福建省福州市闽清县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂．）
1. 二次根式的值是（ ）
A. －2B. 2或－2C. 4D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的性质化简可得答案．
【详解】解：=2，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，当a≥0时，=a；当a<0时，=-a．
2. 下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数、正比例函数的增减性与系数的关系判断即可．
【详解】解：由一次函数、正比例函数增减性知，x系数小于0时，y随x的增大而减小，
，
故只有D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
3. 下列选项中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）.
A. 1，2，2B. 3，3，3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
【详解】A. ∵12+22=5≠22，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误；
B. ∵a=b=c=3，∴以这三个数为长度的线段构成的是等边三角形，不能构成直角三角形，故选项错误；
C. ∵，∴以这三个数为长度的线段，能构成直角三角形，故选项正确；
D. ∵，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误.故选C.
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理.
4. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，二次根式大小比较，首先分别求出的平方，并比较出它们的平方的大小关系，然后根据两个正实数，平方大的这个数也大，判断出的大小关系即可，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的这个数也大．
【详解】解： ，，，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
5. 下列命题的逆命题错误的是（ ）
A. 直角三角形的两锐角互余B. 两直线平行，内错角相等
C. 等腰三角形的两个底角相等D. 对顶角相等
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理的知识，写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【详解】A、直角三角形的两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，逆命题是正确的；
B、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，逆命题是正确的；
C、等腰三角形的两个底角相等的逆命题是两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是正确的；
D、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是错误的；
故选：D．
6. 如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点，
A. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
7. 一次函数的图象不经过第四象限，下列，的取值范围正确的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数的图像与系数的关系，直接根据一次函数的图像与系数的关系进行解答即可．
【详解】解：∵直线不经过第四象限，
∴，．
故选：B．
8. 如图，矩形的对角线相交于点．若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】根据矩形性质得出，推出则有等边三角形，即，然后运用余切函数即可解答．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定、矩形的性质、余切的定义等知识点，求出是解答本题的关键．
9. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为( )

A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】过点作于点，勾股定理求得，根据作图可得是的角平分线，进而设，则，根据，代入数据即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，

在中，，，
∴，
根据作图可得是的角平分线，
∴
设，
∵
∴
解得：
故选：C．
【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，正弦的定义，勾股定理解直角三角形，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键．
10. 如图在中，，，分别是，的中点，以为斜边作直角三角形，若，则下列结论：①；②平分；③；④．正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查三角形中位线定理，等腰三角形的判定及性质，勾股定理等知识，根据等腰直角三角形的性质可判断①，根据平行线的性质可判断②，由①②的条件，通过角的转换即可判断③，根据勾股定理即可判断④．
【详解】解：∵，，
∴．
∵中，，
∴，
∴，
故①正确，符合题意；
∵，分别是，的中点，
∴，
∴．
∵F是的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
故②正确，符合题意；
∵，
∴，
故③错误，不符合题意；
∵中，，
∴，
∵，
∴，
故④正确，符合题意．
综上所述，正确的有①②④，共3个，
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，请在答题卡相应位置作答．）
11. 使有意义的x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解即可．
【详解】解：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式得：
x+1≥0，
解得x≥﹣1．
故答案为x≥﹣1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，比较简单．
12. 如图，在中，，于点E，若，则______．

【答案】
【解析】
【分析】证明，，由，可得，结合，可得．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记基本几何图形的性质是解本题的关键．
13. 请写出一个整数的值，使得是整数：________．
【答案】8（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到要是完全平方数是解题的关键．
要使是整数，则要是完全平方数，据此求解即可
【详解】解：∵是整数，
∴要是完全平方数，
∴正整数m值可以为8，即，即，
故答案为：8（答案不唯一）．
14. 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，则每个直角三角形的面积为________．

【答案】96
【解析】
【分析】由题意知，，由，可得，计算求出满足要求的，然后求，根据每个直角三角形的面积为，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∵，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴每个直角三角形面积为，
故答案为：96．
【点睛】本题考查了勾股定理．解题的关键在于对勾股定理的熟练掌握与灵活运用．
15. 在“探索一次函数的系数，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：，，（如图）．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式，，，分别计算当时，，，的值，则，，的大小关系为________（用“>”号连接）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了函数值的大小比较．数形结合是解题的关键．
根据题意画函数图象，然后结合图象判断作答即可．
【详解】解：如图，
由图象可知，，
故答案为：．
16. 如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为______．

