浙江省宁波市2024年中考数学模拟试卷（探花卷）附解析

这是一份浙江省宁波市2024年中考数学模拟试卷（探花卷）附解析，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．春节期间冰雪旅游大热，杭州的小明同学准备去旅游，考虑温差准备着装时，他查询气温，结果如图所示，杭州的气温是19℃，哈尔滨的气温是−14℃，则此刻两地的温差是( )
A．33℃B．19℃C．14℃D．5℃
2．光年是天文学上的一种距离单位，一光年指光在一年内走过的路程，约等于9460000000000km，数9460000000000可以用科学记数法表示为( )
A．9.46×1012B．94.6×1012C．0.946×1012D．9.46×1013
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2⋅a3=a6B．(−a3b)2=−a6b2
C．a6÷a3=a2D．(a2)3=a6
4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A．b0D．−a>b
5． 如图，已知l1//l2//l3，它们依次交直线l4、l5于点A、B、C和点D、E、F，如果DE：DF=3：5，AC=12，那么BC的长等于（ ）
A．2B．4C．245D．365
6．已知一组数据：3，4，4，5，如果再添加一个数据4，得到一组新的数据，这组新的数据的统计量会发生变化的是( )
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
7．如图，已知直线l//AB，∠A=2∠B.若∠1=118°，则∠2的度数为( )
A．31°B．36°C．62°D．72°
8．如图，AB，AC分别切⊙O于B，C两点，若∠OBC=26°，则∠A的度数为（ ）
A．32°B．52°C．64°D．72°
9．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠BAC<60°，点P为△ABC的重心.若BC=6，当点A到BC的距离最大时，线段PO的长为( )
A．1tan∠BAC−2sin∠BACB．2tan∠BAC−1sin∠BAC
C．tan∠BAC−2sin∠BACD．2tan∠BAC−sin∠BAC
10．如图，已知AC是矩形ABCD的对角线，以点D为旋转中心将△ADC逆时针旋转90°，得到△FDE，B，F，E三点恰好在同一条直线上，设AC与BE相交于点G，连结DG.有以下结论：①AC⊥BE；②△BCG∽△GAD；③F是线段CD的黄金分割点；④CG+2DG=EG.其中正确的是( )
A．①B．①③C．②④D．①③④
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11． 分解因式：mx2−my2= ．
12．已知二次根式3x+1的值为4，则x= ．
13．不透明的袋子里有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别.随机摸取两个球，恰好为一个红球一个白球的概率是 ．
14．若2x2−x−7=0，则x(x−3)+(x+1)2= ．
15．已知二次函数y=x2−4tx+3t的图象与x轴交于A(a,0)，B(b,0)两点，且满足−6≤a+b≤−4.当−3≤x≤−1时，该函数的最大值M与t满足的关系式是 ．
16．如图，矩形ABCD中，BC=9，点E为BC上一点，将△ABE沿着AE翻折得到△AFE，连结CF.若∠FEC=2∠FCE，且CF=6，则BE的长为 ，AB的长为 ．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．计算6÷(−12+13)，方方同学的计算过程如下，原式=6÷(−12)+6÷13=−12+18=6.请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．
18．端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如表：
八年级10名学生活动成绩统计表
已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是 ，七年级活动成绩的众数为 分；
（2）a＝ ，b＝ ；
（3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．
19．如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC、AB分别相交于点D、F，且DE=EF．
（1）求证：∠C=90°；
（2）当BC=3，csA=45时，求AF的长．
20．已知反比例函数y=kx(k≠0)，点(3,a)，(1,2a+1)都在该反比例函数图象上．
（1）求k的值；
（2）若点A(x1,y1)B(x2,y2)都在该反比例函数图象上；
①当y2=y1+6，点A和点B关于原点中心对称时，求点B坐标；
②当x1=3，y1+y2<0时，求x2的取值范围．
21．《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》.这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁.直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．
