福建省宁德市霞浦县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（满分：100分；考试时间：90分钟）
友情提示：所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，同底数幂的除法运算，积的乘方运算，根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法运算法则，同底数幂的除法运算法则，积的乘方运算法则分别进行运算即可判断求解，掌握以上运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，本选项错误，不合题意；
B、，本选项错误，不符合题意；
C、，本选项错误，不合题意；
D、，本选项正确，符合题意；
故选：D．
2. 国产手机芯片麒麟是全球首个纳米制程芯片，已知纳米米，将纳米用科学记数法表示为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】绝对值小于的正数，也可以利用科学记数法表示，一般形式为．
【详解】解：纳米米米，
故选：D
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，掌握科学记数法的方法是解题的关键．
3. 下列示意图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是对顶角的判断，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．根据对顶角的概念判断即可．
【详解】解：A、∠1的两边不是∠2的两边的反向延长线，∠1与∠2是不对顶角，故此选项不符合题意；
B、∠1与∠2没有公共顶点，∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；
C、∠1的两边分别是∠2的两边的反向延长线，∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意；
D、∠1与∠2没有公共顶点，∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；
故选：C．
4. 实验测得气温与音速的一些数据如下表，则下列结论错误的是（ ）
A. 在变化中，气温是自变量，音速是因变量
B. y随x的增大而增大
C. 当气温为时，音速约为346米/秒
D. 气温每升高，音速增加3米/秒
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了函数的表示方法，掌握函数的定义，得出温度每升高，音速增加 3米/秒，是解题关键．根据表格中的数据以及函数的定义，逐一判断选项即可．
【详解】解：A、∵对于气温的每一个值，都存在一个唯一确定的音速，符合函数定义，
∴气温自变量，音速是因变量，正确，
∴A不符合题意；
B、由表格数据可知：y随x的增大而增大，
∴B不符合题意；
C、由表格数据可知：当气温为时，音速为米/秒，错误，
∴C符合题意；
D、由表格数据可知：温度每升高，音速增加 3米/秒，正确，
∴D不符合题意．
故选：C．
5. 下列运算正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平方差公式、完全平方公式分别计算即可.
【详解】解：A. ，故选项A错误，不符合题意；
B. ，故选项B错误，不符合题意；
C. ，故选项C错误，不符合题意；
D. ，故选项D正确，不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式，解题的关键是根据原式特征应用适当公式进行计算．
6. 下列图形中，由能得到的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定方法是解本题的关键，根据平行线的判定方法逐一分析即可．
【详解】解：A、∵，不是同位角，不是内错角，
∴不能得到，故A不符合题意；
B、∵，
∴，故B符合题意；
C、∵，
∴，故C不符合题意；
D、∵，不是同位角，不是内错角，
∴不能得到，故D不符合题意；
故选B
7. 若计算的结果中不含x的一次项，则a的值是（ ）
A. B. 2C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式的乘法中的不含某项的计算，正确理解题意是解题的关键．根据多项式乘多项式的运算法则进行化简，然后令含x的一次项系数为零即可求出答案．
【详解】解：∵，的结果中不含x的一次项，
∴，
∴，
故选：B．
8. 如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择沿线段去公路边，他这一选择用到的数学知识是（ ）
A. 两点确定一条直线B. 垂线段最短
C. 两点之间线段最短D. 两点之间直线最短
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．根据垂线段的性质解答即可．
【详解】解：小华同学的家在点P处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择沿线段去公路边，他这一选择用到的数学知识是因为垂线段最短，故B正确．
故选：B．
9. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查幂的运算法则，掌握同底数幂的乘法运算、积的乘方运算，及其逆运算法则是解题的关键．根据同底数幂的运算、积的乘方运算，及其逆运算法则即可求解．
【详解】解：
．
故选：B．
10. 已知点为某封闭图形边界上一定点，动点从点出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点运动的时间为，线段的长为．表示与之间关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等边三角形，等腰直角三角形，正方形，圆的性质，分析得到随的增大的变化关系，然后选择答案即可．
【详解】解：A、等腰直角三角形，点在开始与结束的两边上直线变化，但是始边是斜边，终边是直角边，长度不相等，题干图象不符合；
B、等边三角形，点在开始与结束的两边上直线变化，
在点的对边上时，设等边三角形的边长为，
则，符合题干图象；
C、正方形，点在开始与结束的两边上直线变化，
在另两边上，先变速增加至的对角顶点，再变速减小至另一顶点，题干图象不符合；
D、圆，的长度，先变速增加至为直径，然后再变速减小至点回到点，题干图象不符合．
故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题函数图象，熟练掌握等边三角形，等腰直角三角形，正方形以及圆的性质，理清点在各边时的长度的变化情况是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分)
11. 计算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是单项式除以单项式，掌握运算法则是解本题的关键，利用单项式除以单项式的运算法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：
12. 一个角等于，则这个角的补角是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个角的补角的度数，根据度数之和为180度的两个角互补进行求解即可．
【详解】解：∵一个角等于，
∴这个角的补角是，
故答案为：．
13. 如果，那么的值为_____．
【答案】9
【解析】
【分析】把题目所给等式和所求代数式进行等价变形，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
∴．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方运算，正确进行等价变形是解题关键．
14. 如果，那么的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式，求一个数的平方根，根据完全平方公式得到，则，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，已知直线a∥b，把三角尺的直角顶点放在直线上．若∠1＝36°，则∠2的度数为_____．
【答案】126°##126度
【解析】
【分析】由直角三角板的性质可知∠3=180°-∠1-90°，再根据平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：如图，
∵∠1=36°，
∴∠3=180°-∠1-90°=180°-36°-90°=54°，
∵a∥b，
∴∠2=180°-∠3=126°．
故答案为：126°
【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
16. 已知，，，现给出，，之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是_________________．（填序号）
【答案】①②##②①
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法计算，根据，即可判断①④；根据，，即可判断②；根据，，即可判断③；
【详解】解：∵，，，
∴，
∴
∴，故①正确，④错误；
∵，，
∴，故②正确；
∵，，
∴，故③错误；
故答案为：①②．
三、解答题（本大题共7题，满分52分)
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的运算，整式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键；
（1）先计算乘方，零次幂，负整数指数幂，再合并即可；
（2）利用完全平方公式与多项式乘以多项式先计算乘法运算，再合并即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
18. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，1
【解析】
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式去中括号内的小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可．
【详解】解：原式
，
当，时，原式．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，正确计算是解题的关键．
19. 填空：把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．
如图，已知BC分别交AB、DE于点B、C，且∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2．
证明：因为∠ABC+∠ECB＝180°（已知），
所以AB∥DE（ ）．
所以∠ABC＝∠BCD（ ）．
因为∠P＝∠Q（已知），
所以PB∥CQ（ ）．
所以∠PBC＝（ ）（两直线平行，内错角相等）．
因为∠1＝∠ABC﹣（ ），
∠2＝∠BCD﹣（ ），
所以∠1＝∠2（等量代换）．
【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行；∠BCQ；∠PBC；∠BCQ
【解析】
【分析】根据平行线的判定与性质即可完成证明过程．
【详解】解：
证明：因为∠ABC+∠ECB＝180°（已知），
所以AB∥DE（同旁内角互补，两直线平行）．
所以∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）．
因为∠P＝∠Q（已知），
所以PB∥CQ（内错角相等，两直线平行）．
所以∠PBC＝（∠BCQ）（两直线平行，内错角相等）．
因为∠1＝∠ABC﹣（∠PBC），∠2＝∠BCD﹣（∠BCQ），
所以∠1＝∠2（等量代换）．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质．熟记各知识点是解题的关键．
20. 如图，已知三角形，点E是上一点．

