陕西省西安市碑林区西北工大附中2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共10小题，每题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 下列计算正确的是( )
A. a3•a3＝a9B. （a3）3＝a6C. a6÷a3＝a2D. a3+a3＝2a3
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除及合并同类项法则逐一判断即可．
【详解】解：A.a3•a3＝a6，故此选项错误；
B.（a3）3＝a9，故此选项错误；
C.a6÷a3＝a3，故此选项错误；
D.a3+a3=2a3，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除及合并同类项法则．
2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】A.是轴对称图形，故该选项正确，符合题意；
B.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
C.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
D.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3. 科学家在实验室中检测出某种病毒的直径约为毫米，该直径用科学记数法表示为（ ）毫米．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故选：B．
4. 如图，已知，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可；
【详解】解：∵∠C+∠D＝∠AEC，
∴∠D=∠AEC-∠C＝50°-20°=30°，
∵，
∴∠A＝∠D=30°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．
5. 若，则的值为( )
A. 9B. C. 27D.
【答案】A
【解析】
【分析】先对因式分解，然后将代入求解即可．
【详解】解：∵，即，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了代数式求值和平方差公式的应用，灵活运用因式分解是正确解答本题的关键．
6. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形内角和为度，求出每一个角的度数即可得到答案．
【详解】解：A、∵，，
∴，即，
∴直角三角形，不符合题意；
B、∵，，
∴，
∴是直角三角形，不符合题意；
C、∵，，
∴，
∴是直角三角形，不符合题意；
D、∵，，
∴，即，
∴不是直角三角形，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，熟知三角形三个内角的度数之和为度是解题的关键．
7. 已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如表：则y与x之间的表达式可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查函数关系式，由表格可知，每增加1，对应的增加2，根据“值的增加量的增加量”写出与之间的表达式即可，找到变量变化的规律是解题的关键．
【详解】解：由表格可知，x每增加1，对应的y增加2，
由此得，
解得：，
故选：B．
8. 如图，为的平分线，添下列条件后，不能证明的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了对全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定方法只有共5种，主要培养学生的辨析能力．根据“”对A进行判断；根据“”对B进行判断；根据“”对C进行判断； D选项符合，不能证明．
【详解】解：由，利用可证明，所以A选项不符合题意；
由，利用可证明，所以B选项不符合题意；
由，利用可证明，所以C选项不符合题意；
由，符合，不能证明，所以D选项符合题意．
故选D．
9. 若，则的值为（ ）
A. B. C. 5D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】根据多项式乘以多项式进行计算即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
10. 如图，把两个角的直角三角板放在一起，点B在上，A、C、D三点在一条直线上，连接延长线交于点F．若，则的面积为（ ）
A. 16B. 12.8C. 6.4D. 5.6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先通过和都是等腰直角三角形，得出再证明，结合面积公式代入数值，进行计算，即可作答．
【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
故选：B．
二.填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
11. 若，则的值为 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查幂的乘方运算法则，代数式求值，根据幂的乘方运算法则建立关于m的方程，求出m的值，代入代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：16．
12. 如图，已知，点A在直线a上，点B、C在直线b上，，，则的度数是 ________．
【答案】或60度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质等知识．
根据平角的定义求出,根据，即可求出．
【详解】解：如图，∵，，
∴,
∵，
∴．
故答案为：
13. 若长方形的面积是，宽为，则它的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
根据长方形的面积等于长乘以宽列出算式计算即可．
【详解】解：由题意得它的长为，
故答案为：．
14. 如图，在中，，是的一条角平分线，若，则点D到的距离为_____．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，比较简单．
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点到的距离长为等于的长，进行解答即可．
【详解】解：过作于，
∵是的角平分线，，
，
，
，
故答案为：6．
15. 已知a、b为等腰△ABC的边长，且满足，则的底边长是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根据绝对值和平方的意义求字母的值，等腰三角形的定义，三角形的三边关系等知识．先根据题意求出，再分b是腰，a是底和a是腰，b是底两种情况分类讨论，判断是否符合三边关系即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
