2024北京中关村中学高二（下）期中数学试题及答案

这是一份2024北京中关村中学高二（下）期中数学试题及答案，共17页。试卷主要包含了 已知集合，则， 下列函数的求导正确的是， 已知函数，则函数的极小值点为， 已知等比数列满足，记，则数列， 已知数列满足，等内容，欢迎下载使用。

2024.4
本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.
第一部分（共40分）
一、选择题，本部分共10题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 下列函数的求导正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数，则函数的极小值点为（ ）
A. 或B. C. D.
4. 函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在三棱锥中，两两垂直，且，点E为中点，若直线与所成的角为，则三棱锥的体积等于（ ）
A. B. C. 2D.
6. 已知函数若对于任意都有，则实数的范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知直线与圆交于A，B两点，且为等边三角形，则m的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中(单位：是小球相对于平衡点的位移，(单位：)为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时，（ ）
A. 1B. C. D.
9. 已知等比数列满足，记，则数列（ ）
A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项
10. 已知数列满足，.给出下列四个结论：
①数列每一项都满足；
②数列的前n项和；
③数列每一项都满足成立；
④数列每一项都满足.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③B. ②④C. ①③④D. ①②④
第二部分（共110分）
二、填空题，本题共5小题，每题5分，共25分．
11. 双曲线的实轴长为______，渐近线方程为______．
12. 在复平面内，复数对应点的坐标为，则的虚部为__________,______．
13. 已知数列的前项和为，若，则______，数列的前项和______．
14. 已知等边的边长为，分别是的中点，则_______；若是线段上的动点，且，则的最小值为_______．
15. 已知函数的部分图像如图所示．
（1）函数的最小正周期为______．
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为偶函数，则的最小值是______．
三、解答题，本题共6小题，共85分，请将答案写在答题卡相应位置．
16. 已知数列的前项和为，且满足．
（1）若成等比数列，求的值；
（2）若数列为等比数列，，求数列的前项和．
（3）设，直接写出数列的最小项．
17. 在中，．
（1）求角的大小；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18. 如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.
19. 已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数在上的最大值；
（3）当时，求函数的单调区间；
（4）证明：当时，函数有且仅有一个零点．
20. 已知椭圆：的一个焦点为，且过点.
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）过点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，点满足轴，轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值.
21. 集合，集合，若集合中元素个数为，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合为“好集合”．
（1）判断集合是否为“好集合”；
（2）若集合是“好集合”，求的值．
参考答案
第一部分（共40分）
一、选择题，本部分共10题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项.
1. 【答案】C
【分析】分别求解不等式和，得到集合,再求其并集即得.
【详解】由可得，则得；
由可得，则得,
故
故选：C.
2. 【答案】B
【分析】根据基本初等函数的导数公式和复合函数的求导法则，可对选项一一判断即得.
【详解】对于A项，因，故A项错误；
对于B项，，故B项正确；
对于C项，，故C项错误；
对于D项，，故D项错误.
故选：B.
3. 【答案】D
【分析】由原函数求导，判断函数单调性，即可分析得出其极小值点.
【详解】由求导得，，因，由可得或，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
故在处取得极大值,在处取得极小值.
即函数的极小值点为.
故选:D.
4. 【答案】B
【分析】利用导数求出函数的极值点可排除AD,再由时函数恒正排除C即可得解.
【详解】因为，
令，解得或；令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以的两个极值点为，故排除选项A和选项D，
当时，，所以恒为正，排除选项C，
即只有选项B符合要求.