【答案】##
【解析】
【分析】过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质以及已知条件得出，进而求得，根据折叠的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，

∵在中，，，，
∴，
∴，
在中，
∵将沿折叠得到，当点恰好落在上时，
∴
又
∴
∴
∴
设，
∴
在中，
∴
解得：（负整数）
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
三、解答题（本题共9小题，满分86分，请在答题卡相应位置作答．）
17. 计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】此题考查了有理数的乘方，算术平方根和零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则．
首先计算有理数的乘方，算术平方根和零指数幂，然后计算加减．
【详解】原式
．
18. 如图，，，，垂足分别为，．若，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，证明，得出，由勾股定理可得出答案．
【详解】，
在与中
在中，
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先算分式的除法，再算分式的减法，然后把代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】

当时，原式．
20. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点的直线交轴于点．求直线的函数表达式．
【答案】直线的解析式为
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，先利用解析式确定A点坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式．
【详解】把代入，得，
，
设直线的解析式为，
点，在图象上，
，解得，
直线的解析式为．
21. 如图，中，为钝角．
（1）尺规作图：作边，的垂直平分线分别交于点，；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理；
（1）根据线段垂直平分线的作图方法分别作图即可．
（2）连接，．由线段垂直平分线的性质可得，
，则， ．结合勾股定理的逆定理可得，根据三角形内角和定理可得，即可根据求解．
【小问1详解】
作两条垂直平分线即可
【小问2详解】
连接，，
边，的垂直平分线分别交于点，，
，，
， ，
，
，
，
，
∴，
．
22. 如图，矩形对角线，相交于点O，．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）先根据矩形的性质求得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理；
（2）根据矩形的性质求得的面积，然后结合菱形的性质求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵矩形中，，
∴平行四边形菱形；
【小问2详解】
解：矩形的面积为，
∴的面积为，
∴菱形的面积为．
【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判定方法，正确推理论证是解题关键．
23. 甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．

（1）当时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；
（2）求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）求得甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为，联立，即可求解．
【小问1详解】
解：设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为，将，代入得，
，
解得：，
∴；
【小问2详解】
设甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为
将点代入得，
解得：，
∴；
联立
解得：
∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为米
【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
24. 如图①，，为直线上的两点．
（1）求的值；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，过点作轴的平行线，交直线于点，如图②．求线段的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）的最小值为
【解析】
【分析】（1）将，代入求解即可；
（2）设直线交轴于点，则，根据代数求解即可；
（3）设交轴于点，交轴于点，直线交轴于，求出，，勾股定理求出，然后证明出，得到，得到当最小时，最小，当时，最小，然后利用等面积法求解即可．
【小问1详解】
，均在直线上
两式相减得
【小问2详解】
设直线交轴于点，则
；
【小问3详解】
设交轴于点，交轴于点，直线交轴于，
∵直线
∴当时，；当时，；
∴，
∴
根据对称可得，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴平行四边形是矩形
∴
∴，
又∵，
．
当最小时，最小
当时，最小
的最小值为．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，矩形的性质和判定，轴对称的性质，两点之间线段最短，勾股定理等知识．正确的作出辅助线是解题关键．
25. 【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，正方形中，点是的中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点为，延长交线段于点，连接．求的度数．
【实践探究】
（2）小瑞受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图②，正方形的边长为6，点，分别在，上，连接，，．若，，求的长．
【拓展迁移】
（3）小波深入研究以上两个问题，发现并提出新的探究点：如图③，是的高，，若，，求的面积．
【答案】（1）；（2）的长为3；（3）
【解析】
【分析】此题是四边形综合题目，考查了折叠性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．
（1）证明，得出，由直角三角形的性质可得出答案；
（2）延长到，使，连接，证明，得出，由勾股定理可得出答案；
（3）将沿和翻折得到，沿翻折得到，延长，交于点，证明四边形是正方形，得出，设，则，，由勾股定理可得出答案．
【详解】（1）由折叠可得：，，．
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
；
（2）延长到，使，连接，
则，
，
，
，，
，
，
，
，
设，则，
，
，
在中，，
，
，
的长为3．
（3）将沿翻折得到，沿翻折得到，延长，交于点，
，，，，，
四边形是正方形，
，，
设，则，，
在中，，
，
解得，
，
．