又∵a，b是等腰的两边长，
∴当b是腰，a是底时，三边长分别为：11，11，5，
∴该等腰三角形的底边长是：5；
当a是腰，b是底时，三边长分别为：5，5，11，
∵，
∴不满足三角形三边关系，应舍去．
故答案为：5．
16. 如图，在中，，，点P是边上一动点，连接，在AP的上方作等边三角形，则周长的最小值为 _______．
【答案】30
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的定义，垂线段最短，三角形的面积公式等知识．根据等边三角形的定义得到周长，过点A作于点，根据“垂线段最短”得到周长的最小值为，根据三角形面积公式得到，即可求出的最小值为30．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∴周长，
过点A作于点，
则，
∴周长的最小值为，
∵，，
∴，
解得，
∴的最小值为30．
故答案为：30
三、解答题（共7道题，计52分，解答要写出过程）
17. （1）；
（2） ．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题考查有理数的混合运算，幂的乘方，同底数幂的乘除法，解题的关键是掌握运算法则和公式的运用．
（1）根据正整数指数幂，零指数幂的定义计算即可；
（2）先计算乘方，再根据同底数幂的乘除法计算即可．
详解】解：（1）原式
；
（2）原式

．
18. 如图，在中，，是边上的高．请用尺规作图法，在上求作一点P使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】详见解析
【解析】
【分析】本题考查作图一复杂作图，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．根据线段的垂直平分线的作法作线段的垂直平分线，交于点P即可．
【详解】解：如图，作线段的垂直平分线，交于点P，则点P即为所求，
则．
∵，
∴为等腰三角形，
∴垂直平分，
∴，
即．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，2029
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式以及单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再求出，最后利用整体代入法求解即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
20. 已知：如图，，，．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出，然后证明，证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴
即
在与中
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
21. 小明在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：∵，，
∴，，
∴．
∴．
（1）若，，求的值．
（2）请同学们根据上面解题思路与方法，结合几何图形解决下列问题：如图，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形，设，两个正方形的面积和为52，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了根据完全平方公式变形求解等知识．
（1）先根据题意得到，进一步得到，根据整体思想即可求出；
（2）设，由题意得，求出，根据三角形面积公式即可求出．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：设，
由题意得，
∴，
∴，
∴，
∴．
22. 小玲和弟弟小亮分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用．小亮骑自行车以的速度直接回家，两人离家的路程y（）与各自离开出发地的时间x（）之间的图象关系如图所示．
（1）家与图书馆之间的路程为 ，小玲步行的速度为 ；
（2）求小玲和弟弟小亮途中相遇的时间．
【答案】（1）4000，100
（2）小玲和弟弟小亮于二人出发后时在途中相遇
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握速度、时间、路程之间的数量关系是解题的关键．
（1）根据图象和“速度=路程时间”计算即可；
（2）根据“小亮离家的路程=家与图书馆的距离-小亮与图书馆的距离”写出他离家的路程与时间的关系式，并将代入求出他到家的时间；根据“路程速度时间”求出当和时，小玲离家的路程与时间的关系式；当二人相遇时，二人的函数值相等，列方程并求解即可．
【小问1详解】
解：由图象可知，家与图书馆之间的路程为，
步行的速度为．
故答案为：4000，100．
【小问2详解】
小亮离家的路程与时间的关系为，
当时，得，
解得：，
∴小亮离家的路程与时间的关系为．
当时，小玲跑步的速度为，
其离家的路程与时间的关系为，
当时，
小玲离家的路程与时间的关系为；
∴小玲离家的路程与时间的关系为
，
当时，若二人在此期间相遇，根据二人离家的距离相等，
得，
解得，
∴小玲和弟弟小亮于二人出发后时途中相遇．
23. 发现问题
（1）已知，如图①，在四边形中，E在上，，，若，，则 ．
探究问题
（2）如图②，已知长方形的周长为36，，点E为边上一点，分别交于点G，交于点F，且，求四边形的面积．
解决问题
（3）如图③，中，，，，，以为边在其左上方作正方形，垂直于延长线于点D，连接，M、N分别为上两动点，连接，，，当的值最小时，求多边形的面积．（注：四边相等，四个角是直角的四边形是正方形，正方形是轴对称图形，对角线是其一条对称轴）
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题考查三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、利用轴对称性质求最值等知识，利用全等三角形的性质求解是解答的关键．
（1）根据三角形内角和定理证得，再证明得到即可求解；
（2）先求得，再证明得到，，由求解即可；
（3）连接，由题意知B、F关于对称，则，当F、M、N在同一直线上等号成立，且当时，最小，此时四边形是矩形，则，，证明得到，，则，，由求解即可．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：7；
（2）∵长方形的周长为36，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即四边形的面积为48；
（3）连接，如图，
由题意知B、F关于对称，
∴，
∴，
当F、M、N在同一直线上等号成立，且当时，最小，此时四边形是矩形，，，
∵，，
由（2）可知，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
则，，
即当最小时，多边形的面积为：，
∴多边形的面积为144．
x
0
1
y
1
3