故选：B．
5. 【答案】D
【分析】由题意可证平面，取BD的中点F，连接EF，则为直线与所成的角，利用余弦定理求出，根据三棱锥体积公式即可求得体积．
【详解】如图，
∵，点为的中点，
∴，，
∵，，两两垂直，，
∴平面，取BD的中点F，连接EF，
∴为直线与所成的角，且，
由题意可知，，设，连接AF，
则，
在中，由余弦定理，得，
即，解得，即
∴三棱锥的体积．
故选：．
6. 【答案】B
【分析】求出导函数，由在定义域内恒成立即可得．
【详解】对于任意都有，则在定义域内是减函数，
，所以在时恒成立，即，而，
所以．
故选：B．
7. 【答案】D
【分析】根据圆的方程求出圆心坐标以及半径，由等边三角形的性质可得到圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式列出方程求出的值即可.
【详解】圆的圆心为，半径，
若直线与圆交于A，B两点，且为等边三角形，
则圆心到直线的距离，
又由点到直线的距离公式可得，解得，
故选：D.
8. 【答案】D
【分析】求出导函数后，由余弦函数性质得结论．
【详解】小球的瞬时速度为，，，
因此首次达到最大值时，．
故选：D．
9. 【答案】A
【分析】求出等比数列的通项公式，进而求出，再由数列最大项、最小项的意义判断作答.
【详解】依题意，等比数列的通项公式，
，，
由知，时，数列是递增的，时，数列是递减的，
于是得数列的最大项为，而n为奇数时，，n偶数时，，
所以和分别是数列的最大项和最小项.
故选：A
10. 【答案】C
【分析】由递推公式，判断每个命题的正误.
【详解】①，，，所以，由递推关系得，①正确；
②，，，，则，所以②不正确；
③，所以，
累加得，，所以，，所以（，），，故成立，③正确；
④，，累乘得，，所以，④正确.
故选：C.
【点睛】将递推公式变形为和分别进行累加和累乘，得的取值范围.
第二部分（共110分）
二、填空题，本题共5小题，每题5分，共25分．
11. 【答案】 ①. 10 ②.
【分析】由双曲线方程得到，.再利用双曲线渐近线方程的公式加以计算，可得到答案.
【详解】由双曲线方程为可得，，，即，.
∴实轴长为.
∴渐近线方程为.
故答案为：10；.
12. 【答案】 ①. ②.
【分析】根据点写出复数，求出即得其虚部；先求得，再求其模长即得.
【详解】依题意，，则，故的虚部为；
因，则.
故答案为：；.
13. 【答案】 ①. ②.
【分析】根据已知条件先求出首项，再利用即可求解；再结合等比数列前n项和公式即可求解.
【详解】因为，即，
所以当，，
当，，
整理得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
故，
所以数列的前项和为：
.
故答案为：；.
14. 【答案】 ①. ②. ##
【分析】第一空：通过展开整理，带入数据计算即可；第二空：设，通过展开整理，带入数据然后配方求最值.
【详解】
;
若是线段上的动点，且，不妨设点相对更靠近点，
设，
，
当时，取最小值，且为.
故答案为：；.
15. 【答案】 ①. . ②. .
【分析】空1：由函数图像可以直接读，进一步计算出；
空2：通过周期及函数上的点代入函数解析式求出的值，可得解析式，然后进行平移得到，利用函数的奇偶性求出参数取最值即可.
【详解】空1：由图像可知，，即.
空2：，即，
∴,又过点,
∴，即,
又在原图增区间上，
∴，
向右平移个单位可得,
又为偶函数，
∴，即，
∵，
∴.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是通过周期的大小和函数上的点，可求出的解析式，再平移得到，然后根据奇偶性求参.
三、解答题，本题共6小题，共85分，请将答案写在答题卡相应位置．
16. 【答案】（1）9 （2）
（3）
【分析】（1）由题设易得，利用成等比数列列出方程解之即得；
（2）由（1）的结论和数列为等比数列可求出该数列的通项，继而求出，利用分组求和法即可求得；
（3）将（1）的结论代入，化简得，因是奇数，不妨设将右式化成双勾函数形式，利用其单调性即可求得的最小项.
【小问1详解】
由可得，即数列为等差数列，公差为2，
又，则得，解得，故.
因成等比数列，，即，解得.
