重庆市万州区万州高级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意：
1．请将答案作答在答题卡规定的区域，不得在试卷上作答．
2．客观题用2B铅笔填涂，主观题用黑色签字笔书写，不能用铅笔、圆珠笔书写．
一、单选题（每小题4分，共40分）
1. 下列各式：中，是分式的共有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的定义：形如， A、B是整式，且B中含有字母，这样的式子叫做分式．注意是常数，不是字母．
【详解】解：在中，分式有，共2个．
故选B．
2. 对于分式，下列变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质进行计算，即可解答．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
3. 已知m、n是实数，且，那么点在第（ ）象限．
A. 一B. 二C. 三D. 四
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，根据点的坐标判断其所在的象限，解题的关键在于能够准确求出m、n的值．先根据绝对值和平方的非负性求出m、n的值，然后判断其所在的象限即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
∴点第四象限，
故选D．
4. 李老师每天早上都去公园锻炼，他从家里步行到公园，在公园里打太极拳锻炼身体，然后步行回家，在这个过程中，李老师和家的距离y与时间x的对应图像大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据在每段中，离家的距离随时间的变化情况即可进行判断．
【详解】解：图象应分三个阶段，第一阶段：步行到离家较远的公园，在这个阶段，离家的距离随时间的增大而增大，故选项A、B不符合题意；
第二阶段：打了一会儿太极拳，这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变；
第三阶段：跑步回家，这一阶段，离家的距离随时间的增大而减小，故选项C不符合题意，并且这段的速度大于第一阶段的速度，则选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查函数图象问题，理解每阶段中，离家的距离与时间的关系，根据图象的倾斜度判断运动的速度是解决本题的关键．
5. 已知一次函数的图象如图所示，则的图象一定不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，根据函数的图象可得k、b的符号，进而判断出函数的图象经过的象限，得出不过的象限．
【详解】解：由函数的图象过一、三、四象限，可知，，
于是：的图象应该过二、三、四象限，不过第一象限，
故选：A．
6. 关于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A. 图象过点
B. 其图象可由的图象向上平移3个单位长度得到
C. 随的增大而增大
D. 图象经过一、二、三象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案．
【详解】解：对于一次函数，
当时，，因此图象不经过点，故A选项结论错误；
的图象向上平移3个单位长度得到的图象，故B选项结论正确；
，因此随的增大而减小，故C选项结论错误；
图象经过一、二、四象限，故D选项结论错误；
故选B．
7. 若关于的方程无解，则的值为（ ）
A. 或B. 0或5C. 或5D. 0或
【答案】A
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行求解即可.掌握分式方程无解的条件，是解题的关键.
【详解】解：两边同时乘得：
整理得：
当时，，此时方程无解
当时，
此时时，方程无解，
即：或
当时，，即;
当时，，此时不成立;
综上，或，
故选：A．
8. 已知反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，对于反比例函数，当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，据此求解即可．
【详解】解：∵反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，
∴，
∴，
故选：D．
9. 如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，…，观察每次变换前后的三角形的变化规律，找出规律，推测的坐标分别是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图中各点的坐标的变化，依次写出，．再根据点的坐标变化的特点写出的坐标即可．
【详解】解：，
；
，
；
故选：D．
【点睛】此题考查了坐标与图形的变化，正确写出前几个点的坐标、找出坐标变化的规律是解答此题的关键．
10. 一列数，，，……满足，，，……以此类推，且规定：，，，……，其中m为正整数，则以下说法中正确的有（ ）
①
②当时，
③若恒成立，则
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式的规律性问题；
①根据题意求出，再根据和之间的关系求和即可；②根据题意求出，表示出，然后计算时的值即可；③根据得出，移项得，求出的最值，即可得到m的取值范围．
【详解】解：①由题意得：，，，…，
∴，
∴，
∴，正确；
②由题意得：，
，
，…，
∴，
∴
，
∴当时，，错误；
③∵，恒成立，
∴恒成立，即，
∵，
∴，正确；
综上，正确的有2个，
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共32分）
11. 分式，则x的值是____________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查分式值为零，解题的关键是熟练掌握分式值为零的条件：分子为零，分母不为零．
【详解】解：∵，
∴，解得，
故答案为：．
12. 若代数式有意义，则x的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数和分母是解题的关键．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，解得，
故答案为：．
13. 一次函数中，当时，；当时，，则一次函数解析式为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，能得出关于k、b的方程组是解此题的关键．
【详解】解：设一次函数解析式为：，代入得：
，解得，
∴一次函数解析式为，
故答案为：．
14. 若，则分式的值为______．
【答案】##0.125
【解析】
【分析】取原式倒数，可得，再取原式的倒数并变形得：，最后代入求值即可．
【详解】解：由得，
∴，
而，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算法则是解答此题的关键．
15. 如图，一次函数与一次函数的图像交于点，则关于x的不等式的解集是______．

