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中考大题03 利用函数（方程）解决实际问题（7题型+必刷大题）-2024年中考数学二轮复习讲义（全国通用）
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这是一份中考大题03 利用函数（方程）解决实际问题（7题型+必刷大题）-2024年中考数学二轮复习讲义（全国通用），文件包含中考大题03利用函数方程解决实际问题7大题型原卷版docx、中考大题03利用函数方程解决实际问题7大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共107页， 欢迎下载使用。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
大题03 利用函数（方程）解决实际问题（7大题型）
函数（方程）解决实际问题在中考数学中出题类型比较广泛，选择题、填空题、解答题都有可能出现，解答题中常见题型为：最值问题、方案问题、几何图形问题等，并且对应难度中等，是属于占分较多的一类考点， 所以需要学生在复习这部分内容时，应扎实掌握好基础， 在书写计算步骤时注意细节，避免因为粗心而丢分.
题型一： 利用一次方程（函数）与不等式解决实际问题（最值）
1．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示
(1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？
(2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车________辆；
(3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
2．（2022·山东济宁·中考真题）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表：
(1)求甲、乙两种货车各用了多少辆；
(2)如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
1．（2023·江苏苏州·模拟预测）为响应教育部立德树人和“五育”并举的号召，学校举行班级篮球循环赛，比赛计分规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得−1分．
(1)小明班级篮球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么他们胜了几场，平了几场？
(2)第二轮从第一轮球队中选拔8个得分高的球队，仍然采取单循环赛，但每一场必须决出胜负．如果一个球队获胜x场，得分是y分，求y与x的函数关系式；
(3)为了文明比赛，学校规定，给无犯规的球队加4分；如果有犯规，按每3次扣1分计入该队的总分，循环赛结束得分在9分（含9分）以上的球队进入复赛．小明班级篮球队预计犯规次数是获胜次数的2倍，按这个计划实施，他们想进入复赛最少要胜多少场？
2．（2023·贵州·模拟预测）此京冬奥会吉祥物体现了中华文化的创盘和应用，冬奥会冰与雪的可爱化身“冰墩墩”“雪容融”成为热卖品，小星决定进货并销售，进货价和销售价如下表：
(1)小星第一次用1100元购进了“冰墩墩”“雪容融”两款吉祥物共30个，求“冰墩墩”“雪容融”各购进多少个？
(2)小星第二次进货时，商家规定“冰墩墩”进货数是量不得超过“雪容融”进货数量的一半，小星计划购进两款吉祥物共60个，应如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？
题型二： 利用一次方程（函数）与不等式解决实际问题（方案选择）
（2023·河南·中考真题）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）
(1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由．
(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价．
(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围．
1．（2023·云南昆明·模拟预测）某地要把248吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
(1)求大、小两种货车各用乡少辆？
(2)如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式，并请你设计出使总运费最少的货车调配方案，求出最少总运费．
2．（2023·浙江温州·三模）根据以下素材，探索完成任务：
题型三： 利用二元一次方程组与不等式解决实际问题（最值）
1．（2022·福建·中考真题）在学校开展“劳动创造美好生活”主题活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．
(1)采购组计划将经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，可购买绿萝和吊兰各多少盆？
(2)请帮规划组找出最省钱的购买方案，并求出购买两种绿植总费用的最小值．
2．（2023·湖北襄阳·中考真题）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：
针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．
(1)求m、n的值；
(2)五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（01．（2023·湖北襄阳·二模）我市某地盛产优质香菇和大米，为帮助农户打开销路，某超市购进香菇和大米帮助该地销售，相关信息如下表：
已知该超市购进10袋香菇和10袋大米共需780元，购进15袋香菇和5袋大米共需790元．
(1)求a与b的值；
(2)该超市五一期间购进香菇和大米共1000袋，并在五一期间全部销售完，其中销售香菇不少于400袋且不超过600袋，设销售香菇x袋（x为整数），总获利为y元，求y的最大值；
(3)该超市商议决定：在（2）的条件下，每销售一袋香菇和大米，分别提取2m元和mm>0元作为爱心基金用于资助该地区贫困生．因为特殊情况，每袋香菇和大米少提了t元，超市最后所得总利润为13250元，若t的值不大于1，求m的最大值．
2．（2023·浙江温州·二模）根据以下素材，探索完成任务
题型四： 利用二元一次方程组与不等式解决实际问题（方案选择）
1．（2023·辽宁·中考真题）某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元
(1)求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元；
(2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？
2．（2022·四川绵阳·中考真题）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
请解答下列问题：
(1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？
(2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