如图2，为测量海岛上一座山峰AH的高度，直立两根高2米的标杆BC和DE，两杆间距BD相距6米，D、B、H三点共线.从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，且仰角为45°；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A、E、G三点共线，且仰角为30°.(点F、G都在直线HB上)
（1）求FG的长(结果保留根号)；
（2）山峰高度AH的长(结果精确到0.1米).(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)
22．某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的.其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上，其横截面有2根支架DE，FG，相关数据如图1所示，其中支架DE=BC，OF=DF=BD，这个大棚用了400根支架．
为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米(接口忽略不计)，需要增加的经费不超过32000元．
（1）分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当CC'=1米，求GG'的长度．
（2）只考虑经费情况下，求出CC'的最大值．
23．综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在正方形ABCD中，E是对角线BD上的动点(与点B，D不重合)，连结AE，过点E作EF⊥AE，EG⊥BD，分别交直线BC于点F，G.请说明△ABE≌△FGE，并求EFAE的值．
（1）数学思考：请你解答老师提出的问题．
（2）深入探究：如图2，老师将图1中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件均不变，并让同学们提出新的问题．
①“聪聪小组”提出问题：如图2，当AB=3，BC=4时，求EFAE的值；进一步，当AB=m⋅BC时，直接写出EFAE的值(用含m的代数式表示)．
②“慧慧小组”提出问题：如图3，连结CE，当AB=2，BC=4，CE=CD时，求EF的长．
请解答这两个问题．
24．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，AB⊥CD，点E是BD上一点，连接AE，CE，分别交OD，OB于点F，G，连接AC，AD，FG．
（1）若∠AFO=60°，求∠CGO的度数．
（2）求证：AC2=AG⋅CF．
（3）设∠AFO=α，△CFG的面积为S1，△AOF的面积为S2，求证：S1S2=tanα−1．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】D
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】A
8．【答案】B
9．【答案】B
10．【答案】D
11．【答案】m(x+y)(x−y)
12．【答案】5
13．【答案】23
14．【答案】8
15．【答案】M=7t+1
16．【答案】4；1277
17．【答案】解：方方的计算过程不正确，
正确的计算过程是：
原式=6÷(−36+26)
=6÷(−16)
=6×(−6)
=−36．
18．【答案】（1）1；8
（2）2；3
（3）优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由如下，
七年级优秀率为20%+20%＝40%，平均成绩为：7×10%+8×50%+9×20%+10×20%＝8.5，
八年级优秀率为3+210×100%=50%＞40%，平均成绩为：110×(6+7×2+2×8+3×9+2×10)=8.3＜8.5，
∴优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高，
∴优秀率高的年级不是平均成绩也高．
19．【答案】（1）证明：连接OE，BE，
∵DE=EF，
∴DE=EF，
∴∠OBE=∠DBE，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∴∠OEB=∠DBE，
∴OE//BC，
∵⊙O与边AC相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴BC⊥AC，
∴∠C=90°
（2）解：在△ABC，∠C=90°，BC=3，csA=45，
∴sinA=35，
∴AB=5，
设⊙O的半径为r，则AO=5−r，
在Rt△AOE中，sinA=OEOA=r5−r=35，
∴r=158，
∴AF=5−2×158=54．
20．【答案】（1）解：∵反比例函数y=kx(k≠0)，点(3,a)，(1,2a+1)都在该反比例函数图象上，
∴k=3a=2a+1，
∴a=1，
∴k=3a=3
（2）解：①∵点A(x1,y1)B(x2,y2)都在该反比例函数图象上，且点A和点B关于原点中心对称，
∴y1+y2=0，
∵y2=y1+6，
∴y1+y1+6=0，
∴y1=−3，
∴y2=3，
代入y=3x得，3=3x2，解得x2=1，
∴B(1,3)；
②∵x1=3，
∴y1=33=1，
∵y1+y2<0，
∴y2<−1，
∴3x2<−1，
∴−321．【答案】（1）解：由题意得：CB⊥FH，ED⊥HG，
在Rt△FBC中，∠BFC=45°，BC=2，
∴BF=BCtan45∘=2(米)，
在Rt△DEG中，∠G=30°，DE=2，
