2024年山西省晋中市榆次区多校中考二模数学试题 （原卷版+解析版）

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注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 计算：的结果是（ ）
A. B. C. 1D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用有理数的加法运算法则计算得出答案．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了有理数的加法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2. 2024年是农历甲辰年（龙年），为寄托对新的一年的美好憧憬，人们会制做一些龙的图标、饰品、窗花等．下列龙的图标中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的除法、积的乘方等幂的运算、合并同类项、完全平方公式，熟练掌握各运算法则是解题的关键.
【详解】A. ，原计算错误；
B. ，原计算错误；
C. ，计算正确；
D. ，原计算错误．
故选：C
4. 圆的标准方程最早是笛卡尔发现的，如图，以坐标原点O为圆心，r为半径的圆，笛卡尔用来表示它．从而利用方程将一个静止不动的图形，转化成点P连续运动的轨迹．这种研究方法体现的数学思想是（ ）
A. 整体思想B. 归纳思想C. 换元思想D. 数形结合思想
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系，根据平面直角坐标系使得我们可以用代数的方法研究几何问题，又可以用几何的方法研究代数问题，即可确定答案．
【详解】解：用代数的方法研究几何问题，可知这种研究方法体现了数形结合思想，
故选：D．
5. 根据国家统计局发布的数据，2023年全国粮食总产量达到亿斤．数据亿用科学记数法表示为（ ）
A. 13.9082×1011B. 1.39082×1012C. 1.39082×1013D. 0.139082×1013
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
【详解】亿．
6. 下面是小明同学的数学作业，部分被墨水污染，结合解答过程可知墨水污染处原本应填写的解题依据是（ ）
问题：如图，已知，，则∠1的度数是？

解：∵，（对顶角相等），
∴，
∴（同位角相等，两直线平行），
∴．（ ）
A. 两直线平行，同旁内角互补B. 两直线平行，同位角相等
C. 同位角相等，两直线平行D. 两直线平行，内错角相等
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的性质，由两直线平行，同旁内角互补可得答案．
【详解】解：解：∵，（对顶角相等），
∴，
∴（同位角相等，两直线平行），
∴．（两直线平行，同旁内角互补）
故选A
7. 如图，内接于，，是的直径，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了半圆（直径）所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，利用半圆（直径）所对的圆周角是直角求出的度数，进而求出的度数，利用圆内接四边形对角互补求出的度数，利用等边对等角即可求出的度数．
【详解】如解图，连接，

∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴．
故选∶C．
8. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，且点A，B，C均在格点上，则点B到线段的距离为（ ）
A. 5B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理，在线段上取一点D，连接，根据勾股定理求出， ，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，，即可求出结果．
【详解】解：如图，在线段上取一点D，连接，点D为格点，
在中，， ，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴点B到线段的距离即为线段的长，
∴点B线段的距离为．
故选：B．
9. 若点在反比例函数（）的图象上，且，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
由，可知当时，在第三象限内，y随x的增大而减小，由，可得，
解得，由第三象限可知，即，，可求，进而可得a的取值范围．
【详解】解：∵，
∴当时，在第三象限内，y随x的增大而减小．
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，，
∴，
∴a的取值范围是．
10. 如图①是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视示意图如图②所示，的直径为40cm，毛刷的一端固定在点M处，另一端为动点P，cm，毛刷绕着点M旋转形成的圆弧交于点A，B，且A，M，B三点在同一条直线上，则该毛刷能扫到区域的面积（阴影部分）是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查求不规则图形的面积，连接，利用，进行求解即可．
【详解】解：如图，连接，由题意可知点M是点A，P，B所在圆的圆心．
∵A，M，B三点在同一条直线上，
∴是的直径，
∴．
∵的直径为40cm，
∴cm，
∵cm，
∴，
∴等边三角形，
∴．
∴，
∴ ，
∴．
故选：C．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法运算法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题．
12. 已知a+b=5，a-b=2，则2a2-2b2=______．
【答案】20
【解析】
【分析】对2a2-2b2进行化简,代入数值即可解题.
【详解】解：∵2a2-2b2=2（a+b）（a-b）,
∵a+b=5，a-b=2，
∴原式=2×5×2
=20.
【点睛】本题考查了代数式的化简求值和平方差公式,属于简单题,整体代入是解题关键.
