重庆市礼嘉中学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份重庆市礼嘉中学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共6页。试卷主要包含了以下命题错误的是等内容，欢迎下载使用。

(全卷满分150分，考试时间：120分钟)
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项。
3.作答时务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若向量a=1,2,b=2,4,则下列正确的是()
A.a2.已知复数z满足iz=3+2i,则其共轭复数z在复平面内对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.已知向量a,b满足a=1,b=23,a与b的夹角的余弦值为sin17π3,则b⋅2a−b等于()
A.2 B.−1 C.−6 D.−18
4.(原创)礼嘉智慧公园是重庆建设“智造重镇”打造“智慧名城”的风景眼。公园内有一个休闲湖，紧邻湖的两侧有一个艺趣馆和一个5G馆，如图，设艺趣馆在A处，5G馆在B处，为测量A,B两地之间的距离，某同学选定了与A,B不共线的C处点，构成△ABC,以下是测量的数据的不同方案：①测量∠A,∠B,∠C;②测量∠A,∠B,BC;③测量∠A,AC,BC;④测量∠C,AC,BC.其中要求能唯一确定A,B两地之间距离，该同学可以选择的方案的序号为()
A.①② B.②③ C.②④ D.②③④
5.对于两条直线m,n和平面α,下列命题中正确的是()
A.如果m⊂α,n∉α,m,n是异面直线，那么n//α
B.如果m⊂α,n//α,m,n共面，那么m//n
C.如果m//α,n//α,m,n共面，那么m//n
D.如果m⊂α,n∉α,m,n是异面直线，那么n与α相交
6.已知一个圆锥的高为6，底面半径为3，现在用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，得到一个高为2的圆台，则这个圆台的体积为()
A.263π B.383π C.26π D.38π
7.在△ABC中，若sinA2+3csB2=22,csA2+3sinB2=2,则csC=()
A.−79 B.−19 C.23 D.89
8、“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是M内△ABC一点，△BMC,△AMC,△AMB的面积分别为SA,SB,SC,且SA⋅MA+SB⋅MB+SC⋅MC=0.以下命题错误的是()
A.若SA:SB:SC=1::1,则M为△AMC的重心
B.若M为△ABC的内心，则BC⋅MA+AC⋅MB+AB⋅MC=0
C.若∠BAC=45∘,∠ABC=60∘,M为△ABC的外心，则SA:SB:SC=3:2:1
D.若M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0,则cs∠AMB=−66
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数z1,z2,则下列结论正确的是()
A.若z1=z2,则z12=z22 B.若z12+z22=0,则z1=z2=0
C.z1z2=z1z2 D.z1⋅z2=
10.(改编)对于ΔABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c.则下列说法正确的有()
A.若sinA=sinB,则△ABC为等腰三角形B.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形
C.若a+b<2c,则π30,则△ABC为锐角三角形
11.窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是()
A.OA+OC=3OB
B.PA⋅PB的最大值为12+82
C.在AGAB方向上的投影向量为−AB2
D.若函数fx=AD−xAB,则函数fx的最小值为2+2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的斜二测直观图，若O′A′=3,
OB′=4,则△OAB的面积为 .
13.(原创)已知△ABC的内角A,B,c的对边分别为a,b,c,若a=8,b=9,c=7.则BC边上
的中线AM的长为 .
14.已知四棱锥P−ABCD的外接球O的体积为36π,PA=3,侧棱PA与底面ABCD垂直，四边
形ABCD为矩形，若M是四棱锥P−ABCD的外接球上的动点.则四棱锥M−ABCD体积的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，
15.(原创)(13分)已知向量a=−3,1,b=x2
(1)若a⊥a+b,求a−b;
(2)若c=−12,1,c//b,求3a−b⋅b+2c
16.(改编)(15分)如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2,AA1=3,
点D为AC的中点.
(1)求证：B1C//平面A1BD;
(2)求三棱锥B1−A1BD的体积V.
17.(原创)(15分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.点在b,c一次函数
y=x3+acsB3csA图像上.
(1)求csA的值：
(2)如图所示，点D是边BC上靠近C的三等分点，且S△ABD=823,a=3,求b+c.
18.(改编)(17分)如图所示，在平行四边形ABCD中，AE=34AB.记AD=a,AC=b.
(1)用向量a,b表示向量AE和DE;
(2)若AD=AE=3,且AC⋅DE=112,求cs.
19.(17分)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120∘时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120∘的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120∘时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且设点为P△ABC的费马点
(1)若a2+c2−b2=3,2sinBsinC+π3=3sinA.
①求角B:
②求PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA.
(2)若cs2B+cs2C−cs2A=1,PB+PC=tPA,求实数t的最小值，