黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．考试时间120分钟．
2．全卷共三道大题，总分120分．
一、选择题（每小题3分，共36分）
1. 下列四个方程中，是二元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】含有两个未知数，且未知数项的次数都是1的方程是二元一次方程，据此解题．
【详解】解：A选项：只有一个未知数，为一元一次方程，故A错误；
B选项：有两个未知数，且未知数次数为1，故为二元一次方程，故B正确；
C选项：中的次数为2，故不是二元一次方程，故C错误；
D选项：中 是分式不是整式，故不是二元一次方程，故D错误．
故选B．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方根的定义以及算术平方根的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，无意义，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了求一个数的平方根，算术平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．
3. 点在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由纵坐标为0可得：，进而求解m的值，则问题得解．
【详解】解：由点P在直角坐标系的轴上，可得：
，解得：，
，
点；
故选A．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系里点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系里x轴上点的坐标特点是解题的关键．
4. 如图，直线，相交于点O，，垂足为O，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了垂线，邻补角的定义，根据邻补角的定义得出，再根据垂线的定义得出，再根据角的和差关系得出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
5. 如图，在下列选项条件中，能判断的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的判定方法逐个判断即可．
【详解】解：A、根据不能推出，故本选项不符合题意；
B、根据不能推出，故本选项不符合题意；
C、根据可得出，不符合题意；
D、根据可得出，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
6. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查点横纵坐标与所在象限的关系，判定点P的横纵坐标的符号即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴点一定在第一象限，
故选：A．
7. 下列说法错误的个数是（ ）
①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；
④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线、点到直线的距离等知识，注意平行公理是在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．根据平行公理、点到直线的距离，对选项逐一进行分析，即可得出答案．
【详解】解：①经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该说法错误；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故该说法错误；
③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故该说法错误；
④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，该说法正确．
综上所述，说法错误的是①②③，合计3个．
故选：C．
8. 将一副三角板按如图所示的方式放置，使点A落在上，且，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线平行，内错角相等求出，然后求出度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
9. 我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒斛，1个小桶盛酒斛，下列方程组正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据大小桶所盛酒的数量列方程组即可.
【详解】∵5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，
∴5x+y=3，
∵1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，
∴x+5y=2，
∴得到方程组，
故选：A.
【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键.
10. 若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（ ）
A. （1，﹣2）B. （2，1）C. （﹣1，2）D. （2，﹣1）
【答案】C
【解析】
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【详解】解：∵点P在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，
∴点P的横坐标是﹣1，纵坐标是2，
∴点P的坐标为（﹣1，2）．
故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
11. 如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据正方形的面积求出边长，再根据两点间的距离公式进行求解即可．
【详解】解：∵正方形的面积为3，
∴，
∴，
设点表示数为，
则：，
由图可知：，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查在数轴上表示无理数，以及数轴上两点间的距离．熟练掌握数轴上表示无理数的方法以及数轴上两点间的距离公式是解题的关键．
12. 如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中结论正确有（ ）
A. ①②③④B. ①②C. ①③④D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，先由平行线的性质得到，再由角平分线的定义得到，进而推出，则，据此逐一判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∴，
∴平分，，故①正确，④错误；
∵，
∴，故②正确；
故选：D．
二、填空题（每小题3分，满分21分）
13. 已知二元一次方程组，则的值为________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组，把两个方程相减后，即可得出结果．
【详解】解：，
，得：；
故答案为：4．
14. －27的立方根与的平方根之和是________．
【答案】0或－6
【解析】
【详解】试题解析：根据题意得：±=-3±3，
则-27的立方根与的平方根之和为为0或-6．
考点：实数的运算．
15. 规定用表示一个实数的整数部分（不大于的最大整数），例如，．按此规定的值为 ．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方运算先估算出的值，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
16. 已知方程组的解是，则方程组的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，设，，根据题意可得出，解m，n的二元一次方程即可求解．
【详解】解：设，，
则方程组化为：，
∵方程组的解是
∴，
解得：，
故答案为：．
17. 如图，校园里长为10米宽为8米的长方形草地内修建了宽为1米的道路，则草地面积是______平方米．
【答案】56
【解析】
【分析】利用平移的性质得到草地部分的图形为一个长方形，利用公式计算即可．
【详解】解：利用平移的性质可得草地部分的图形为一个长方形，长为(10−2)米，宽为(8−1)米，
因此草地部分的面积为：(10−2)×(8−1)=56（平方米），
故答案为：56．
【点睛】此题考查利用平移解决实际问题，正确理解平移的性质是解题的关键．
18. 如图，将一张长方形纸片沿EF折叠，点D，C分别落在点，处，若，则________°．
