浙江省绍兴市上虞区2023-202学年高三下学期适应性教学质量调测数学试卷（原卷版+解析版）

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 数据3，4，5，6，7，8，9，10的中位数为（）
A 6B. C. 7D.
2. 函数在点处的切线与直线平行，则（）
A. B. C. D.
3. 已知，是单位向量，且它们的夹角是，若，，且，则（）
A. B. C. D.
4. 若，则（）
A. B. C. D.
5. 已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减，，，，则（）
A. B. C. D.
6. 已知抛物线：，直线与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线的两条切线交于点，若为正三角形，则的值为（）
A. B.
C. D.
7. 汉诺塔（Twer f Hani），是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如图所示，有三根相邻的标号分别为A、B、C的柱子， A柱子从下到上按金字塔状叠放着个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为，例如：，，则下列说法正确的是（）
A. B. 为等差数列
C. 为等比数列D.
8. 三棱锥满足，二面角大小为，，，，则三棱锥外接球的体积为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.
9. 已知，，，则（）
A 且B.
C. D.
10. 已知复数，其中为虚数单位，若满足，则下列说法中正确的是（）
A. 的最大值为
B. 的最大值为
C. 存在两个，使得成立
D. 存在两个，使得成立
11. 已知数列与满足，且，.若数列保持顺序不变，在与项之间都插入个后，组成新数列，记的前项和为，则（）
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式的第四项为_________.
13. 过原点的直线与圆交于两点，若，则直线的斜率为_____________.
14. 已知定义在上的增函数满足:对任意的都有且，函数满足，. 当时，，若在上取得最大值的值依次为，，…，，取得最小值的值依次为，，…，，若，则的取值范围为____________
四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在三棱台中，面面，，，，，为中点.
（1）求证：面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
16. 盒子中装有大小形状相同的4个小球，其中2个白色2个红色. 每次取一球，若取出的是白球，则不放回；若取出的是红球，则取完放回.
（1）取两次，求恰好一红一白的概率；
（2）取两次，记取到白球的个数为随机变量，求随机变量的分布列及均值；
（3）在第2次取出球是红球的条件下，求第1次取出的球是白球的概率．
17. 在三角形中，内角对应边分别为且.
（1）求大小；
（2）如图所示，为外一点，，，，，求及的面积.
18. 在平面直角坐标系中，动点（）与定点的距离和到直线：的距离之比是常数．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）记动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于两点，直线与曲线的另一个交点为.
（i）求的值；
（ii）记面积为，面积为，面积为，试问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
19. 帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，. 已知在处的阶帕德近似为.注：，，，，…
（1）求实数的值；
（2）当时，试比较与的大小，并证明；
（3）定义数列：，，求证：.