2024年湖北省宜昌市宜都市中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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（本试卷共24题，满分120分，考试时间120分钟）
注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案写在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷上无效．考试结束，只交答题卡．
参考公式：一元二次方程的求根公式是，二次函数图象的顶点坐标，弧长，．
一、选择题（下列各题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号．每题3分，计30分．）
1. 实数的绝对值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了实数的性质，利用绝对值的意义是解题关键．根据绝对值的意义，可得答案．
【详解】解：，
故选：A．
2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查立体图形的三视图，根据三视图的特点，知道俯视图从图形的上面看，看到一个矩形的面，在面上有水平线段，得到结果．
【详解】解：俯视图从图形的上面看，看到一个矩形的面，在面上有水平线段，
故选：B．
3. 计算的结果是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查积的乘方和同底数幂的乘法，运用积的乘方和同底数幂的乘法法则求出结果再判断即可
【详解】解：
，
故选：C
4. 新开业的“宜都万达广场”吸引了众多市民前来购物，广场共有3个出入口，市民甲和乙在广场购物后恰好从同一出入口走出的概率是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了列举法求概率，根据题意画树状图，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：设三个出入口分别是C、D、E画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中他们恰好从同一出口走出的结果有3种，
∴他们恰好从同一出口走出的概率是，
故选：A．
5. 2023年中国汽车出口量首次达到全球第一，如图是2021年和2023年新能源汽车占中国出口汽车总量比值的扇形统计图，设2021年至2023年新能源汽车在总出口汽车的占比的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用2023年新能源汽车在总出口汽车的占比=2021年新能源汽车在总出口汽车的占比年至2023年新能源汽车在总出口汽车的占比的年平均增长率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
故选：C．
6. 2024年1月17日，国家统计局发布数据显示，2023年全年出生人口902万人，低于2022年的956万，该数据为连续第7年下降，也是1949年以来的最低水平，进一步延续下降趋势，其中数据902万用科学记数法表示为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，掌握表示形式为的形式，其中，为整数是关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：万．
故选：B．
7. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误.
故选B.
【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
8. 船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”的大小关系为（ ）．
A. B.
C. D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理和三角形外角性质，设与圆交于点D，连接，证明即可．
【详解】解：设与圆交于点D，连接，
∴，，
∴，
故选：B．
9. 如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为的正方形，且每一个侧面与地面成角，则金字塔原来高度为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．根据底部是边长为的正方形求出的长，再由锐角三角函数的定义求出的长即可．
【详解】解：如图所示
∵底部是边长为的正方形，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
10. 对于反比例函数，给出下列结论：①其图像经过点；②其图像与直线一定有两个交点；③当时，y的取值范围是；④若，是其图像上的两点，且，则点A，B一定不在同一象限．
其中正确的选项是（ ）．
A. ①②B. ①②③C. ②③④D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数图像上点的坐标特点及函数的增减性进行逐一分析解答．
【详解】解：①当时，，所以，其图像经过点，故①正确，
②令，整理得，此时，其图像与直线一定有两个交点，故②正确，
③当时，y的取值范围是或；故③错误；
④，
∴在每一个象限内，随的增大而减小，
当，时，，此时点A，B在同一象限；当，时，，此时点A，B一定不在同一象限，故④正确；
∴正确的是①②④，
故选：D
二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置，每题3分，计15分．）
11. 计算的结果为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数运算，解题关键是掌握负指数和零指数幂的运算，先求负指数和零指数幂，再相减即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：3．
12. 已知a，b是方程的两个根，则式子的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，再把所求式子变形为，即可利用整体代入法代值计算得到答案．
【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根，
∴，
∴
，
故答案为：．
13. 如图，一个弹簧不挂重物时长10，挂上重物后，在弹性以内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比，弹簧总长y（单位：）关于所挂物体质量x（单位：）的函数图象如图所示，则图中a的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，正确应用函数与方程的关系是解题关键．
设一次函数的解析式：，用待定系数法求出解析式，再把代入计算即可．
【详解】解：设一次函数的解析式：，
把，代入，
得，
