2024年北京市海淀区首都师范大学附属中学第一分校中考模拟数学试题（原卷版+解析版）

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1. 今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
3. 比大，比小的整数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
4. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．若b+d＝0，则下列结论正确的是（ ）
A. b+c0B. 1C. adbcD. |a||b|
6. 如图是30名学生A，B两门课程成绩的统计图，若记这30名学生A课程成绩的方差为，B课程成绩的方差为，则，的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 不确定
7. 如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②．若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（ ）
A. 24B. 12C. 18D. 21
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．
8. 某潜艇从海平面以下27米上升到海平面以下18米，此潜艇上升了_____米．
9. 如图所示的围棋盘放在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为(－7，－4)，白棋④的坐标为(－6，－8)，那么黑棋①的坐标应该是________．
10. 已知一元二次方程的两根为与，则的值为_______．
11. 如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是______．
12. 已知是方程的一组解，任写出一组符合题意的、值，则______，______．
13. 如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点F，若，则的长为______．
14. 图中的小正方形边长都相等，若，则点可能是图中的_______．

15. 初三（1）班同学在“2024义卖”活动中表现特别突出，他们设计了甲乙两款纪念品．销售一件甲纪念品可获利：销售一件乙纪念品可获利；当销售量的比为时，总获利为．当销售量的比为时，总获利为______．
三、计算题：本大题共2小题，共10分．
16 计算：．
17. 已知，求的值．
四、解答题：本题共10小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18 解不等式组：
19. 已知：如图，△ABC锐角三角形，AB＝AC．
求作：点P，使得AP＝AB，且．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；
②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交于点D（异于点C）；
③连接DA并延长交于点P．
所以点P就是所求作的点．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接PC．
∵AB＝AC，
∴点C在上．
∵，
∴（____________________）（填推理的依据），
由作图可知，，
∴______．
∴．
20. 如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠B＝90°．
（1）若AB＝4，BC＝3，
①求Rt△ABC外接圆的半径；
②求Rt△ABC内切圆半径；
（2）连接AO并延长交BC于点D，若AB＝6，tan∠CAD＝，求此⊙O的半径．
21. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB=60°，AD：AB=2：3，BD=，AB⊥BC．
（1）求sin∠ABD的值．
（2）若∠BCD=120°，求CD的长．
22. 某社区通过公益讲座的方式普及垃圾分类知识．为了了解居民对相关知识的了解情况及讲座效果，请居民在讲座前和讲座后分别回答了一份垃圾分类知识问卷，从中随机抽取20名居民的两次问卷成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．这20名居民讲座前、讲座后成绩得分统计图如下：

b．这20名居民讲座前、讲座后成绩的平均数、中位数、方差如下
c．结合讲座后成绩，被抽取的20名居民中有5人获得“参与奖”，有7人获得“优秀奖”，有8人获得“环保达人奖”，其中成绩在这一组的是：
80 82 83 85 87 88 88
根据以上信息，回答下列问题：
（1）居民小张讲座前的成绩为80分，讲座后的成绩为95分，在图中用“○”圈出代表居民小张的点；
（2）写出表中的值；
（3）参加公益讲座的居民有160人，估计能获得“环保达人奖”的有_____人．
23. 如图是某公园人工湖上的一座拱桥的示意图，其截面形状可以看作是抛物线的一部分．经测量拱桥的跨度AB为12米，拱桥顶面最高处到水面的距离CD为4米．

（1）在边长为1的正方形网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描出点A，B，C，并用平滑曲线连接；

（2）结合（1）中所画图象，求出该抛物线的表达式；
（3）现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，顶棚到水面的高度为米．当游船从拱桥正下方通过时，为保证安全，要求顶棚到拱桥顶面的距离应大于米，请判断该游船能否安全通过此拱桥．
24. 如图，矩形的顶点B，A分别在x轴，y轴上，点C坐标是，D为边上一点，将矩形沿折叠，点C落在x轴上的点E处，的延长线与x轴相交于点
（1）如图1，求点D的坐标；
（2）如图2，若P是上一动点，交于M，交于N，设，，求s与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25. 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等设的长度为，矩形区域的面积为
（1）是否存在的值，使得矩形的面积是；
（2）为何值时，有最大值？最大值是多少？
26. 如图，在等边中，点在边上，点在的延长线上，且．
（1）求证：；
（2）点关于直线的对称点为，连接，，
①根据题意将图补全；
②在点运动的过程中，和有什么数量关系并证明．
27. 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：AC2=AD·AB；
（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．平均数
中位数
方差
讲座前
72.0
71.5
997
讲座后
86.8
m
88.4