2024年广东省韶关市九年级中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷共6页，24小题，满分为120分．考试用时为120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答（作图题可用铅笔），答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 2024的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数，“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据相反数的定义即可求解．
【详解】解：2024的相反数是,
故选：B．
2. 港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程．据统计，2024年3月28日至3月31日，经港珠澳大桥出入境的旅客累计超484900人次，将数据484900用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：．
故选B．
3. 如图是由5个大小相同的正方体摆成的立体图形，它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【详解】解：从物体正面看，左边1个正方形，中间2个正方形，右边1个正方形，
∴它的主视图是
故选：D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．
4. 将分别标有“最”、“美”、“韶”、“关”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，放回摸出的球后再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“韶关”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再依据概率公式计算可得．
详解】解：画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中两次摸出的球上的汉字能组成“韶关”的有2种结果，
∴两次摸出的球上的汉字能组成“韶关”的概率为，
故选B．
5. 下列几何图形，是中心对称但不是轴对称的图形是（ ）
A. 正方形B. 平行四边形C. 等腰三角形D. 梯形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A．正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．平行四边形是中心对称图形而不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．梯形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
根据同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，根据积的乘方法则，根据同底数幂的除法法则判断即可．
【详解】解：A、，故本选项计算错误，不符合题意；
与不是同类项，不能合并，故本选项计算错误，不符合题意；
C、，故本选项计算错误，不符合题意；
D、，故本选项计算正确，符合题意；
故选：D．
7. 如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
由平行线的性质可求得，从而可求的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
8. 若一元二次方程有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】计算根的判别式△，由题意得不等式，求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程x2-4x+m=0有两个不相同的实数根，
∴△=16-4m＞0
解得m＜4．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，题目比较简单，根的判别式△=b2-4ac．
9. “数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．比如化学中，甲醇的化学式为，乙醇的化学式为，丙醇的化学式为可以预见醇类物质的分子中碳原子和氢原子的数目满足一定的数学规律，则碳原子的数目为15的醇的化学式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给化学式发现和个数之间的关系是解题的关键．
根据所给化学式，发现和个数之间的关系即可解决问题．
【详解】解：根据甲醇的化学式为，乙醇的化学式为，丙醇的化学式为，
可得碳原子个数为1时，该物质中氢原子的个数为：，
碳原子个数为2时，该物质中氢原子的个数为：，
碳原子个数为3时，该物质中氢原子的个数为：，
所以碳原子个数为时，该物质中氢原子的个数为个，
当时，，
即碳原子个数为15时，该物质中氢原子的个数为32个，
所以这个物质的化学式是．
故选：B．
10. 如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④．其中结论正确的序号有（ ）
A. ①②③④B. ①③④C. ①③D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
过作于点，过作于点，如图所示：根据正方形的性质得到，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出矩形为正方形；故①正确；根据正方形的性质得到推出，得到，求得，故③④正确；当时，点与点重合，得到不一定等于，故②错误．
【详解】解：过作于点，过作于点，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
又，
在和中，
，
∴，
，
∴矩形为正方形；故①正确；
∵，
，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∴，故④正确；
当时，点与点重合，
∴不一定等于，故②错误，
故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，满分18分．
11. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因数，再运用平方差公式分解因式即可；
【详解】解：，
故答案为：；
【点睛】本题考查了因式分解，掌握平方差公式是解题关键．
12. 如图①是我国古建筑上采用的八角形空窗，轮廓是正八边形，其示意图如图②所示，则它的外角______．
【答案】45
【解析】