解得，
，
把代入，
得，
故答案为：．
14. 农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题，为了解甲、乙两种玉米的相关情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到数据如图，则甲、乙两种甜玉米产量的方差大小关系为________．（填“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了统计图和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．从图中数据的波动情况分析，即可求解．
【详解】解：从图中看到，乙的波动比甲的波动小，
乙的产量比较稳定，
，
故答案为：．
15. 已知：点P是矩形边延长线上一点，将沿着折叠得到，分别与，交于点E，F，若，，当E是中点时，折痕的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查矩形与折叠，全等三角形判定与性质，勾股定理等知识，设，根据证明，得 ，由折叠得，求出，在中由勾股定理可求出，在中由勾股定理可求出
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴
∴
由折叠得，
∴
∴
∵点为的中点，
∴
又
∴
∴，
设则有：
∴
在中，，
∴
解得，或（舍去）
∴
在中，，
∴，
故答案为：
三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置．本大题共有9题，计75分．）
16. 先化简，再求值，其中．
【答案】，1
【解析】
【分析】先算分式乘法和括号里的加法，再把所得分式相减，最后代入求值即可．
【详解】解：原式=
=
=，
当时，原式=．
【点睛】本题主要考查分式化简求值，熟练掌握分式的通分和约分，是解题的关键．
17. 解不等式组：请按下列步骤完成解答．
（Ⅰ）解不等式①，得________；
（Ⅱ）解不等式②，得________；
（III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（IV）原不等式组的解集是________．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ），（III）见解析，（IV）
【解析】
【分析】本题考查了解不等式组，按照解不等式组的步骤计算即可．
【详解】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

原不等式组的解集是，
故答案为：，，．
18. 已知：甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球比赛．
（1）若四位选手进行单循环（即每位选手与其他选手打一场比赛）单打比赛，一共要打多少场比赛；
（2）若四位选手进行双打比赛，求甲、乙两位同学配对的概率．
【答案】（1）一共要打6场比赛
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查列举法求概率：
（1）运用列举法列出所有情况即可；
（2）运用列举法列出所有配对情况，再根据概率公式求解即可
【小问1详解】
解：四位选手进行单循环比赛的情况为：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁）共6种情况；
所以，一共要打6场比赛
【小问2详解】
解：甲、乙、丙、丁4位同学共有6种配对情况：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），其中甲、乙两位同学配对的有1种，
所以，甲、乙两位同学配对的概率．
19. 已知：为矩形对角线．根据下面尺规作图得到的条件解答后面的问题．作法：分别以点A，C为圆心，以大于的长度为半径画弧交于点M，N，作直线，分别交边，于点E，F，连接，．
（1）判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）菱形，理由见解析
（2）20
【解析】
【分析】本题主要考查菱形的判定与性质,相似三角形的判定与 ：
（1）由作图，结合垂直平分线的性质，可得，从而证明四边形是菱形；
（2）证明，求出的长，根据菱形的性质可得结论
【小问1详解】
解：由作图得，是的垂直平分线，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：如图，设交于点O
在矩形中，
∴,
∵四边形是菱形，
∴，
∴
又
∴，
∴
∴，
∴四边形的面积．
20. 2020年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，各地各校积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育心功能，某校体育组随机抽查了该校10名八年级男生引体向上个数，并对数据进行统计分析，过程如下：
收集数据：引体向上（单位：个）
2 6 3 a 5 b 4 7 5 4
分析数据：
请结合以上信息回答下列问题：
（1）数据统计完成后，体育组发现有两个数据不小心丢失了，请根据表中信息找回这两个数据，若，分别求出a和b；
（2）某同学说：“我的成绩在班级排中等，所以我的成绩一定达到平均数．”以本次统计结果为样本分析，他的说法正确吗？请说明理由；
（3）该校共有2000名学生，其中八年级男生占比为，根据国家中小学体育测评评分标准，八年级男生引体向上达到5个及以上为达标．根据调查结果，请估计该校八年级男生引体向上达标的人数．
【答案】（1）4，8 （2）说法是错误的，理由见解析
（3）估计该校八年级男生引体向上达标的有200人
【解析】
【分析】本题考查中位数、众数、平均数以及用样本估计总体，
（1）根据众数的定义确定a的值，再由平均数、中位数确定b的值即可；
（2）求出样本的中位数，与样本的平均数进行比较即可；
（3）计算出八年级男生数，再用样本估计总体可得结论
【小问1详解】
解：样本中4，5都出现2次，若这组数据的众数是4，因此漏掉的两个数中必有一个是4，
当时
这10个数的平均数是4.8，因此漏掉的另一个数，
而，因此，
当时。，此时，不符合题意，
综上，，，
故答案为：4，8；
【小问2详解】
解：这位同学的说法是错误的，理由如下：
10个数据按大小顺序排列为：2，3，4，4，4，5，5，6，7，8，
所以，中位数为：，而平均数是4.8，
所以，这位同学的说法是错误的，
【小问3详解】
解：八年级男生人数为：（人）
八年级男生引体向上达标的人数为：（人）
所以，估计该校八年级男生引体向上达标的有200人
21. 已知：是的直径，C为上一点，将绕着点B逆时针旋转一定的角度得到，交于E点，若点D在上，连接交于点F．
（1）直接判断与的位置关系；
（2）求证：；
（3）若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了圆周角的性质和垂径定理，解题关键是根据旋转得出所在的圆与是等圆，再根据圆的相关性质推理即可．
（1）根据弧相等所对的弦也相等得出，进而得出点B是中点，得出；