【答案】##56度
【解析】
【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，折叠得到，平行得到，再利用角的和差关系进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∵长方形纸片，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
19. 如图．在平面直角坐标系中，一质点自处向上运动1个单位长度至．然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动，则的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变化——平移，规律型问题，解题的关键是根据第四象限中点的特征，探究规律，利用规律解决问题．
【详解】解：由题意可知
∴第四象限中点
，
故答案为：．
三、解答题（本题共63分）
20. 计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算：
（1）先进行开方运算，再进行加减运算即可；
（2）先进行开方，去绝对值，去括号运算，再进行加减运算即可．
小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
原式．
21. 解方程：
（1）解方程：；
（2）解方程组．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了立方根的应用，解二元一次方程组，熟练掌握解题方法，准确计算．
（1）根据立方根定义，解方程即可；
（2）用加减消元法解方程组即可．
【小问1详解】
解：，
移项得：，
方程两边同除以64得：，
开立方得：，
解得：；
【小问2详解】
解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：．
22. 如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则AD∥BE．完成下列推理过程：
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠4＝ （ ）
∵∠3＝∠4（已知）
∴∠3＝ （ ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠CAE+∠1＝∠CAE+∠2
即∠ ＝∠
∴∠3＝
∴AD∥BE（ ）
【答案】∠BAE，两直线平行，同位角相等，∠BAE，等量代换，BAE，DAC，∠DAC，内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出∠4＝∠BAE，求出∠3＝∠BAE，根据∠1＝∠2求出∠BAE＝∠DAC，求出∠3＝∠DAC，根据平行线的判定得出即可．
【详解】证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠4＝∠BAE（两直线平行，同位角相等），
∵∠3＝∠4（已知）
∴∠3＝∠BAE（等量代换），
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠CAE+∠1＝∠CAE+∠2，
即∠BAE＝∠DAC，
∴∠3＝∠DAC
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），
故答案为：∠BAE，两直线平行，同位角相等，∠BAE，等量代换，BAE，DAC，∠DAC，内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
23. 已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求平方根．
【答案】±
【解析】
【分析】首先根据平方根与立方根的概念可得2a−1与3a＋b−9的值，进而可得a、b的值；接着估计的大小，可得c的值；进而可得a＋2b＋c，根据平方根的求法可得答案．
【详解】解：根据题意，可得2a−1＝9，3a＋b−9＝8；
故a＝5，b＝2；
又有2＜＜3，
可得c＝2；
则a＋2b＋c＝11；
则11的平方根为±．
【点睛】此题主要考查了平方根、立方根的定义及无理数的估算能力，掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
24. 在平面直角坐标系中，将点，先向下平移个单位长度，再向右平移个单位后，分别得到，．
（1）点坐标为 ，点坐标为 ，并在图中标出点，；
（2）若点的坐标为，求的面积；
（3）在（2）条件下，如图所示网格中，点为图中格点（不与重合）且使得与的面积相等，符合条件的点有 个．
【答案】（1），，见解析；（2）；（3）5
【解析】
【分析】（1）由平面直角坐标系中点平移的特征逆推，即可求解；
（2）由利用割补的方法，△ABC的面积归结为矩形的面积与三个直角三角形面积和的差，即可求解；
（3）由等底等高的三角形的面积相等，即可求解．
【详解】（1）由题意只要把，两点先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，分别得到点A，B，所以点A、B的坐标分别为(1，1)，(0，−1)，A、B两点在图中的位置如图所示：
故答案为：，；
（2）如图，
（3）如图，过点A作BC的平行线，过点B作AC的平行线，两平行线交于点E3，过点C和点E3作AB的平行线与网格交于点E1，E2，E4，E5四个格点，故符合条件的E点有5个；
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移的性质，图形面积计算，平行线的性质等知识，灵活运用这些性质是本题的关键．
25. 如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．
（1）求证：；
（2）若∠EHF＝70°，∠D＝50°，求∠AEM的度数．
【答案】（1）见解析 （2）∠AEM=120°
【解析】
【分析】（1）根据同位角相等两直线平行，可证，进而利用平行线的性质和判定证明；
（2）根据对顶角相等可求∠DHG，根据三角形外角的性质可求∠CGF，根据平行线的性质可得∠C，∠AEC，再根据平角的定义可求∠AEM的度数．
【小问1详解】
证明：∵∠CED＝∠GHD，
∴，
∴∠CEF＋∠EFG＝180°，
∵∠C＝∠EFG，
∴∠CEF＋∠C＝180°，
∴．
【小问2详解】
解：∵∠DHG＝∠EHF＝70°，∠D＝50°，
∴∠CGF＝70°＋50°＝120°，
∵，
∴∠C＝180°−120°＝60°，
∵，
∴∠AEC＝∠C=60°，
∴∠AEM＝180°−60°＝120°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，平角的定义，平行线的性质有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行；平行线的性质有：两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．
26. 综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为．且a，b满足．现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接的延长线交y轴于点K．
（1）点A的坐标________，点B的坐标________．
（2）点P是线段上的一个动点，点Q是线段的中点，连接，当点P在线段上移动时（不与A，C重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论．
（3）连接，在坐标轴上是否存在点M，使面积与的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，试说明理由．
【答案】（1）
（2）当点在上时，，当点在上时，，理由见解析
（3）或或或
【解析】
【分析】（1）根据算式平方根的非负性质、偶次方的非负性质分别求出a、b的值，即可得到点A，B的坐标；
（2）分点过在上和点在上，两种情况，进行讨论求解即可；
（3）先求出的面积，再分点M在x轴上、点M在y轴上两种情况，根据三角形的面积公式分别求解即可．
【小问1详解】
∵ ，
∴ ，
解得：，
∴ 点A，B的坐标分别为．
【小问2详解】
当点在上时：．理由如下：
如图2，过P作，
由题意可知，，
∵，
∴，
∴，，
∴ ，
∵，
∴ ．
当点在上时：
作，则，
∴
∴；
【小问3详解】
由题意得：点C的坐标为，点D的坐标为，
则，当点M在x轴上时，设点M的坐标为，
则，由题意得：，
解得：，
此时点M的坐标为或；
当点M在y轴上时，设点M的坐标为，
则，由题意得：，解得：，
此时点M的坐标为或；
综上所述，在坐标轴上存在点M，使的面积与的面积相等，点M的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了非负性，平行线的判定和性质，平移规律，分类思想，熟练掌握非负性，平行线的判定和性质，平移规律是解题的关键．