【答案】
【解析】
【分析】图象法解不等式即可．
【详解】解：由图象可知，时，直线在直线的上方，
∴不等式的解集为；
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式．解题的关键是掌握图象法解不等式．
16. 若数使关于的不等式组的解集为，且使关于的分式方程的解为负数，则符合条件的所有整数的和为_______．
【答案】
【解析】
【分析】先由一元一次不等式组的解集确定，，再由分式方程的解得情况确定且，，从而确定符合条件的a的值，然后求和．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵关于的不等式组的解集为，
∴，解得，
解分式方程得且，
∵关于的分式方程的解为负数，
∴，解得且，
综上，且，
∴符合条件的所有整数的和为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握一元一次不等式组的解法、分式方程的解法是解决本题的关键．
17. 如图，反比例函数的图象上有一点，轴于点，点为直线上一点，连接，，若的面积是6，则的值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征．设直线与轴的交点为，连接，则，根据题意得到，，利用同底等高的两个三角形面积相等得到，即，解得值即可．
【详解】解：设直线与轴的交点为，连接，则，
反比例函数的图象上有一点，轴于点，
，
，，
轴于点，
∴轴，
的面积是6，
，
，
．
故答案为：8．
18. 对于任一个四位正整数，若各个数位上的数字均不相等，且满足千位数字与十位数字之差等于百位数字与个位数字之差等于3，则称为“吉安数”，例如：，∵且，是“吉安数”．若一个正整数是另外一个正整数的平方，则称正整数为完全平方数，例如：，则4为完全平方数．若一个“吉安数”为，则这个数为______；若是“吉安数”，记，当是一个完全平方数时，则满足条件的“吉安数”的最大值为______
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据“吉安数”的概念列方程求出a的值，进而求出这个数；首先根据题意设，然后根据“吉安数”的概念求解判断即可．
【详解】∵一个“吉安数”为，
∴
解得，
∴这个数为；
∵是一个完全平方数
∴设，x是正整数，
∴
当时，
∵若是“吉安数”，是一个四位正整数
∴不符合题意，应舍去，
∴当时，
∵，
∴9461是一个“吉安数”，
∴满足条件的“吉安数”的最大值为9461．
故答案为：，．
【点睛】此题主要考查了新定义的理解和掌握，熟记“吉安数”的概念是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，第19题8分，其余每小题10分）
19. （1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）；（2）无解
【解析】
【分析】本题考查实数混合运算和解分式方程，掌握负整数指数次幂的运算和分式方程的解法是解题的关键．
（1）先去绝对值，计算零指数次幂，立方根和负整数指数次幂，然后合并解题即可；
（2）先去分母转化为整式方程，解整式方程并验根即可解题．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：

经检验：是原方程的增根，
∴原方程无解．
20. 如图，在中，点D为边上的中点，连接．

（1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，连接，求证：．（请补全下面的证明过程）
证明：∵点D为边上的中点，
∴，（ ① ）
在和中，
∴（ ② ）
∴ ③ ，
在和中
∴（ ④ ）
∴，
∴（ ⑤ ）．
【答案】（1）见解析 （2）①线段中点的定义；②；③，④；⑤内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】（1）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可；
（2）先证明 得到，再证明 得到，由此即可证明．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
证明：∵点D为边上的中点，
∴，（线段中点的定义）
在和中，
∴
∴，
在和中
，
∴
∴，
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：①线段中点的定义；②；③，④；⑤内错角相等，两直线平行
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，作与已知角相等的角的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键．
21 先化简，再求值：其中．
【答案】原式，；
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号里算式，再分解因式约分，化到最简代入求解即可得到答案；
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出一次函数时，自变量的取值范围；
（3）点P为反比例函数图象上第一象限的一点，若，求P点坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）P点坐标
【解析】
分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合：
（1）先把点A坐标代入一次函数解析式中求出点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可；
（2）借助图象得到时自变量的取值范围即可；
（3）先求出点C坐标，进而求出的面积，进而根据三角形面积公式求出点P的纵坐标即可得到答案．
【小问1详解】
∵点在图象上
∴，
∴，点A在上，
，
∴反比例函数的解析式；
【小问2详解】
∵在上，
∴
根据图象可得，当或，时；
【小问3详解】
∵与x轴相交点C，
∴，，
设P在第一象限反比例的坐标，
，
，，
∴P点坐标．
23. 阳春三月催新芽，植树造林正当时，为提升人们的环保意识，传播普及“植绿、护绿、爱绿”的生态文明意识，同时又为大家创造亲身体验劳动的乐趣，感受美化环境的意义．开心农场在3月初推出了植树活动．农场购入甲、乙两种树苗，购买甲种树苗花费了4000元，购买乙种树苗花费了5400元，已知购买一棵甲种树苗比购买一棵乙种树苗多花4元，且购买的乙种树苗的数量是购买的甲种树苗的数量的1.5倍．
（1）求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元？
（2）适逢植树节在周末，且天气晴好，不断有客户预约参加植树活动，于是农场决定第二次购入甲、乙两种树苗共300棵．在第二次购买中，一棵甲种树苗的价格比第一次购买时的价格降低了12.5%，一棵乙种树苗的价格比第一次购买时的价格减少了4元．如果第二次购买甲、乙两种树苗的总费用不超过10000元，那么该农场第二次最多可购买甲种树苗多少棵？
【答案】（1）购买一棵甲种树苗需要40元，购买一棵乙种树苗需要36元；（2）该农场第二次最多可购买甲种树苗133棵．
【解析】
【分析】（1）设购买一棵乙种树苗需要x元，则购买一棵甲种树苗需要(x＋4)元，根据“购买的乙种树苗的数量是购买的甲种树苗的数量的1.5倍”，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；
（2）设设该农场第二次购买甲种树苗y棵，则购买乙种树苗（300－y）棵，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过10000元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】解：（1）设购买一棵乙种树苗需要x元，则购买一棵甲种树苗需要(x＋4)元，
由题意，得：，
解得：x＝36，
经检验：x＝36是原方程的解，
∴x＋4＝40，
答：购买一棵甲种树苗需要40元，购买一棵乙种树苗需要36元；
（2）40×（1－12.5%）＝35（元），
36－4＝32（元），
设该农场第二次可购买甲种树苗y棵，
由题意，得：35y＋32（300－y）≤10000，
解得：y≤，
∴y的最大整数值为133，
答：该农场第二次最多可购买甲种树苗133棵．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24. 如图，是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．