13. 色光三原色是指红、绿、蓝三色．把这三种色光按一定比例混合可以呈现各种光色．配色规律如图所示（例如：红和蓝按一定比例混合可以呈现紫色）．现小刘、小李两位同学分别从色光三原色中随机选择一种色光，将两人所选择的色光进行混合，则可以呈现青色的概率为_________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查树状图法求概率，正确的画出树状图，利用概率公式进行求解即可．
【详解】解：根据题意画树状图如解图，

由树状图可得，共有9种等可能的结果，其中可以呈现青色的结果有2种，
∴．
14. 扎染是汉族民间传统而独特的染色工艺．临近假期，某扎染制品专卖店的月销售额显著增加，2月份的销售额为万元，4月份的销售额为5万元，则该店这两个月销售额的月平均增长率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设该店这两个月销售额的月平均增长率为x，根据2月份的销售额为万元，4月份的销售额为5万元，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设该店这两个月销售额的月平均增长率为x，由题意可得：
，
解得或（不符合题意，舍去），
∴该店这两个月销售额的月平均增长率为．
故答案为：．
15. 如图，在中，，点D是边的中点，点P是延长线上一点，连接，过点A作于点E，连接，若，则的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，过点D作交的延长线于点F．证明，则，即，可求，由勾股定理得，即，可求满足要求的解为，则，如图，连接，由是等腰直角三角形，点D为边的中点，可得，，由，可得．由，可得，，证明，则，是等腰直角三角形，，由勾股定理得，，则．根据，计算求解即可．
【详解】解: 如图，过点D作交的延长线于点F．
∵，
∴．
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
由勾股定理得，即，
解得或（舍去），
∴，
如图，连接，
∵是等腰直角三角形，点D为边的中点，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由勾股定理得，，
∴．
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16 （1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）5；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了负整数指数幂，解不等式组．
（1）先根据有理数的乘方，负整数指数幂化简，再计算，即可；
（2）分别求出各个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为．
17. 如图，已知．
（1）实践与操作：利用尺规作边的垂直平分线，交边于点D（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）应用与计算：连接，若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质，等边对等角，三角形的外角，正确的作图，是解题的关键．
（1）根据尺规作图—作垂线的方法，作图即可；
（2）根据中垂线的性质结合等边对等角以及三角形的外角的性质，求解即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
∵点D为边的垂直平分线与的交点，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
18. 由山西省教育科学研究院和山西省书法家协会主办，山西师范大学书法学院协办的“书法名家进校园”启动仪式在太原市举行，此次活动旨在落实立德树人根本任务，传承中华优秀传统文化，切实推动山西省书法教育迈上新台阶．某文具用品店销售A，B，C三种毛笔，为了解销售情况，该店统计了这一周三种毛笔每天的销量并绘制了如下统计图表．
三种毛笔销量数据分析表
补充数据：
这三种毛笔每支的利润分别为：A种5元，B种7元，C种4元．
请解答下列问题．
（1）填空： ， ， ；
（2）若后面一周这三种毛笔一共卖出去了240支，请你估计A种毛笔卖出去了多少支；
（3）请你根据以上信息，向该店店主提出一条合理的进货或销售建议．
【答案】（1）60，7，3
（2）估计A种毛笔卖出去了75支
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数，众数的定义及总销量等于每天销售量之和即可求解；
（2）根据上一周卖出去A种毛笔占三种毛笔的比例估计即可得出结果；
（3）根据每一种毛笔利润和每天销售每种毛笔的数量分析即可．
【小问1详解】
解：根据折线统计图可知，，
由折线统计图，得B种毛笔的销量一共有7个数据，将这7个数据按照从小到大的顺序排列，处于最中间的数据为7，
∴，
A种毛笔销量数据中出现次数最多的数是3，众数是3，即，
故答案为：60，7，3；
【小问2详解】
解：（支）．
∴估计A种毛笔卖出去了75支；
【小问3详解】
解：①由题可得，A、B、C三种毛笔的一周销量相差不大，但B种毛笔的利润最高，因此进货时可适当提高B种毛笔的数量；
②相比后半周，前半周A种毛笔的销量明显很高，
∴销售时要保证A种毛笔在前半周的库存．
【点睛】本题考查了折线统计图、中位数，众数，用估计总体，熟练掌握折线统计图的意义是解题的关键．
19. 项目化学习
项目背景：某校为更好地开展劳动实践活动，在校园内开辟了一片小菜园，用来种植甲、乙两种菜苗．