∴DG=DEtan30∘=233=23(米)，
∵BD=6米，
∴FG=BD+DG−BF=6+23−2=(4+23)米，
∴FG的长为(4+23)米；
（2）解：设AH=x米，
在Rt△AHF中，∠AFH=45°，
∴FH=AHtan45∘=x(米)，
∵FG=(4+23)米，
∴HG=HF+FG=(x+4+23)米，
在Rt△AHG中，∠G=30°，
∴HG=AHtan30∘=AH33=3AH，
∴x+4+23=3x，
解得：x=5+33≈10.2，
∴AH=10.2米，
∴山峰高度AH的长约为10.2米．
22．【答案】（1）解：①如图，以O为原点，分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可知：A(0,1)，E(4,3.4)，C(6,3.4)，
设改造前的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
∴c=116a+4b+c=3.436a+6b+c=3.4，
解得：a=−110b=1c=1，
∴改造前的抛物线的函数表达式为y=−110x2+x+1；
②如图，建立与(1)相同的平面直角坐标系，
由①知改造前抛物线的解析式为y=−110x2+x+1，
∴对称轴为直线x=−12×(−110)=5，
设改造后抛物线解析式为：y2=cx2+dx+1，
∵调整后C与E上升相同的高度，且CC'=1，
∴对称轴为直线x=5，则有−d2c=5，
当x=6时，y=4.4，
∴36c+6d+1=4.4，
∴c=−17120，d=1712，
∴改造后抛物线解析式为：y2=−17120x2+1712x+1，
当x=2时，
改造前：y1=−110×22+2+1=135，
改造后：y2=−17120×22+1712×2+1=4915，
∴GG'=y2−y1=4915−135=23(米)，
∴GG'的长度为23米；
（2）解：如(2)题图，设改造后抛物线解析式为y=ax2−10ax+1，
∵当x=2时，y=a×22−10a×2+1=−16a+1，
当x=4时，y=a×42−10a×4+1=−24a+1，
∴G'(2,−16a+1)，E'(4,−24a+1)，
∴EE'+GG'=−24a+1−16a+1−(3.4+135)=−40a−4，
由题意可列不等式：(−40a−4)×200×60≤32000，
解得：a≥−16，
∵CC'=EE'=−24a+1−3.4，
要使最大，需a最小，
∴当a=−16时，CC'的值最大，最大值为1.6米．
23．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠ABE=∠GBE=45°．
∵EF⊥AE，EG⊥BD，
∴∠AEF=∠BEG=90°，
∴∠AEF−∠BEF=∠BEG−∠BEF，∠G=90°−∠EBG=45°，
∴∠AEB=∠FEG，∠ABE=∠EBG=∠G，
∴BE=EG．
在△ABE和△FGE中，∵∠ABE=∠G，BE=GE，∠AEB=∠FEG，
∴△ABE≌△FGE(ASA)，
∴AE=EF，
∴EFAE=1．
（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，∠C=90°，
由(1)，得∠AEB=∠FEG．
∵∠ABC=∠AEF=90°，
∴∠ABC+∠AEF=90°+90°=180°，
∴∠BAE+∠BFE=180°．
∵∠BFE+∠EFG=180°，
∴∠EFG=∠BAE，
∴△ABE∽△FGE，
∴EFAE=EGBE．
∵∠BEG=∠C=90°，∠CBD=∠EBG，
∴△BEG∽△BCD，
∴EGCD=BEBC，
∴EGBE=CDBC=ABBC=34，
∴EFAE=EGBE=34，
当AB=m⋅BC时，EFAE=EGBE=ABBC=m．
②如图，过点C作CH⊥BD于点H，过点E作EQ⊥AB于点Q．
∵AB=CD=2，BC=4，
∴BD=BC2+CD2=4+16=25．
又∵sin∠DBC=CHBC=CDBD，
∴CH4=225，
∴CH=455，
∴DH=CD2−CH2=4−165=255．
∵CE=CD，CH⊥BD，
∴DE=2DH=455，
∴BE=655．
∵QE⊥AB，
∴∠BQE=∠BAD=90°．
又∵∠ABD=∠QBE，
∴△BQE∽△BAD，
∴BEBD=QEAD=BQAB，
∴6525=QE4=BQ2，
∴QE=125BQ=65，
∴AQ=45，
∴AE=AQ2+QE2=1625+14425=4105．
由(2)可知，EFAE=ABBC=12，
∴EF=2105．
24．【答案】（1）解：∵AB，CD是⊙O的两条直径，AB⊥CD，
∴AC=AD=AD=90°，
∴∠D=∠E=∠ACD=∠BAC=45°，
又∵∠AFO=∠D+∠DAE=60°，
∴∠DAE=15°，
∴∠DCE=∠DAE=15°，
∴∠AGC=90°−∠DCE=75°
（2）证明：∵∠ACG=∠ACD+∠CDE=45°+∠CDE，∠AFC=∠D+∠DAE=45°+∠DAE，
∴∠ACG=∠AFC，
又∵∠ACF=∠CAG=45°，
∴△ACF∽△GAC，
∴ACAG=CFAC，
∴AC2=AG⋅CF．
（3）证明：∵S△ACD=12AC2，S四边形ACGF=12AG⋅CF，
由(2)知AC2=AG⋅CF，
∴S△ACD=S四边形ACGF，
∴S△ACD−S△ACO=S四边形ACGF−S△ACO，
∴S△AFD=S△CGF，
∴S1S2=S△AFDS△AOF=DFOF=OD−OFOF=ODOF−1=OAOF−1=tanα−1．成绩/分
6
7
8
9
10
人数
1
2
a
b
2