【小问3详解】
解：如图所示，过点作于点，
∵，，
∴在中，，
∵此次台风影响区域的半径为千米，，
∴此次不受影响．
25. 已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式；
（2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，进行计算即可；
【小问1详解】
解：把代入，得
，
解得，，
所以反比例函数解析式是；
【小问2详解】
存在点P使△ABP周长最小，理由：
解和得，
和，
，
和，
，
作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，当点、、在一条直线上时，线段 的长度最短，所以存在点P使△ABP周长最小，
△ABP的周长= ，
，
，
．
【点睛】本题考查函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式，利用轴对称求出点位置是解题关键．
26. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形．
（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积．

【答案】（1）详见解析；（2）4．
【解析】
【分析】（1）由条件可证得四边形CODE为平行四边形，再由菱形的性质可求得∠COD=90°，则可证得四边形CODE为矩形；
（2）首先推知△ABC是等边三角形，所以AC=4，则OC=AC=2，根据勾股定理知，结合矩形的面积公式解答即可．
【详解】（1）证明：∵CE∥OD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠COD＝90°，
∴四边形OCED是矩形．
（2）解：∵在菱形ABCD中，AB＝4，
∴AB＝BC＝CD＝4．
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝4，
∴OC＝AC＝2，
∴
∴矩形OCED的面积是2×2＝4．
【点睛】本题主要考查矩形、菱形的判定和性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
27. 如图为的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作的切线与的延长线交于点P，与的延长线交于点F，与交于点E，
（1）①求证：；
②求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查与圆有关的性质和概念，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键．
（1）①由圆周角定理即可得证；②证明即可得证；
（2）连接交于点G，由②得出，然后得出，进
而得出，，利用对应边成比例即可解答．
【小问1详解】
证明：①为劣弧的中点，
，
，
②，，
，
，
；
【小问2详解】
如图，连接交于点G，
，
，
，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
四边形是内接四边形，
，
，
．
28. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）若点为第四象限内抛物线上一点，当面积最大时，求点的坐标；
（3）若点为抛物线上一点，点是线段上一点（点不与两端点重合），是否存在以、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）点
（3）点P的坐标为或或或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）作交于点，先求得直线解析式，设点P的坐标为，则点R的坐标为，利用三角形面积公式列式，利用二次函数的性质求解即可；
（3）分四种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：将、代入得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
顶点坐标为；
【小问2详解】
解：作交于点，
令，则，
∴，
∵，
设直线解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则点R的坐标为，
∴
，
∵，
∴时，有最大值，此时点P的坐标为；
【小问3详解】
解：∵点Q是线段上一点，
∴设点Q坐标为，
∵，，
∴，
∴当点P与点B重合，点Q与点C重合时，是等腰直角三角形，此时点P的坐标为；
同理当点P与点C重合，点Q与点B重合时，是等腰直角三角形，此时点P的坐标为；
如图，当点P在第四象限时，过点Q作轴于点，作交于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，即点P的纵坐标为，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为；
如图，当点P在第三象限时，过点P作轴于点，作交于点，设，
同理，
∴，，，，
∴，，
∴，
解得，
∴点P的纵坐标为，
∴，
解得（舍去）或，
∴点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数的解析式、轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性较强，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题，分类思想的应用是解题的关键．