项目主题：探究不同种菜苗高度与种植天数的关系．
研究步骤：（1）选定小菜园中土壤水平及光照时长相同的一块地，并选择甲、乙两种菜苗进行种植；
（2）从种植开始每隔两天记录一次数据；
（3）数据分析，形成结论．
数据记录：
初步分析：通过分析数据得两种菜苗的高度，（单位：）与已种菜苗天数均为一次函数关系．
问题解决：请根据上述材料完成下列问题．
（1）在平面直角坐标系中分别画出菜苗高度，（单位：）关于已种菜苗天数x（单位：天）的函数图象；
（2）求出关于x的函数关系式，并直接写出第18天甲种菜苗的高度；
（3）观察函数图象，据实践经验可得这两种菜苗均在菜苗高度达到左右时开花，请估计哪种菜苗先开花，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）与x的函数关系式为，第18天甲种菜苗的高度为
（3）甲种菜苗先开花，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据数据，应用描点法，即可求解，
（2）设，代入点，解得，，将代入，即可求解，
（3）根据两条直线的交点，确定达到相同高度后的图象始终在的图象上方，即可求解，
本题考查了，画一次函数图像，求一次函数解析式，从函数图像获取信息，解题的关键是：熟练掌握一次函数的性质．
【小问1详解】
解：（1）作图如解图；
【小问2详解】
解：设与x的函数关系式为，代入点，
得，解得，
∴与x的函数关系式为，
当时，，
∴第18天甲种菜苗的高度为
故答案为：与x的函数关系式为，第18天甲种菜苗的高度为，
【小问3详解】
（3）甲种菜苗先开花，理由如下：
由图象可知，当甲，乙两种菜苗高度相同时（即与的交点处）都未达到的高度，
达到相同高度后的图象始终在的图象上方，
∴甲种菜苗比乙种菜苗先达到高度，
故答案为：甲种菜苗先开花．
20. 阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
任务：
（1）若在图①中，点C为上靠近点B的黄金分割点，，求的长；
（2）请写出阅读材料中剩余证明过程；
（3）如图③，在中，，，平分，请你证明点D是的黄金分割点．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，黄金分割，反比例函数和几何综合，
（1）设，根据题意得到，求出；
（2）表示出点C的坐标为，得到，求出，进而求解即可；
（3）首先证明出，得到，然后等量代换求解即可．
【小问1详解】
解：∵点C为上靠近点B的黄金分割点，设，
∴，整理，得，
解得，（不符合题意，舍去），
∴，即；
【小问2详解】
解：剩余证明过程如下：
∴
∵，
∴，
∴点C的坐标为
∵点A，C都在该反比例函数的图象上，
∴，
解得（负值已舍去），
∴与的比为黄金比；
【小问3详解】
证明：∵，，
∴
∵平分，
∴．
∵，，
∴，
∴，即．
∵，，
∴，，
∴，则，即，
∴点D是的黄金分割点．
21. 如图①是公园的一种健身器材，由底座、摇杆、踏板杆、尾杆组成，图②是其侧面结构示意图．已知， ，，测得，摇杆 绕点B转动，且点C，D，E是可转动点，小亮踩动踏板，使，顺时针旋转一定角度，已知旋转后点距地面高度为，摇杆与踏板杆的夹角∠，摇杆与 的夹角，求点到地面的距离（结果保留一位小数．参考数据：，，）．

【答案】点到地面的距离约为
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作于点G，过点作于点H，于点I，交AC于点J，则四边形是矩形，既有，然后在中，得到，，然后中，利用解题即可．
详解】解：如解图，过点作于点G，过点作于点H，于点I，交于点J，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
∵∥，
∴，
在中， ，
∴，
∵由题意可得，
在中，
∴
∴．
答：点到地面的距离约为．

22. 综合与实践
问题情境：如图①，在矩形中，，沿对角线折叠矩形并展开，再沿对角线折叠矩形并展开，两次的折痕交于点O，点E是上一点，连接并延长交于点F，连接．
问题探究：
（1）请判断四边形的形状并说明理由；
问题解决：
（2）在图①基础上将矩形沿折叠得到图②，点A、C对应点分别为点、．
①请判断与的位置关系，并加以证明；
②连接，当线段的长最小时，请直接写出的长．
【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见解析；（2）①，证明见解析；②．
【解析】
【分析】（1）利用矩形的性质证明，，再根据对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解；
（2）①由折叠的性质，得，，由四边形是平行四边形，得到，再利用角的和与差即可得到；
②当折叠后点A的对应点落在上时，最小，此时线段的长最小，设，在中，由勾股定理，列式计算即可求解．
【详解】解：（1）四边形是平行四边形，
理由如下：∵在矩形中，O是对角线交点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）①，证明如下：
由（1）得四边形是平行四边形，
∴，
∴．
由折叠的性质，得，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，
由（2）①可知，，且根据折叠的性质，得，
连接，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，是平行四边形的对角线，
∴必然经过点O，且．
在中，，
且当点落在上时，，