（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．
【答案】（1）当时，；当时，；
（2）图象见解析，当时，y随x的增大而增大
（3）t的值为3或
【解析】
【分析】（1）分两种情况：当时，根据等边三角形的性质解答；当时，利用周长减去即可；
（2）在直角坐标系中描点连线即可；
（3）利用分别求解即可．
【小问1详解】
解：当时，
连接，

由题意得，，
∴是等边三角形，
∴；
当时，；
【小问2详解】
函数图象如图：

当时，y随t的增大而增大；
【小问3详解】
当时，即；
当时，即，解得，
故t的值为3或．
【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点问题是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点A在x轴上，，，且、，交y轴于M，
（1）求点C的坐标；
（2）在x轴上有一动点P，当的值最小时，求此时P的坐标．
（3）点N为x轴上一动点，若，求点N的坐标；
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）过点C、B作轴，轴，垂足点D、E．构造一线三直角全等模型，结合线段与坐标的关系，计算解答即可．
（2）运用轴对称原理，构造轴对称计算的最小值即可．
（3）设，则，根据题意，得，结合，建立等式计算即可．
【小问1详解】
过点C、B作轴，轴，垂足点D、E．
，，
∴，
∴，
∵、，
∴，，
∴，，
∴，，
∵点C在第二象限，
故．
【小问2详解】
作B关于x轴的对称点，连接交x轴点P，此时，最小，
∵，
∴，
设直线的解析式为，根据题意，得
，
解得，
故解析式为，
故；
设直线的解析式为，根据题意，得
，
解得，
故解析式为，
当时，，
故．
【小问3详解】
∵、，
设，则，，
∴，
∵，，且、，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴或，
故或．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一线三直角全等模型，线段和最小计算，两点间距离公式的应用，绝对值的应用，熟练掌握待定系数法，一线三直角全等模型，线段和最小计算是解题的关键．
26. 在中，，点D是边上一动点，点E是直线上的点，且．
（1）如图1，若，，且，求线段的长；
（2）如图2，若，的延长线交的延长线于点F，求证：；
（3）如图3，若，且，过点C作交的延长线于点M，连接，点N为线段的中点，连接，，当最小时，直接写出的面积．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，然后在等腰中求的长；
（2）在的延长线上截取，连接，设，求出，则四点在以为直径的圆上，进而得到解题即可；
（3）先证明得到，由轴对称可以得到作点B关于 的对称点，连，交于点N，这时最小，解题即可求出．
【小问1详解】
解：∵，
∴
∵，，
∴
∴
在中，
∴
∴；
【小问2详解】
证明：在的延长线上截取，连接，
设，则，，
在中，，
∴，
又∵
∴，
∴，
又∵
∴四点在以为直径的圆上，
∴
∴
∴
【小问3详解】
解：∵，
∴
即
，
∴，
又∵，
∴
∴，
∴
作点B关于 的对称点，连，交于点N，这时最小，过点C作于点H，
则
，
∴
∴，即
解得：
点N为线段的中点，
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题考查勾股定理，圆内接四边形，全等三角形的判定与性质，轴对称等知识，截长或补短是解决线段和等于一条线段的方法，综合运用以上性质是解题的关键．