2024年湖南省邵阳市邵东市邵东县两市镇向阳中学中考三模数学试题（原卷版+解析版）

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温馨提示：本试卷共三道大题，满分120分，考试时间120分钟．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1. 下列各数中最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了绝对值，有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较法则是解题关键．根据负数小于0，正数大于0判断即可．
【详解】解：，
，
最小的是，
故选：B．
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算，二次根式的加法，解题的关键是掌握合并同类项法则及单项式的乘法则，完全平方公式．根据合并同类项法则、积的乘方，单项式乘单项式、完全平方公式逐一计算可得．
【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B．，故该选项不正确，不符合题意；
C．，故该选项正确，符合题意；
D．，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
3. 观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：图1不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，故错误；
图2是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，故正确；
图3是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意，故正确；
图4是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故错误．
综上可得有两个正确．
故选：B．
4. 2023年中秋、国庆假期，我国铁路发送旅客累计达亿人次，数据亿用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
【详解】解：亿用科学记数法表示为．
故选：D．
5. 如图，已知，添加选项______仍不能证明．（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定方法，根据全等的判定定理及推论，对选项一一分析即可，解题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定方法，，，，．
【详解】、添加，不能证明，原选项错误，符合题意；
、添加，利用证明，原选项正确，不符合题意；
、添加，利用证明，原选项正确，不符合题意；
、添加，利用证明，原选项正确，不符合题意；
故选：．
6. 某校九年级一班全体学生2017年中招理化生实验操作考试的成绩统计如下表，根据表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ）
A. 该班共有40名学生
B. 该班学生这次考试成绩的平均数为29.4分
C. 该班学生这次考试成绩的众数为30分
D. 该班学生这次考试成绩的中位数为28分
【答案】D
【解析】
【详解】A.∵32+4+2+1+1=40（人），故A正确；
B. ∵（30×32+29×4+28×2+26+18）÷40=29.4（分），故B正确；
C. ∵成绩是30分的人有32人，最多，故C 正确；
D. 该班学生这次考试成绩的中位数为30分，故D错误；
故选：D
7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像如图所示、则当时，自变量的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】观察图像得到两个交点的横坐标，再观察一次函数函数图像在反比例函数图像上方的区段，从而可得答案．
【详解】解：由图像可得：两个交点的横坐标分别是：
所以：当时，
，
故选D．
【点睛】本题考查是利用一次函数图像与反比例函数图像解不等式，掌握数型结合的方法是解题的关键．
8. 如图，点F时平行四边形的边上一点，直线交的延长线与点E，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到，进而证明，，根据相似三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，，故A、B不符合题意，C符合题意；
∴，
∴，即，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，证明，是解题的关键．
9. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A. B. ﹣1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.
【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝，
故选：B.
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.
10. 某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ）
A. ﹣11B. ﹣2C. 1D. ﹣5
【答案】D
【解析】
【分析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案．
【详解】解：由函数图象关于对称轴对称，得
（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）在函数图象上，
把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得

解得
函数解析式为y＝﹣3x2+1
x＝2时y＝﹣11，
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象，利用函数图象关于对称轴对称是解题关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：=_______．
【答案】．
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式5后继续应用平方差公式分解即可.
【详解】解：
=
=．
12. 如图，把一块三角板的角的顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是______．
【答案】##50度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，平角的定义，根据平角的定义求出，再由两直线平行，同位角相等即可求解．
【详解】解：如图，
，，
，
直尺的两边平行，
，
故答案为：．
13. 若关于的不等式组有且只有3个整数解，则取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求解不等式组，根据x的整数解得出关于a的不等式组是解题关键．分别求出两个不等式的解集，根据不等式组只有3个整数解列不等式即可得答案．
【详解】解：解不等式得：，
∴不等式的解集为，
∵不等式组只有3个整数解，
∴不等式组的整数解为0、1、2，
∴，
故答案为：．
14. 已知，为一元二次方程的两个实数根，那么______．
【答案】
【解析】
【分析】由根与系数的关系可得利用完全平方公式将变形为,代入数据即可得出结论．
【详解】解：∵，为一元二次方程的两个实数根，