【小问2详解】
数列为等比数列，设公比为，因，
则数列的首项为4，公比，则，
故，
于是
.
【小问3详解】
，
记，则且是奇数，设，
易得在上单调递减，在上单调递增，
因是奇数，，
故时，即时，，此时数列的最小项为.
17. 【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用三角形内角关系即可求得；
（2）考查①②组合或者①③组合，均因得出，推得三角形不存在；考查②③组合时，先由求出，由正弦定理求得，再用和角公式求得的值，即可利用三角形面积公式求得.
【小问1详解】
由和正弦定理可得，，
因，
则得，因，，则得，解得；
【小问2详解】
若选 ①②，由，，和正弦定理，可得，
故值不存在，不存在，与题意不符；
若选 ②③，，，，则，
由正弦定理，，解得，
又,
于是，的面积为.
若选 ①③，，，，由正弦定理，，
故值不存在，不存在，与题意不符.
18. 【答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）利用面面垂直的性质可证得平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；
（2）取的中点，连接，证明出平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，求出的值，即可求得棱的长.
【小问1详解】
证明：因为四边形为正方形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，所以，.
【小问2详解】
解：取的中点，连接，
，为的中点，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设，其中，
则、、、、，
，，，
设平面的法向量为，则，取，则，
由题意可得，
，解得，则.
19. 【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析 （4）证明见解析
【分析】（1）分别求出切点坐标和切线斜率，写出切线方程即得；
（2）对函数求导，推出函数的单调区间，求出函数在的极大值，与端点函数值比较，取其中较大值即为函数最大值；
（3）对函数求导，根据参数进行分类讨论导函数的正负，得出函数的单调区间即可；
（4）根据（3）得到的单调性，可推知在上没有零点，而在上至多有一个零点，从而得到至多有一个零点，再用零点存在定理说明的确存在零点即可.
【小问1详解】
当时，，，故，.
从而所求切线经过点且斜率为，故曲线在点处的切线方程为；
【小问2详解】
当时，，故.
从而当或时；当时.
故函数在和上单调递增，在上单调递减.
根据的单调性可知，当时有，而当时有.
所以对任意都有，而，故在上的最大值是；
【小问3详解】
设，由于，故
①当时，，从而对和均有，故在和上单调递增，从而在上单调递增；
②当时，有，，从而当或时；当时.
故函数在和上单调递增，在上单调递减；
③当时，对任意都有，从而当时；当时.
故函数在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
【小问4详解】
当时，由（3）可知，在和上单调递增，在上单调递减.
一方面，对，有，这表明在上没有零点.
而在上单调递增，所以在上至多有一个零点.
二者结合，就可得到至多有一个零点；
另一方面，我们又有，，以及
.
故由零点存在定理可知，必有一个上的零点.
综上，当时，有且仅有一个零点.
20. 【答案】（1），
（2）2
【分析】（1）利用待定系数法求出后可得椭圆方程并可求离心率.
（2）设，，则可用诸参数表示，再联立直线方程和椭圆方程，并利用韦达定理化简后可得斜率的比值.
【小问1详解】
由题设有，故，故椭圆的方程为，
故离心率为.
【小问2详解】
由题设可得的斜率必存在且不为零，
设，，则，
由可得，
故，
，
由可得，
故即，且，
又，
故
，
21. 【答案】（1）为“好集合”； 不是“好集合”
（2）
【分析】（1）先由集合求出，再由“好集合”定义进行判断即可.
（2）由先求，再结合和中元素结构特征即可推导求解.
【小问1详解】
因为，
所以由，
得，显然中的元素从小到大排列后是等差数列，
又由集合中元素个数为可知中元素个数应分别为，
故根据“好集合”定义可知为“好集合”， 不是“好集合”.
【小问2详解】
因为集合是“好集合”，
所以集合中元素个数为，且和是它的最小的两个元素，
所以集合接下来的四个元素从小到大排列应为，
所以，.