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黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）
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时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1. 下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列各组数能组成直角三角形的一组数是（ ）
A. 4，5，6B. 1，1，2C. 5，12，13D. 6，8，11
3. 下列四边形中不是轴对称图形的是（ ）
A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 平行四边形
4. 下列命题中正确的是（ ）
A. 有一组邻边相等的四边形是菱形
B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 对角线垂直的平行四边形是正方形
D. 一组对边平行的四边形是平行四边形
5. 下列给出的四个点中，不在函数图象上的是（ ）
A. B. C. D.
6. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）．
A. 两组对边分别平行B. 对角线相等
C. 对角线互相平分D. 两组对角分别相等
7. 如图，平行四边形中，对角线、交于点O，点为的中点，且，则的长为（ ）
A. 3cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm
8. 如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG大小为（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
9. 在正方形的外侧，作等边三角形，，相交于点F，则为（ ）
A. B. C. D.
10. A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离S（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示：下列说法错误的是（ ）
A. 乙比甲提前出发B. 甲行驶速度为
C. 3h时，甲、乙两人相距D. 或时，乙比甲多行驶
二、填空题（每题3分，共30分）
11. 在函数中，自变量x的取值范围是_____．
12. 因式分解______．
13. 函数中的常量是______．
14. 汽车油箱中有汽油．如果不再加油，那么油箱中油量y（单位：）随行驶路程x（单位：）的增加而减少，耗油量为．则y与x的函数关系式为______；（要求写出自变量x的取值范围）．
15. 如图，在A处测得点P在北偏东方向上，在B处测得点P在北偏东方向上，若米，则点P到直线的距离为______．
16. 如图，在矩形中，，．连接，在和上分别截取，使，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，则线段的长是______．
17. 某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图数学问题，小明在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则小明输入的密码是______．
18. 如图，等腰直角三角形中，，，D是边的中点，P是边上一动点，连接，则的最小值为________．
19. 如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E为边BC中点，P为正方形边上一点，且PB＝AE，则PE的长为______．
20. 如图，点E是正方形中边上一点，把沿直线翻折得到（点B的对应点为F），射线交于点H，交直线于点G，连接，若，，则线段的长为______．
三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共60分）
21. 先化简，再求值：，其中．
22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以AB为边的正方形，点E和点F均在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出以CD为边的等腰三角形，点G在小正方形的顶点上，且的周长为，连接EG，请直接写出线段EG的长．
23. 在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点的横纵坐标的绝对值之和等于点的横纵坐标的绝对值之和，则称两点为“等和点”，如图1中的两点即为“等和点”．
已知点的坐标为，
（1）在点，，中，与点为“等和点”的是______（只填字母）；
（2）若点在函数的图象上，且两点为“等和点”，求点的坐标．
24. 已知：四边形中，与交于点O，，，．
（1）如图1，求证：四边形为矩形；
（2）如图2，过点O作，交于点E，交于点F，若，在不添加任何辅助线情况下，直接写出图2中四条线段，使每一条线段的长度都等于线段的长度的一半．
25. 创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元．
（1）求每个A型垃圾桶和每个B型垃圾桶各为多少元；
（2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15200元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
26. [问题提出]
如图1，在菱形中，对角线交于点，是线段上的一个动点，且点不与点重合，连接．
（1）求证：；
[问题探究]
将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，令，．
（2）如图2，当时
①当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由；
②探究与之间的数量关系，并说明理由；
[迁移探究]
（3）如图3．当，且时，试探究与之间的数量关系，并说明理由；
27. 如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴的正半轴上，以为邻边作矩形，连接，．
（1）如图，求点的坐标；
（2）如图，点为线段上一点，连接，作垂足为，设点的纵坐标为，线段的长为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）如图，在（）的条件下，连接，为轴负半轴上一点，延长至点，连接，点在线段上，连接，，若，，且，求的值．
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1. 下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列各组数能组成直角三角形的一组数是（ ）
A. 4，5，6B. 1，1，2C. 5，12，13D. 6，8，11
3. 下列四边形中不是轴对称图形的是（ ）
A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 平行四边形
4. 下列命题中正确的是（ ）
A. 有一组邻边相等的四边形是菱形
B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 对角线垂直的平行四边形是正方形
D. 一组对边平行的四边形是平行四边形
5. 下列给出的四个点中，不在函数图象上的是（ ）
A. B. C. D.
6. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）．
A. 两组对边分别平行B. 对角线相等
C. 对角线互相平分D. 两组对角分别相等
7. 如图，平行四边形中，对角线、交于点O，点为的中点，且，则的长为（ ）
A. 3cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm
8. 如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG大小为（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
9. 在正方形的外侧，作等边三角形，，相交于点F，则为（ ）
A. B. C. D.
10. A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离S（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示：下列说法错误的是（ ）
A. 乙比甲提前出发B. 甲行驶速度为
C. 3h时，甲、乙两人相距D. 或时，乙比甲多行驶
二、填空题（每题3分，共30分）
11. 在函数中，自变量x的取值范围是_____．
12. 因式分解______．
13. 函数中的常量是______．
14. 汽车油箱中有汽油．如果不再加油，那么油箱中油量y（单位：）随行驶路程x（单位：）的增加而减少，耗油量为．则y与x的函数关系式为______；（要求写出自变量x的取值范围）．
15. 如图，在A处测得点P在北偏东方向上，在B处测得点P在北偏东方向上，若米，则点P到直线的距离为______．
16. 如图，在矩形中，，．连接，在和上分别截取，使，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，则线段的长是______．
17. 某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图数学问题，小明在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则小明输入的密码是______．
18. 如图，等腰直角三角形中，，，D是边的中点，P是边上一动点，连接，则的最小值为________．
19. 如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E为边BC中点，P为正方形边上一点，且PB＝AE，则PE的长为______．
20. 如图，点E是正方形中边上一点，把沿直线翻折得到（点B的对应点为F），射线交于点H，交直线于点G，连接，若，，则线段的长为______．
三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共60分）
21. 先化简，再求值：，其中．
22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以AB为边的正方形，点E和点F均在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出以CD为边的等腰三角形，点G在小正方形的顶点上，且的周长为，连接EG，请直接写出线段EG的长．
23. 在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点的横纵坐标的绝对值之和等于点的横纵坐标的绝对值之和，则称两点为“等和点”，如图1中的两点即为“等和点”．
已知点的坐标为，
（1）在点，，中，与点为“等和点”的是______（只填字母）；
（2）若点在函数的图象上，且两点为“等和点”，求点的坐标．
24. 已知：四边形中，与交于点O，，，．
（1）如图1，求证：四边形为矩形；
（2）如图2，过点O作，交于点E，交于点F，若，在不添加任何辅助线情况下，直接写出图2中四条线段，使每一条线段的长度都等于线段的长度的一半．
25. 创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元．
（1）求每个A型垃圾桶和每个B型垃圾桶各为多少元；
（2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15200元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
26. [问题提出]
如图1，在菱形中，对角线交于点，是线段上的一个动点，且点不与点重合，连接．
（1）求证：；
[问题探究]
将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，令，．
（2）如图2，当时
①当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由；
②探究与之间的数量关系，并说明理由；
[迁移探究]
（3）如图3．当，且时，试探究与之间的数量关系，并说明理由；
27. 如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴的正半轴上，以为邻边作矩形，连接，．
（1）如图，求点的坐标；
（2）如图，点为线段上一点，连接，作垂足为，设点的纵坐标为，线段的长为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）如图，在（）的条件下，连接，为轴负半轴上一点，延长至点，连接，点在线段上，连接，，若，，且，求的值．
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