故答案为： .
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及完全平方公式，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．
15. 如图，四边形是菱形，，于点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据菱形的性质，直角三角形的勾股定理，先求出的长度，在中根据面积相等方法即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线相互垂直且相互平分，直角三角形的勾股定理，等面积法求边长或高是解题的关键．
16. 如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的结论有_____（填上序号即可）
【答案】①，②．
【解析】
【分析】①根据抛物线的顶点坐标确定二次三项式ax2＋bx＋c的最大值；
②根据x＝2时，y＜0确定4a＋2b＋c的符号；
③根据抛物线的对称性确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝1的两根之和；
④根据函数图象确定使y≤3成立的x的取值范围．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（−1，4），∴二次三项式ax2＋bx＋c的最大值为4，故①正确；
∵x＝2时，y＜0，∴4a＋2b＋c＜0，故②正确；
根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝1的两根之和为−2，故③错误；
使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤−2，故④错误．
故答案为：①，②．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象、二次函数的最值、二次函数与不等式，掌握二次函数的性质、正确获取图象信息是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）
17. 计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，代入特殊角的三角函数值，先计算负整数指数幂，零指数幂，再计算加减即可．
【详解】解：原式
．
18. 平行四边形中，对角线相交于点O，E、F分别为线段的两点，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质等知识．由平行四边形的性质和已知条件易证，再由全等三角形的性质，可得到，问题得证．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
又，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
．
19. 先化简，再求值：，其中x的值是不等式的最大整数解．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值，代入原式进行计算即可．
详解】解：原式
解不等式得，最大整数解是－3，
当时，．
20. “勤劳孝亲”是中华民族的传统美德，学校倡导同学们利用假期在家里帮助父母做力所能及的家务．明德同学在本学期开学初随机对自己所在学校的部分同学整个寒假在家做家务的时间情况进行了抽样调查(时间取整数小时)，并绘制了如下不完整的统计图，请根据统计图解决下列问题：

（1）抽样调查抽取的样本容量是________；
（2）通过计算补全频数分布直方图；
（3）如果该学校共有学生2800人，那么大约有多少名学生在整个寒假做家务的时间在30.5~50.5小时之间？
【答案】（1）100；（2）见解析；（3）700人
【解析】
【分析】（1）用10.5~20.5组的频数除以其对应的百分比，即可求得总数，即样本容量；
（2）用总人数减去其它各组的人数之和，即可计算出20.5~30.5组的频数，进而补全频数分布直方图；
（3）先计算出30.5~50.5之间的频率，即为30.5~50.5之间的概率，再乘该学校总学生数即可．
【详解】（1）（1）25÷25%=100（人），
故抽取的样本容量是100．
故答案为：100；
（2）20.5~30.5的频数为： ，
补全频数分布直方图如下：
；
（3）在整个假期做家务的时间在 ~ 小时之间的人数为 人.
【点睛】本题考查读频数分布直方图能力和利用统计图获取信息的能力．解题时需注意利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21. 如图，在中，，D为延长线上一点，，，过D作，交的延长线于点H．