3．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）某工厂准备生产A和B两种防疫用品，已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题：
(1)求A，B两种防疫用品每箱的成本；
(2)该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？
(3)为扩大生产，厂家欲拿出与（2）中最低成本相同的费用全部用于购进甲和乙两种设备（两种都买）．若甲种设备每台2500元，乙种设备每台3500元，则有几种购买方案？最多可购买甲，乙两种设备共多少台？（请直接写出答案即可）
1．（2022·湖南长沙·三模）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用50两银子买牛和羊共20只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两可以有剩余，请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案．
2．（2022·陕西西安·模拟预测）某汽车4s店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出了2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元；本周结束时售出了3辆A型车和2辆B型车，销售额为106万元．
(1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元；
(2)甲公司计划向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车至少购买1辆，购车费不少于130万元，请问有哪几种购车方案？
3．（2022·内蒙古通辽·模拟预测）某商店销售A、B两种品牌书包.已知购买1个A品牌书包和2个B品牌书包共需550元；购买2个A品牌书包和1个B品牌书包共需500元．
(1)求这两种书包的单价．
(2)某校准备购买同一种品牌的书包m(m>10)个，该商店对这两种品牌的书包给出优惠活动：A种品牌的书包按原价的八折销售；若购买B种品牌的书包10个以上，则超出部分按原价的五折销售．
①设购买A品牌书包的费用为w1元，购买B品牌书包的费用为w2元，请分别求出w1，w2与m的函数关系式；
②根据以上信息，试说明学校购买哪种品牌书包更省钱．
题型五： 分式方程
1．（2023·江苏盐城·中考真题）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．
(1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价．
(2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买m本硬面笔记本（m为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价．
2．（2023·山东烟台·中考真题）中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的34，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
(1)求两种图书的单价分别为多少元？
(2)为等备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？
1．（2023·河南周口·模拟预测）某小区拟对地下车库进行喷涂规划，每个燃油车位的占地面积比每个新能源车位的占地面积多5平方米，喷涂燃油车位每平方米的费用为20元，喷涂新能源车位每平方米的费用为40元（含充电桩喷涂）．已知用150平方米建燃油车位的个数恰好是用120平方米建新能源车位个数的56．
(1)求每个燃油车位，新能源车位占地面积各为多少平方米？
(2)该小区拟混建燃油车位和新能源车位共200个，且新能源车位的数量不少于燃油车位数量的3倍．规划燃油车位，新能源车位各多少个，才能使喷涂总费用最少？费用最少为多少？
2．（2023·重庆万州·模拟预测）随着全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，重庆一些传统汽车零部件生产工厂也开始转型生产新能源汽车零部件．某汽车零部件生产厂的甲车间有工人20名，乙车间有工人30名，因接到加急生产一批新能源汽车零部件的任务，所以工厂新增15名工人分配到甲、乙两个车间，分配后甲车间的总人数为分配后乙车间总人数的67．
(1)新分配到甲车间的人数有多少人？
(2)因为甲车间使用的是改良后的新设备，所以甲车间每名工人每天生产的零件数量为乙车间每名工人每天生产的零件数量的1.4倍．新增工人后，甲车间生产42000个零件的天数比乙车间生产42000个零件的天数少用4天，则乙车间每名工人每天生产零件多少个？
3．（2023·重庆铜梁·模拟预测）五一当天，小潼和妈妈约定从欧鹏中央公园出发，沿相同的路线去4320米外的滨江公园，已知妈妈步行的速度是小潼的1.2倍．
(1)若小潼先出发12分钟，妈妈才从欧鹏中央公园出发，最终小潼和妈妈同时到达滨江公园，则妈妈的步行速度是每分钟多少米？
(2)粗心的妈妈到达滨江公园后，想起30分钟后公司有一个团建活动要参加，公司距离滨江公园2940米，妈妈马上从滨江公园出发赶往公司，她先以原速度步行一段时间后，又以150米/分钟的速度跑步前行，若妈妈不想迟到，则至少需要跑步多少分钟？
题型六： 利用二次方程（函数）解决实际问题
1．（2023·辽宁丹东·中考真题）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量ykg与每千克售价x（元）满足一次函数关系．
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
2．（2023·陕西·中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m2，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m，拱高PE=4m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE=EN．
方案二，抛物线型拱门的跨度ON'=8m，拱高P'E'=6m．其中，点N'在x轴上，P'E'⊥O'N'，O'E'=E'N'．
要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C'D'的面积记为S2，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上．现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'=3m时，S2=122m2，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1，S2的大小．
3．（2023·甘肃兰州·中考真题）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度ym与离起跳点A的水平距离xm之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．
1．（2023·贵州贵阳·模拟预测）贵州省政府近日宣布，从2023年8月1日起，将推出一系列旅游优惠政策，以激励更多游客到贵州旅游．某旅游景点为了响应政府号召，将对旅游团体购买门票实行优惠活动，决定在原定票价基础上每张降价40元，这样按原定票价需花费3600元购买的门票张数，现在只花费了2400元．