∴当折叠后点A的对应点落在上时，最小，此时线段的长最小，
如图，设，
∴，，
矩形的对角线，
由折叠的性质可得，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∴，
∴，
∴当线段的长最小时，的长为．
【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了四边形中的平行四边形和矩形的性质和判定，涉及到的知识点还有对折，三角形的全等，勾股定理，解本题的关键是判断三角形全等和对折的性质，本题的难点是作辅助线．
23. 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A， B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线．
（1）求A，B两点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；
（2）若点P在x轴上方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），设点P的横坐标为m．
①已知点，当点P位于第一象限时，连接交于点E，若，求m的值；
②连接，，若是钝角三角形，请直接写出点P的横坐标的取值范围．
【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为，直线的函数表达式为
（2）①m的值为或；②或
【解析】
【分析】（1）先求出二次函数与坐标轴的交点坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）①过点D作x轴的垂线，交于点G，过点P作x轴的垂线交于点I．证明，得，则．利用一次函数图象上点的坐标特征求得，从而得出，，根据，求解即可得m值；
②分别以的中点为圆心，长为半径作圆，该圆与抛物线交于点P，证明，得，则．设点P坐标为，则，因为点P是x轴上方抛物线上的一个动点，则，求解即可．
【小问1详解】
解：令，
解得，
∵点A在点B左侧，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
当时，，
∴点C的坐标为，
设直线的函数表达式为，把点B的坐标，点C的坐标分别代入，得
，解得，
∴直线的函数表达式为；．
【小问2详解】
解：①如解图①，过点D作x轴的垂线，交于点G，过点P作x轴的垂线交于点I．
∴，
∴，
∴，
∴．
设点G的坐标为，
将点Ｇ的坐标代入得，
∴，
∴，
∴，
∵点P在抛物线上，且横坐标为m，
∴点P的坐标为，则点I的坐标为，
∵点P在第一象限，
∴，
∴，
解得，
∵点P位于第一象限，
∴，
∴当或时，均符合题意，
∴m的值为或；
②如解图②，③，分别以AB的中点为圆心，长为半径作圆，该圆与抛物线交于点P，则，过点P作轴于点M，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
设点P坐标为，则，
∵点P是x轴上方抛物线上的一个动点，
∴，
∴，解得（舍去）．
当时，解得，，
∴点P的横坐标为或，
由图可知，当点P从直角位置沿着抛物线向上移动至下一个直角位置前，此时点P始终在圆外，显然；
同理，当点P从直角位置沿着抛物线向下移动到A点或B点时停止，此时点P始终在圆内，显然．如解图②，
∵点B的坐标为，且点P不与点B重合，
∴当是钝角三角形时，点P的横坐标m的取值范围是；
如解图③，∵点A的坐标为，且点P不与点A重合，
∴当△ABP是钝角三角形时，点P的横坐标m的取值范围是．综上所述，点P的横坐标的取值范围是或．
【点睛】本题是二次函数与一次函数、相似三角形的综合题目，主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标、待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数交点问题，二次函数图象性质，相似三角形的判定与性质．解决本题第（2）②问的关键点在于当三角形为钝角三角形时，只有可能为钝角，故需找到为钝角时的临界值，即当．题中该三角形的一边是固定的，所以可利用直径所对圆周角为直角，作辅助圆，进而确定点P是直角时的位置．根据图形，当点P在圆外时，为锐角；当点P在圆内时，为钝角，再结合即可求解．款式
总销量
中位数
众数
A
50
5
c
B
50
b
6
C
a
10
12
已种菜苗天数x/天
0
2
4
6
8
10
…
甲种菜苗高度
6
9
12
15
18
21
…
乙种菜苗高度
15
16
17
18
19
20
…
黄金分割数
古希腊数学家欧多克索斯在公元前4世纪第一个系统研究了黄金分割这一问题，并建立起比例理论．如图①，点C把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比称为黄金比，该比值称为黄金分割数．黄金割在自然界、建筑学、美学等很多方面都有广泛应用，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏丰富的美学价值．
在反比例函数中也存在黄金分割．如图②，在反比例函数的图象中，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点A作轴，垂足为点B，过点B作的平行线与该反比例函数图象交于点C，过点C作轴，垂足为点D，则与的比为黄金比．
证明“与的比为黄金比”的过程如下：
∵轴，轴，
∴．
设点A的坐标为，与的比值为，
则，，．
∵，
∴，
∴，
∴，
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