广东省深圳市龙岗区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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说明：全卷共6页，满分100分，考试时长90分钟，请在答题卡上作答，在本卷上作答无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在答题卡上）
1. 芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力能耗．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：数据0.000000007用科学记数法表示为．
故选：B．
2. 已知三角形两边长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A. 5B. 6C. 11D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．
【详解】解：设此三角形第三边的长为x，则10-4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件．
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
3. 下列计算正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查整式的运算．根据整式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、原式，故本选项不符合题意；
故选：B．
4. 在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（ ）．
A. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
B. 两直线平行，同位角相等
C. 同旁内角相等，两直线平行
D. 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定条件进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴这说明了如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，
故选：D．
5. 下列不能用平方差公式直接计算的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式．根据“两个数的和与两个数的差的积”能运用平方差公式，逐个分析得结论．
【详解】解：A、能用平方差公式计算，故选项不符合题意；
B、能用平方差公式计算，故选项不符合题意；
C、不能用平方差公式计算，故选项符合题意；
D、能用平方差公式计算，故选项不符合题意．
故选：C．
6. 下列说法中正确的是（ ）．
A. 形状相同两个图形一定全等B. 两个长方形是全等图形
C. 两个正方形一定是全等图形D. 两个全等图形面积一定相等
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了全等图形和全等图形的性质．直接利用全等图形以及全等图形的性质判断得出答案．
【详解】解：A、形状相同、大小相等的两个图形一定全等，故本选项不符合题意；
B、两个长方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意；
C、两个正方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意；
D、两个全等图形面积一定相等，故本选项符合题意；
故选：D．
7. 如图，将一个圆柱形无盖小烧杯放置在一个圆柱形无盖大烧杯底部，杯底厚度忽略不计．已知大烧杯的底面半径是小烧杯的底面半径的2倍，现向小烧杯内匀速加水，当大烧杯内的水面高度与小烧杯顶部齐平时，就停止加水．在加水的过程中，小烧杯、大烧杯内水面的高度差随加水时间变化的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．根据题意判断出小烧杯、大烧杯的液面高度随时间的变化情况即可．
【详解】解：大烧杯的底面半径是小烧杯的底面半径的2倍，
小烧杯的容积是大烧杯与小烧杯顶部齐平时下部容积的，
注满小烧杯的所需时间是大烧杯下部注水时间的，
小烧杯、大烧杯内水面的高度差随加水时间变化的图象可能是选项C．
故选：C
8. 如图所示，在中，已知点、、分别是、、的中点，且的面积为64，则的面积是（ ）．
A. 18B. 16C. 14D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质．根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形得出，，，再根据的面积即可求出的面积，从而求出的面积．
【详解】解：点是的中点，
，，
点是的中点，
，
，
的面积为64，
，
，
点是的中点，
，
故选：B．
9. 如图（a）所示，长方形边上的一动点P从点B出发，沿B→C→D→A方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为，设点P的运动时间为t（s），的面积为，若y关于t的函数图象如图（b）所示，则长方形的周长为（ ）．
A. 14cmB. 28cmC. 36cmD. 48cm
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象．根据的面积只与点P的位置有关，结合图2求出长方形的长和宽，再由长方形的周长公式计算即可．
【详解】解：根据题意得：动点P从点B出发，沿、、运动至点A停止，
当点P在点B，C之间运动时，根据运动速度为，可得，
的面积，
由图2得，当时，点P由B点到达点C处，
∴；
当点P运动到点C，D之间时，
的面积，保持不变，
由图2得，点P从点C运动到点D所用时间为，
∴，
∴长方形的周长：．
故选：B．
10. “抖空竹”经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录，“裁竹成形腰鼓如，两端绳索弄徐徐．当风急转如流水，山寺闻钟韵有余．”就是对抖空竹的写照．某同学在研究“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】延长交于点，根据平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质，可得．
【详解】解：如图，延长交于点，

