天津市南开中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份天津市南开中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷满分 100分，考试时间90分钟．
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的概念，二次根式的性质，掌握概念和性质是解题的关键．
最简二次根式：被开方数不含能开得尽方的数或因式，被开方数不是分数，分母中不含二次根式，由此即可求解．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选： B．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质化简，二次根式的运算法则是解题的关键．
运用二次根式的加减，乘除运算法则逐一判定即可求解．
【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；该试卷源自 每日更新，享更低价下载。C、，原选项计算错误，不符合题意；
D、，原选项计算正确，符合题意；
故选： D．
3. 已知直角三角形的两边长分别为3和2，则第三边长为（ ）
A. B. C. 1D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】分为两种情况：①斜边是34有一条直角边是3，②3和2都是直角边，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：如图：
分为两种情况：①斜边是3，有一条直角边是2，由勾股定理得：
第三边长是；
②3和2都是直角边，由勾股定理得：第三边长是
；
即第三边长是 或 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了对勾股定理的应用，注意：在直角三角形中的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，解题的关键是熟记勾股定理．
4. 下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A. 三内角之比为B. 三边长平方之比为
C. 三边长之比为D. 三内角之比为
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，解题的关键是根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理依次对各选项逐一分析即可作出判断．也考查了三角形内角和定理．
【详解】解：A．中，设，
∵，
∴，
∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
B． ∵三边长的平方之比为，
设三角形三边的平方为，，，
∵，
∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
C．∵三边长之比为，
设三角形三边为，，，
∵，
∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
D．在中，设，
∵，
∴最大角，
∴不是直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
5. 若平行四边形中两个内角的度数比为 ，则其中较小的内角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
根据平行四边形的性质可得，，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，如图所示，四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴较小的内角为，
故选： ．
6. 下列说法不正确的是（ ）
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B. 一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D. 对角线相等的四边形是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可得到答案．
【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；故原说法正确，不符合题意；
B、一个角是直角的平行四边形是矩形，故原说法正确，不符合题意；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原说法正确，不符合题意；
D、对角线相等的四边形不一定是矩形，故原说法错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定；熟练掌握平行四边形和特殊平行四边形的判定是解题的关键．
7. 如图，在正方形网格中，，，，，都是格点，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接，通过平行线的性质可得，，则，通过勾股定理的求得、、的长度，再根据勾股定理的逆定理确定的形状，即可求解．
【详解】解：连接，找到格点，连接，如下图：

由题意可得：
∴，
∴
由勾股定理可得：，，
∴，
∴为等腰直角三角形
∴即
故选A
【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
8. 如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形．已知，则（ ）

A. B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理及图形关系表示出即可．
【详解】∵，
∴，
∴半圆面积+半圆面积半圆面积
，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9. 在平行四边形中，，现将平行四边形沿折叠，使点与点重合，点落在处，则的度数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质以及折叠变换，首先根据折叠找到对应相等的角，，然后根据三角形内角和可算出，进而可得的度数，再根据平行四边形的性质可得．解题的关键是找准折叠后哪些角是对应相等的．
【详解】解：∵将平行四边形沿折叠，使点与点重合，点落在处，，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴的度数为．
故选：C．
10. 用尺规作图的方法在一个平行四边形内作菱形，下列作法错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查作图—复杂作图．在A选项中只能证明四边形为平行四边形，利用作法和菱形的判定方法可得到B、C、D选项中四边形为菱形．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质和菱形的判定．
【详解】解：A．如图，根据作图过程可知：，，
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
B．如图，根据作图过程可知：，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，故此选项不符合题意；
C．如图，根据作图过程可知：，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，故此选项不符合题意；
D．如图，根据作图过程可知：，，
∵四边形是平行四边形，
∴即，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，故此选项不符合题意．
故选：A．
11. 如图，菱形，点均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ）
A. 3B. 5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，对称最小值的计算方法，掌握菱形的性质，对称最短路径的计算方法是解题的关键．
根据菱形的性质可得是等边三角形，作点关于的对称点可得点是的中点，根据等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，，即是等边三角形，
如图所示，作点关于的对称点，连接交于点，
∵是等边三角形，点是的中点，，
∴点在线段的中点处，
根据对称可得，，
∴，此时的值最小，
∴，且，
∴，
∴的最小值为：，
故选：A ．
12. 如图，正方形中，对角线交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后折痕分别交于点，连接，给出下列结论，其中正确的个数有（ ）．
①； ②
③四边形是菱形； ④．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】①由四边形是正方形，可得，又由折叠的性质，可求得的度数，从而求得；②证得，由即可得；③由折叠的性质与平行线的性质，易得是等腰三角形，由、即可得证；④设，先求得，从而知．
【详解】解：四边形是正方形，
，
由折叠的性质可得：，
，故①错误．
由折叠的性质可得：，，
在和中，
，
，
，
在中，，
，故②错误；
，
，
又、，
，
四边形是菱形，故③正确；
设，
四边形是菱形，且，
，
，
又，
，
，
，，
，即，
，故④正确；
故选：B．
【点睛】此题考查的是正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上．
13. 二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为___．
【答案】x≥﹣．
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】由于二次根式在实数范围内有意义，所以2x+1≥0，即：x≥﹣．
故答案是x≥﹣．
14. 如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是____．