【分析】本题主要考查的是正多边形的外角问题，理解多边形的内角和为是解题关键．由正八边形的外角和为，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可．
【详解】解：因为正八边形的外角和为，
所以，．
故答案为：45．
13. 若是方程的根，则的值是______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的定义、代数式求值，解题的关键是熟练运用整体代入思想．
根据一元二次方程的根的定义，将代入，求出，即可求出的值．
【详解】解：∵是方程的一个根，
，
，
，
故答案为：1．
14. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是___________．

【答案】##100度
【解析】
【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的对角互补，进行求解即可．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，圆内接四边形的对角互补，是解题的关键．
15. 第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题中根据正方形以及直角三角形的面积公式求得直角三角形的三边，进一步运用锐角三角函数的定义求解．
根据大正方形的面积求得直角三角形的斜边是5，根据大正方形减去小正方形的面积即四个直角三角形的面积和是24，求得两条直角边的乘积是12．再根据勾股定理知直角三角形的两条直角边的平方和等于25，联立解方程组可得两条直角边分别是3，4，即可求解．
【详解】解：根据题意，大正方形边长，小正方形的边长．
∴三角形面积．
设三角形两直角边为，则．
又，
联立解得，（舍去）
所以．
故答案为：．
16. 如图，矩形中，，以为直径作半圆交于点、，连接，以为圆心，为半径作弧刚好经过点，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，证明与都为等边三角形是解题的关键．
证明与都为等边三角形，阴影部分的面积等于的面积即可求出答案．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴是等边三角形，
，
∵是矩形，
∴，
，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积等于的面积，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第17小题10分，第18、19小题各7分，共24分．
17. （1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2）；5
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算和求值，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，负整数指数幂等知识点，能求出每一部分的值是解（1）的关键，能正确根据分式的运算法则进行化简是解（2）的关键．
（1）先根据二次根式的性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算，再求出即可；
（2）先通分，化成同分母的分式，计算加法，再计算除法，最后求出即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
18. 如图，在平面直角坐标系中，点、关于轴对称，已知点、；

（1）请写出点的坐标： ；
（2）在轴上找一个点，使得的值最小（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（3）在（2）的基础上，求出点的坐标．
【答案】（1）
（2）见详解 （3）点的坐标为
【解析】
【分析】本题主要考查的是一次函数的解析式求解，轴对称图形的性质、轴对称--路径最短问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
（1）关于轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等；
（2）首先求得点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小．
（3）求出的解析式，再求出其关于轴的交点即可；
【小问1详解】
解：∵，
∴点的坐标为；
【小问2详解】
如图所示：
【小问3详解】
根据（2）可得点的坐标为，
设的解析式为，
将点的坐标为，点的坐标为代入得：
，
解得：，
故，
令，则，
故点的坐标为．
19. 青少年体重指数（）是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式．其中体重指数计算公式：（），其中表示体重（），表示身高（）．《国家学生体质健康标准》将学生体重指数（）分成四个等级（如表），为了解学校学生体重指数分布情况，八年级某数学综合实践小组开展了一次调查．
【数据收集】小组成员从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并收集数据：
【数据整理】调查小组根据收集的数据，绘制了两组不完整的统计图．
【问题解决】根据以上信息，解决下列问题：
（1）若一位男生的身高为，体重为，则他的体重指数（）属于_____等级；（填“”，“”，“”，“”）
（2）求本次调查的总人数，并补全条形统计图；
（3）求扇形统计图中表示体重指数（）“”等级的扇形的圆心角的度数；
（4）若该校共有2000名学生，估计全校体重指数为“肥胖”的学生约为多少人？
【答案】（1）
（2）调查的总人数为人，条形统计图见解析
（3）
（4）人
【解析】
【分析】本题考查了频数分布表与扇形统计图，求扇形统计图的圆心角及样本估计总体，从统计图表中获取信息是解题的关键．
（1）根据体重指数（）公式计算即可判断出答案；
（2）用等级的人数除以可得总人数，用总人数乘，再减去等级的男生人数，进而得出等级的女生人数，再补全条形统计图即可；
（3）用乘以等级所占的百分比即可；
（4）利用样本估计总体，可估计出全校体重指标为“肥胖”的学生人数．
【小问1详解】
解：（1）∵，，
∴他的体重指数（）属于等级；
故答案为：
【小问2详解】
本次调查的样本容量是：，
等级的女生人数为：（人），
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
，
答：“”等级的扇形的圆心角的度数为；
【小问4详解】
（人），
答：估计全校体重指数为“肥胖”的学生约为120人．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
20. 近年来，露营成为广受人们欢迎的假日休闲方式，从家边绿地到旷野山林，各具特色的露营地吸引着消费者前去体验．某露营地提供了、两种型号帐篷供游客租用．已知租用1顶型帐篷和2顶型帐篷一天的费用是190元；租用2顶型帐篷和1顶型帐篷一天的费用是140元．