，，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握知识点，正确构造辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上）
11. 已知，，则 的值为 ___．
【答案】140
【解析】
【分析】逆用同底数幂的乘法，即可作答．
【详解】∵，，
∴．
故答案为：140．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用．本题属于基础题型，同底数幂的乘法运算法则： ．
12. 一个角的余角的度数为，则这个角的补角的度数为_____．
【答案】##120度
【解析】
【分析】根据一个角的补角比这个角的余角大得出补角为加，求出即可．
【详解】∵一个角的余角的度数是，
∴这个角的补角的度数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了补角和余角，能知道一个角的补角比这个角的余角大是解此题的关键．
13. 我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料--纳米气凝胶，该材料导热率与温度（℃）的关系如表：
根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为___________℃．
【答案】
【解析】
【分析】根据表格中两个变量、的对应值以及变化规律可得答案．
【详解】根据题意，温度每增加℃，导热率增加，
所以，当导热率为时，温度为℃，
故答案为：．
【点睛】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键．
14. 用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为________．

【答案】##度
【解析】
【分析】如图，先标注点与角，由对折可得：，求解，利用，从而可得答案．
【详解】解：如图，先标注点与角，

由对折可得：，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是折叠的性质，平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解本题的关键．
15. 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜60°）．当△ABC为“灵动三角形”时，则∠OAC的度数为____________．
【答案】30°或52.5°
【解析】
【分析】由于∠O＝60°，∠ABC＝30°，因此可分两种情况进行解答，即当∠ACB＝3∠ABC，或∠ACB＝3∠CAB时，根据三角形的内角和定理以及互为余角可得答案．
【详解】解：∵∠AB⊥OM，MON＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣60°＝30°，
当△ABC为“灵动三角形”时，有
①当∠ACB＝3∠ABC时，
∠ACB＝3×30°＝90°，
∴∠OAC＝90°﹣∠O＝90°﹣60°＝30°，
②当∠ACB＝3∠CAB时，
4∠CAB+30°＝180°，
∴∠CAB＝37.5°，
∴∠OAC＝90°﹣∠CAB＝52.5°，
故答案为：30°或52.5°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、“灵动三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16. 计算：
（1）；
（2）．（要求简便计算）
【答案】（1）19 （2）1
【解析】
【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及零指数幂、负整数指数幂的运算．
（1）首先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
（2）首先把化成，然后应用平方差公式，求出算式的值即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；．
【解析】
【分析】本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的应用，熟记乘法公式与多项式除以单项式的运算法则是解本题的关键；本题先去括号，再合并同类项，最后计算多项式的除法运算，再把代入化简后的代数式计算即可．
【详解】解：
；
当时，
原式．
18. 如图，和互为补角，，求证：．
请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：∵和互为补角（已知），
∴（补角定义）．
又（ ），
∴（等量代换）．
∴ （ ）．
又∵（已知），
∴ ．（ ）
∴．（ ）．
【答案】对顶角相等，，同旁内角互补，两直线平行，，两直线平行，同位角相等，内错角相等，两直线平行．
【解析】
【分析】先根据∠1与∠2互补证FD∥AE，得到∠A与∠BFD互补，再根据∠A=∠D证AB∥CD．
【详解】证明：∵和互为补角（已知），
∴（补角定义）．
又（ 对顶角相等 ），
∴（等量代换）．
∴ FD （ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
又∵（已知），
∴ BFD ．（ 两直线平行，同位角相等 ）
∴．（ 内错角相等，量直线平行 ）．
【点睛】本题考查平行的证明，解题关键是通过平行的性质和对顶角的关系进行角度转化，最后得出内错角相等．
19. 如图，直线，

（1）利用尺规作图：过点B作，且与交于点C．
（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）试说明：．
【答案】（1）图见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）过点作，交于点，即可．
（2）利用平行线性质，得到，即可得证．
【小问1详解】
如图所示，即为所求；