【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求得正方形对角线长为，结合数轴即可求解．
【详解】∵正方形ODBC中，OC=1，
∴BC=OC=1，∠BCO=90°．
∵在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB=．
∴OA=OB=．
∵点A在数轴上原点的左边，
∴点A表示的数是．
【点睛】本题考查了实数与数轴，勾股定理，数形结合是解题的关键．
15. 如图，E为□ABCD的边AD上任意一点，□ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半，即可得出答案．
【详解】解：设的高为，
阴影部分的高也为
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查阴影部分的面积求法，掌握三角形与平行四边形面积之间的关系是解题的关键．
16. 在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查用勾股定理求平面直角坐标系中的点到原点的距离，注意横坐标的绝对值就是点到轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到轴的距离．解题的关键是掌握勾股定理．
【详解】解：点到原点的距离是．
故答案为：．
17. 已知：正方形的边长为8，点分别在上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，掌握全等三角形的判断和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键．
根据正方形的性质可证，可得，是直角三角形，运用勾股定理可得的值，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴是直角三角形，
∵，，
∴，
在中，，
∵点是的中点，
∴，
故答案为： ．
18. 如图，已知∠AED＝∠ACB＝90°，AC=BC=3，AE=DE=1，点D在AB上，连接CE，点M，点N分别为BD，CE的中点，则MN的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】连接DN并延长DN交AC于F，连接BF，根据DE∥AC，可证△EDN≌△CFN，可得DE = CF，求出DN = FN，FC = ED，得出MN是中位线，再证△CAE≌△BCF，得出BF= CE,即可解题．
【详解】解：连接DN并延长DN交AC于F，连接BF，如图，
∵∠AED＝∠ACB＝90°，AC=BC=3，AE=DE=1，
，
，
，
∵点N为CE的中点，
，
在和中，
，
，
，
∵点M为BD的中点，
是的中位线，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线，平行线性质和判定的应用，勾股定理．
三、解答题：本大题共5小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先将各个二次根式化简，再进行合并即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式展开，再合并即可．
【小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题考查二次的加减及二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算法则是解题关键．
20. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”
【答案】尺
【解析】
【分析】设绳索有尺长，根据勾股定理列方程即可得到结果．
【详解】解：如图所示，
设绳索有x尺长，依题意
解得：，
答：绳索长尺，
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
21. （1）已知满足，求．
（2）已知为实数，且，化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查绝对值，二次根式的非负性，二次根式的性质化简，乘方运算，掌握二次根式的性质是解题的关键．
（1）根据绝对值的非负性，二次根式的非负性计算出的值，代入计算即可求解；
（2）根据二次根式的非负性可算出的值和取值范围，再结合二次根式的性质进行化简即可求解．
【详解】解：（1），
∵，
∴，
∴，
∴；
（2），
∵，
∴，
解得，，
∴，
，
∵，则，
∴原式
把代入得，．
22. 如图，在中，已知，是边的中点，过点作，且．

（1）求证：四边形平行四边形；
（2）若，，求四边形的周长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质得到，结合已知推出，根据平行四边形的判定定理即可证明结论成立；
（2）利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，，据此求解即可．
【小问1详解】
证明：，是边的中点，
．
，
．
又，
四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：，，，
，
．
在中，由勾股定理得．
四边形是平行四边形，
，
四边形的周长为．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
23. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿CA方向以速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是秒（）．过点作于点F，连接DE，EF．
（1）求证：；
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由；
（3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）t=10； （3）当t=或12时，△DEF为直角三角形，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）由题意得∠BCA=30°，CD=4tcm，AE=2tcm，再由含30°角的直角三角形的性质得DF=DC=2tcm， 即可得到AE=DF；
（2）由AE=AD，得四边形AEFD为菱形，得2t=60-4t，进而求得t的值；
（3）分∠EDF=90°、∠DEF=90°两种情况，根据直角三角形的性质列出算式，计算即可．
【小问1详解】
证明：由题意可知CD=4tcm，AE=2tcm，
∵∠B=90°，∠A=60°，
∴∠C=30°，
∴DF=DC=2t cm．
∵AE=2t cm，DF=2t cm，
∴AE=DF．
【小问2详解】
解：∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴．
∵AE=DF，，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴要使平行四边形AEFD为菱形，则需AE=AD，
即2t=60-4t，
解得t=10，
∴当t=10时，四边形AEFD为菱形，
故答案为：10．
【小问3详解】
当∠EDF=90°时，如图①，
∵DF⊥BC，AB⊥BC，
∴，
∴四边形DFBE为矩形．
∴
∴AD=2AE，即60-4t=2t×2，
解得，t=，
当∠DEF=90°时，如图②，
∵，
∴DE⊥AC，
∴．
∴AE=2AD，即2t=2×（60-4t），
解得，t=12，
综上所述，当t=或12时，△DEF为直角三角形．
【点睛】本题考查了直角三角形判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．