（1）求租用每顶型帐篷和每顶型帐篷一天的费用；
（2）若某游学机构需要租用该景区、两种帐篷共30顶，租用型帐篷的数量不超过型帐篷数量的，为使租用帐篷的总费用最低，应租用多少顶型帐篷？租用帐篷一天的总费用最低为多少元？
【答案】（1）租用每顶型帐篷需要30元，租用每顶型帐篷需要80元
（2）最省钱的租用方案是租用型帐篷10顶，则型帐篷20顶，此方案的总费用为1900元
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是找出不等量关系列不等式求解．
（1）设租用每顶型帐篷需要元，租用每顶型帐篷需要元，由题意列出二元一次方程组，则可得出答案；
（2）设租用型帐篷顶，则型帐篷顶，由题意列出一元一次不等式，求出的取值范围，根据一次函数的性质可得出答案．
【小问1详解】
解：设租用每顶型帐篷需要元，租用每顶型帐篷需要元，
由题意得，，
解得，
答：租用每顶型帐篷需要30元，租用每顶型帐篷需要80元；
【小问2详解】
设租用型帐篷顶，则型帐篷顶，设租用帐篷的总费用为W元，
由题意得，，
，
设租用帐篷的总费用为，
，
∴W随的增大而减小，
∴时，租用帐篷的总费用最少，方案的总费用为(元)，
答：最省钱的租用方案是租用型帐篷10顶，则型帐篷20顶，此方案的总费用为1900元．
21. 【操作探究】在数学综合与实践活动课上，老师组织同学们开展以“测量小树的高度”为主题的探究活动．
【学生】查阅学校资料得知树前的教学楼高度为12米，如图1，某一时刻测得小树、教学楼在同一时刻阳光下的投影长分别是米，米．
（1）请根据同学的数据求小树的高度；
【学生】借助皮尺和测角仪，如图2，已知测角仪离地面的高度米，在处测得小树顶部的仰角，测角仪到树的水平距离米．
（2）请根据同学的数据求小树的高度（结果保留整数，，）．
【答案】（1）大树高是4米；（2）米
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的性质和解直角三角形应用，解此题的关键是利用相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例求解，解题时还要注意认识图形．
（1）根据题意可得，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）在中，根据解直角三角形即可求解；
【详解】（1）解：根据题意可知，，
，
，
，
即大树高是4米．
（2）如图，中，
∵，
∴米．
22. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象相交于点，并与轴交于点．点是线段上一点，与的面积比为．
（1）填空： ， ；
（2）求点的坐标；
（3）若将绕点顺时针旋转，使点的对应点落在轴正半轴上，得到，判断点是否在函数的图象上，并说明理由．
【答案】（1）4，3 （2）
（3）点不在函数的图象上，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）将代入可求出b的值；再将代入可求出k的值；
（2）过点C作轴于M，过点B作轴于N，由与的面积比为即可求出点C的坐标；
（3）过作轴于G，再由旋转的性质和三角形面积、勾股定理求出点的坐标，即可解决问题．
【小问1详解】
解：∵函数的图象与函数的图象相交于点，
，，
，，
故答案为：4，3；
【小问2详解】
解：过点C作轴于M，过点B作轴于N，
点，
，，
与的面积比为，
，
，
，
即点C的纵坐标为1，
把代入，
解得：，
；
【小问3详解】
解：过作轴于G，
，
，
中，当时，，
，
由旋转的性质得：，
，
，
在中，，
点坐标为，
，
点不在函数的图象上．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质，勾股定理等，解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
23. 如图，为的直径，是圆上一点，是的中点，于点，延长至点，连接，，
（1）求证：是的切线；
（2）若点是上的一点，连接、，，．
①求的值；
②若为的角平分线，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据，证明，再根据圆周角定理得出，即可证明，即可证明；
（2）①连接，证明，设的半径为，利用相似三角形的性质得，由勾股定理求得，得到，即可得到；
②过点作交于点，证明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，由即可求解．
【小问1详解】
连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴是的切线；
【小问2详解】
①解：连接，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设的半径为，则，
解得，
经检验，是方程的解，
，
，
，
，
；
②如图，过点作交于点，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．
24. 如图，抛物线和直线交于，两点，过点作轴于点．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒．以为边作矩形，使点在直线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①求的值；
②当为何值时，矩形的面积最小？并求出最小面积；
（3）直接写出当为何值时，恰好有矩形顶点落在抛物线上．
【答案】（1）
（2）①；②当时，矩形的面积最小，最小面积为；
（3）的值为或或或
【解析】
【分析】（1）先求出点B的坐标，再用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）①作轴于点E，求出，，证明可求出；
②根据求出函数解析式，化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解；
（3）先表示出点N，M，Q的坐标，然后分三种情况求解即可．
【小问1详解】
把代入，得
，
∴，
把，，代入，得
，
∴，
∴；
【小问2详解】
①如图，作轴于点E，
∵，，
∴，
∵轴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵轴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴
，
∴当时，矩形的面积最小，最小面积为；
【小问3详解】
∵，
∴，
∴，
把代入，得
，
解得；
把代入，得
，
∴，
解得或；
∵，
∴，
当Q在抛物线上时，点Q与点A重合，
∴，
解得．
综上可知，当的值为或或或时，恰好有矩形的顶点落在抛物线上．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，矩形的性质等知识，数形结合是解答本题的关键．等级
偏瘦（）
标准（）
超重（）
肥胖（）
男
女