∵，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的判定定理和性质定理．
20. 在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知小亮所在学校的教学楼、图书馆、食堂依次在同一条直线上，图书馆离教学楼，食堂离教学楼．某日中午，小亮从教学楼出发，匀速走了（分钟）到图书馆；在图书馆停留借书后，匀速走了到食堂；在食堂停留吃完饭后，匀速走了返回教学楼．给出的图象反映了这个过程中小亮离教学楼的距离与离开教学楼的时间之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图中自变量是________，因变量是________；小亮从教学楼到图书馆的速度为________，小亮从图书馆到食堂的速度为________；
（2）填表：
（3）当小亮离开教学楼时间为________时，他离教学楼的距离为．
【答案】（1）小亮离开教学楼的时间，小亮离教学楼的距离，100，60
（2）200，820，1000
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据函数的定义，以及速度、路程、时间的关系即可求解；
（2）根据题意和函数图象，可以将表格补充完整；
（3）分两种情况，根据函数图象中的数据，求出当时，当时，小亮离教学楼的距离为时，求他离开教学楼的时间即可．
【小问1详解】
解：图中自变量是小亮离开教学楼的时间，因变量是小亮离教学楼的距离；
小亮从教学楼到图书馆的速度为，
小亮从图书馆到食堂的速度为；
【小问2详解】
解：当时，离教学楼的距离为，
当时，离教学楼的距离为，
在时，距离不变，都是，
故当时，离教学楼的距离为，
【小问3详解】
解：小亮离教学楼的距离为时，
有两种情况，
①当时，
∵在前7分钟的速度为，
∴当小亮离教学楼的距离为时，他离开教学楼的时间为，
当时，
小亮离教学楼的距离为时，他离开教学楼的时间为，
∴当小亮离教学楼的距离为600m时，求他离开教学楼的时间或．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21. 【知识生成】
我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图（1）可以得到，基于此，请解答下列问题：
【直接应用】
（1）若，，则
【类比应用】
（2）①若，则 ；
②若，则 ；
【知识迁移】
（3）两块完全相同的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若，，求一块三角板的面积．
【答案】（1）11；（2）①1；②12；（3）一块直角三角板的面积为34．
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，掌握完全平方公式的变形是正确解答的关键．
（1）根据完全平方公式的变形可得答案；
（2）①设，，则，，由进行计算即可；
②设，，则，，由进行计算即可；
（3）设，，由题意可得，，，由求出的值即可．
【小问1详解】
解：（1），，
，
故答案为：；
（2）①设，，则，，
，
故答案为：1；
②设，，则，，
∴
，
故答案为：12；
（3）设，，
，，
，，
即，，
，
即，
，
答：一块直角三角板的面积为34．
22. 【阅读学习】阅读下面的解题过程：
（1）如图①，，过点作，由平行线的传递性可得，利用平行线的性质，我们不难发现：与、之间的数量关系是___________；与、之间的数量关系是___________．
【知识运用】利用上面的结论解决下列问题：
（2）如图②，，点是和的平分线的交点，，则的度数是___________；
（3）如图③，，平分，平分，，若比大，求的度数___________．

【答案】（1），；（2）；（3）
【解析】
【分析】对于（1），根据平行线的性质判断即可；
对于（2），根据（1）的结论解答即可；
对于（3），先设，可知，根据，可表示
进而得出，再根据角平分线的定义表示，即可根据表示出，最后根据比大15°列出方程求出答案即可．
【详解】（1）根据题意可知，
∴，，
∴.
根据题意可知，
∴，，
∴.
故答案为：，；
（2）因为，且，
所以，
所以.
因为点M是和的平分线的交点，
所以，
所以.
故答案为：115°；
（3）设．
∵平分，
∴.
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵比大15°，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线性质的应用，确定各角之间的数量关系是解题的关键．
温度（℃）
导热率
离开教学楼的时间/
2
20
25
30
离教学楼的距离/
________
700
________
________