（1）尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕）
（2）在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，平行线的尺规作图：
（1）如图所示，过点E作交于F，点F即为所求；
（2）根据平行线的性质得到，再由角平分线的定义即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图所示，过点E作交于F，点F即为所求；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．

21. 为贯彻落实教育部《教育信息化2.0行动计划》精神，我市组织开展“师生信息素养提升实践活动”．在科创实践类比赛中，某中学参赛小队操控无人机进行展示活动．已知无人机上升和下降的速度相同，设无人机的离地高度与无人机飞行的时间之间的关系如图所示．
根据图象回答下列问题：
（1）图中的点A表示_____________________________．
（2）在上升或下降过程中，无人机的速度是_______ ．
（3）图中字母a表示的数是________．
（4）当操控无人机飞行的时间是___________s时，无人机离地高度恰好为
【答案】（1）无人机在第40秒时，离地的高度为；
（2）
（3）
（4）或
【解析】
【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，理解坐标含义是解本题的关键；
（1）由坐标含义可得答案；
（2）由上升时路程除以时间可得速度；
（3）由加上从100米下降到60米的时间可得答案；
（4）分上升与下降两种情况，再结合函数图象列式计算即可．
【小问1详解】
解：图中点A表示无人机在第40秒时，离地的高度为；
【小问2详解】
在上升或下降过程中，无人机的速度是：；
【小问3详解】
【小问4详解】
上升时：，
下降时，，
当操控无人机飞行的时间是或时，无人机离地高度恰好为．
22. 完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值，
解：因为，，
所以，，
所以，得．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，求的值；
（2）若______；
（3）如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）12 （2）16
（3）6
【解析】
【分析】（1）（2）由完全平方公式即可计算；
（3）由正方形，三角形面积，利用完全平方公式求出，即可求解．
【小问1详解】
解：，
，
，
；
小问2详解】
∵，
∴
；
故答案为：16；
【小问3详解】
，，
，，
，
，
阴影的面积．
【点睛】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键．
23. 课题学习：平行线的“等角转化”功能．
阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接，，求的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程
解：过点A作，
∴ ．
又∵
∴
解题反思：从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能．
方法运用：
（2）如图2，已知，试说明的关系，并证明．（提示：过点C作）
解决问题：
（3）如图3，已知，点C在点D的右侧，，点B在点A的左侧，平分平分所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间，求的度数．

【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）
【解析】
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算．
（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过作，根据平行线的性质得到，，然后根据已知条件即可得到结论；
（3）过点作，然后根据角平分线的定义和平行线的性质，即可求的度数．
【详解】解：（1）过点A作，
∴．
又∵
∴；
（2），理由如下：
过点作，如图所示：

，
，
，，
，
即；
（3）如图，过点作，

，
，
，，
平分，平分，，，
，，
．
气温x（）
0
5
10
15
20
音速y（米/秒）
331
334
337
340
343