（2）根据圆周角相等，得出，，再根据垂直可证；
（3）由（2）可证弓形和弓形的面积相等，阴影部分的面积就是三角形的面积，利用，求解即可．
【小问1详解】
解：
将绕着点B逆时针旋转一定的角度得到，交于E点，所以所在的圆与是等圆，连接
∴，
∴点B是中点，
∵是的直径，
∴；
【小问2详解】
证明：连接，
∵，所在的圆与是等圆，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：由（2）得，，所在的圆与是等圆，
所以弓形和弓形的面积相等，阴影部分的面积就是三角形的面积，
连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
所以三角形的面积=，
阴影面积为：
22. 一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表：
已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位：）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系．而滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度．
（1）直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围；
（2）求飞机滑行的最远距离；
（3）当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，求此时飞机的滑行速度；
（4）若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方有一辆通勤车正以的速度匀速同向行驶，试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？
【答案】（1）
（2）飞机滑行的最远距离为
（3）此时飞机的滑行速度是
（4）飞机滑行过程中没有碰撞通勤车危险
【解析】
【分析】本题考查待定系数法确定函数解析式，求函数值、求自变量值；理解函数与方程的联系是解题的关键．
（1）设y关于t的函数解析式为，利用待定系数法求解，令，即可求出t的取值范围即可；
（2）根据滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度，代入数值计算即可求解；
（3）根据行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度，即，建立关于t的一元二次方程即可求解；
（4）设飞机滑行的距离为，求出飞机滑行的距离与时间t的关系式，由飞机滑行的时间内，根据通勤车与飞机之间的距离，建立关于t的方程，在飞机滑行的时间内，看飞机能否追上通勤车即可得出结论．
【小问1详解】
解：设y关于t的函数解析式为，
将代入，得：，
解得：，
y关于t的函数解析式为，
当时，则，
解得，
y关于t的函数解析式；
【小问2详解】
解：根据题意：飞机滑行的最远距离为，
答：飞机滑行的最远距离为；
【小问3详解】
解：，，
，即，
解得：或（舍去），
答：此时飞机的滑行速度是；
【小问4详解】
解：设飞机滑行的距离为，
则飞机滑行的距离与时间t的关系式为：，
通勤车与飞机之间的距离为：，
令通勤车与飞机之间的距离0，则，即，
，
方程无解，
在飞机滑行的时间内，飞机不会撞上通勤车，
飞机滑行过程中没有碰撞通勤车危险．
23. 【问题背景】（1）如图1，中，若，和相交于点，求证：．
【尝试运用】（2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长，分别与，交于点，求证：．
【拓展提升】（3）如图3，已知锐角中，，，是高，点是上的一动点，点是点关于的对称点，过点作的平行线与边交于点、与边交于点，连接并延长交边于，连接并延长交边于．求的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）证明得出，证明，得出，即得证；
（2）证明得出，同理可得：，证明，得出，从而得出，同理得出，由得：，即可得证；
（3）设，则，由等腰直角三角形的性质可得，证明得出，设，则，，证明得出，求出，，，即可得出，再由一次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
同理可得：，
由（1）可得，
，
，
，
，
，
同理可得，
，
由得：，
，
；
（3）解：是高，
，
，
，
，
设，则，
，
为等腰直角三角形，
，
点是点关于的对称点，
，
，
，
，
，
设，则，
在上，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值随着的增大而增大，
，
当时，有最大值，为．
【点睛】本题考查了相似三角形判定与性质、解直角三角形、等腰直角三角形的性质、一次函数的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，证明三角形相似是解此题的关键．
24. 如图1，在坐标平面内的与y轴相切于点C，与x轴相交于点A，B，点P的坐标为．
（1）的半径为________；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（3）若点Q是x轴上一点，且，求点Q的坐标；
（4）如图2，G是点A右侧抛物线上一点，直线交y轴于点E，直线交抛物线于另一点H，直线交y轴于点F，点G的横坐标为m．直接写出的值（用含m 的式子表示）．
【答案】（1）
（2）
（3）或
（4）
【解析】
【分析】（1）连接，由题意得轴，且为的半径，根据点P的坐标即可求解；
（2）连接，设与x轴的交点坐标为，根据的半径可求得，据此即可求解；
（3）连接，作，可推出，故①点与点重合;或②，据此即可求解；
（4）设过点的直线解析式为：，由得，可推出，得;设直线的解析式为：，同理可得：推出，即可求解；
【小问1详解】
解：连接，如图所示：
由题意得：轴，且为的半径，
∵点P的坐标为．
∴的半径为,
故答案为：
【小问2详解】
解：连接，如图所示：
设与x轴的交点坐标为，
则，
解得：
∴
设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为：，
由（1）得：
将代入得：，
解得：
∴
【小问3详解】
解：连接，作，
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∵点Qx轴上一点，且，
∴①点与点重合，此时;
②作，
则平分
∴
设，
则
解得：（舍去）
∴
综上所述：或
【小问4详解】
解：设过点的直线解析式为：，
由得：，
则
∵
∴
∴
设直线的解析式为：，
同理可得：
∴
即：
∴，
∴
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数、圆的综合问题，涉及了待定系数法求解析式、切线的性质、圆周角定理、一元二次方程根与系数的关系等知识点，综合性较强，难度较大，需要学生具备扎实的基础．统计量
平均数
众数
数据
4.8
4
滑行时间
0
1
2
3
4
滑行速度
60
57
54
51
48