（1）试说明：．
（2）求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由，可得，再由，可得，即可得出结论；
（2）根据，，对应线段成比例可得，再由（1）可知，可得，再进行计算即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
又，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，
（负值舍去）．
答：的长度为．
【点睛】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22. 图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，研究表明：如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个俯角（即望向屏幕中心P的的视线EP与水平线EA的夹角）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得，液晶显示屏的宽AB为．
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到）
（2）求显示屏项端A与底座C的距离AC．（结果精确到）（参考数据：）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由已知得AP＝BP＝AB＝17cm，根据锐角三角函数即可求出眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，根据锐角三角函数求出AF和BF的长，进而求出显示屏顶端A与底座C的距离AC．
【详解】解：（1）由已知得：，
在中，
，
（cm），
答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为；
（2）如图，
过点B作于点F，
．
，
在中，
，
，
，
，
，
（cm）．
答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
23. 牧民巴特尔在生产和销售某种奶食品时，采取客户先网上订购，然后由巴特尔付费选择甲或乙快递公司送货上门的销售方式．甲快递公司运送2千克，乙快递公司运送3千克共需运费42元；甲快递公司运送5千克，乙快递公司运送4千克共需运费70元．
（1）求甲、乙两个快递公司每千克的运费各是多少元；
（2）假设生产的奶食品当日全部售出，且选择运费低的快递公司运送．若该种奶食品每千克的生产成本元（不含运费），销售价元与生产量x千克之间的函数关系式为：，．
①若每日生产量小于8千克，巴特尔当日的利润能否达到180元，若能达到，当日生产量为多少千克？
②巴特尔若想获得最大利润，每日生产量为多少千克？最大利润为多少元？
【答案】（1）甲、乙两快递公司每千克运费分别为6元、10元；
（2）①能达到，日生产5千克；②每天生产量为7千克，最大利润为196元．
【解析】
【分析】考查了二元一次方程组的实验应用，一元二次方程的实际应用及二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型．
（1）设甲、乙两个快递公司每千克运费分别为m、n元，根据题意列方程组即可得到结论；
（2）设生产量x千克时，获得的利润为w元，①根据生产量小于8千克，巴特尔当日的利润能180元，列出方程求解即可，②当时，根据二次函数的性质即可得到结论．
【小问1详解】
解：设甲、乙两个快递公司每千克运费分别为m、n元，
则，
解得，
即甲、乙两快递公司每千克运费分别为6元、10元．
【小问2详解】
解：①由题意得：，
解得，
，
，即当日生产5千克时，盈利为180元．
②当时，利润，
即当时，利润最大，最大利润为196元，
当时，利润，
随的增大而减小，
即时，（元），
∵，
每天生产量为7千克时获得利润最大，最大利润为196元．
24. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形顶点A的坐标为．
（1）求过点B的反比例函数的解析式；
（2）点D在x轴上，当以B、D、O三点构成的三角形为等腰三角形时，求点D的坐标；
（3）反向延长，与反比例函数在交于点F，点Q在x轴上的一点，当以F、Q、B三点构成的三角形为直角三角形时，直接写出Q点的坐标．
【答案】（1）；
（2）或或或
（3）或
【解析】
【分析】（1）过点A作轴于E，过B作轴于G．由点A的坐标可求出．再根据菱形的性质可知，轴,即得出，，即，最后利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；
（2））根据勾股定理得到，①当O为顶点时，根据等腰三角形的性质得到，②当D 为顶点时，，根据菱形的性质得到；③当B为顶点时，根据等腰三角形的性质得到结论；
（3）反向延长，与反比例函数在第三象限交于点F，即得出，．设，则，．分类讨论：①以为斜边时，②以为斜边时和③以为斜边时，根据勾股定理分别列出关于t的等式，解出t即可．
【小问1详解】
解：过点A作轴于E，过B作轴于G，如图，
∵，
∴，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，轴,
∴，
∴，
∴．
∵过B点的反比例函数解析式为，
∴，
解得：，
∴反比例函数解析式为；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
①当O为顶点时，，
∴或；
②当D为顶点时，，
∵四边形是菱形，
∴是的垂直平分线，
∴点D与C重合，
∴；
③当B为顶点时，，则，
∴，
∴；
综上所述：D的坐标为或或或；
【小问3详解】
解：如图，反向延长，与反比例函数在第三象限交于点F，
∵，
∴，
∴．
设，则，，
①以为斜边时，，
∴，
解得，
∴Q或；
②以为斜边时，，
∴，
解得，
∴；
③以为斜边时，，
∴，
解得，
∴．
综上所述，Q的坐标为：或或或．
【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，菱形的性质，坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识．正确的作出辅助线是解题关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为直线上方抛物线上一动点；
①连接，，设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，求的最大值；
②是否存在点D，使等于的2倍？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）①；②存在，．
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，设抛物线解析式为，将点代入中利用待定系数法求解即可；
（2）①过点D作轴于点M，过点B作轴交于于点N，设点，则点，，将代入中，即，证明，得到，据此利用二次函数的性质求解即可；②过点作轴，交轴于点，直线于点，设点，则，根据，求解即可．
【小问1详解】
解：对于直线，当时，；
当时，，解得，
，
设抛物线解析式为，
将点代入得，
解得，
即，
抛物线解析式为．
【小问2详解】
解：①过点作轴，交于点，过点作轴交直线于点，
设点，
点，则，
将代入中得，即，
，
，
，
，
，，
的最大值为．
②过点作轴，交轴于点，直线于点，
设点，
则，
当，则，
，
又，
，即，
则（舍去），
点．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及用待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
成绩（分）
30
29
28
26
18
人数（人）
32
4
2
1
1
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣11
﹣2
1
﹣2
﹣5
…