(1)求每张门票的原定票价；
(2)根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续两次降价后降为97.2元，求平均每次降价的百分率．
2．（2023·山东滨州·模拟预测）2023年“淄博烧烤”频频在各大社交平台登上热搜榜，它凭借“小饼烤炉加蘸料，灵魂烧烤三件套”迅速在社交媒体上走红，让无数游客不远千里来“打卡”．某烧烤店经销一种烤肉，已知一份烤肉的成本价为每份30元．市场调查发现，这种烤肉每天的销售量y（单位：份）与销售单价x（单位：份）有如下关系：y=−x+6030≤x≤60.设每天的销售利润为w元．
(1)求w与x之间的函数解析式；
(2)这种烤肉销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种烤肉的销售单价不高于48元，该商店销售这种烤肉每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
3．（2023·贵州黔东南·一模）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感。
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？
4．（23-24·河北邢台·模拟）随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图．
(1)喷水口A离地高度为0.35m，喷出的水柱在离喷水口水平距离为3m处达到最高，高度为0.8m，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处．
①以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，求出抛物线的解析式；
②求喷灌器底端O到点B的距离；
(2)现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形BCDE（如图3），其中高CD为0.5m．宽CB为0.8m．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高ℎm，使水柱落在花坛的上方DE边上，求h的取值范围．
5．（2023·河南商丘·模拟预测）如图是某悬索桥示意图，其建造原理是在两边高大的桥塔之间悬挂主索，再以相等的间隔从主索上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，主索DPC所在曲线的y与x之间近似满足函数关系y=ax−ℎ2+ka>0．
某实践小组经过测量，桥面AB中点M处上方点P为该悬索桥主索的最低点，MP=5m，MA=40m，塔桥AD高度为25m．
(1)求该悬索桥主索所在抛物线的解析式；
(2)若想在距离M点20米处设置两条吊索，求这两条吊索的总长度；
(3)厂家生产了一条长16.25m的吊索，应将该吊索安置在距A点多远的桥面上？
题型七： 利用方程（函数）解决几何问题
1．（2023·黑龙江大庆·中考真题）某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC，AF:BF=3:4，点G、H、F分别是边AB、AC、BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设BF=x米，BE=y米．
(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．
2．（2023·山东·中考真题）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米．
(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
(2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
3．（2023·甘肃武威·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，点M是BC边上的一个动点（点M与点C不重合），连接AM，过点M作MN⊥AM，垂足为点M，MN交CD或CD的延长线于点N．
(1)若AB=6，BC=8．
①当BM=6时，CN=__________________；
②已知点E是CD边的中点，当点M在BC边上运动时，MN能不能经过点E？若能，求出BM的长度；若不能，请说明理由；
(2)若AB=6，BC=b．当点M在BC边上运动时，求使得下列两个条件都成立的b的取值范围：点N始终在CD边上；点M在某一位置时，点N恰好与点D重合．
1．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示
(1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？
(2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车________辆；
(3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
2．（2023·山东德州·模拟预测）用一段长为的50米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长25米．
(1)如图1，当菜园面积为300平方米时，求矩形菜园的长和宽．
(2)如图2，若菜园中间用一道篱笆隔开，这个菜园的长和宽各为多少时，面积最大，最大面积是多少?
(3)在（2）的条件下，农户准备种植A，B两种蔬菜，每平方米分别投入6元，8元．经计算，种植A种蔬菜每平方米可获利8元，种植B种蔬菜每平方米可获利12元，农户拿出1000元用来种植这两种蔬菜，设种植A种蔬菜x平方米，总获利y元．若要求A种蔬菜的种植面积不能少于B种蔬菜种植面积的2倍，当种植A种蔬菜多少平方米时，获得的利润最大?并求出最大利润．
3．（2023·贵州黔东南·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8 m，BC=6 m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．
(1)当点P移动时间为2秒时，△PCQ的面积为多少？
(2)点P移动多少秒时，△PCQ的面积为8m2？
(3)在点P、Q的运动过程中，△PCQ的面积是否会达到10m2？为什么？
4．（2023·吉林白城·模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC=2cm．P，Q两点分别从A，C同时出发，点P以3cm/s的速度沿折线AB−BC向终点C匀速运动：点Q在CA上以3cm/s的速度向终点A匀速运动．过点P作PM⊥AC于点M，以PM、QM为邻边作矩形PMQN．设点P的运动时间为x(s)，矩形PMQN的面积为y(cm)2．（注：线段看成面积为0cm2的矩形）
(1)当点P与点N重合时，x=＿＿＿．
(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
(3)在整个运动过程中，当PN=3NQ时，直接写出x的值．
1．（2023·吉林松原·三模）如图，由图中的数据，求面积S和高ℎ．
2．（2023·贵州遵义·模拟预测）康乃馨是母爱之花，百合花代表感恩和祝福．小强用压岁钱在花店给妈妈订了一束花作为生日礼物，这束花由若干支康乃馨和百合花组成，如图是购买这束花的收款收据（部分数据已用字母替代），请解答下列问题：
(1)在收款收据中，a的值是______，b的值是______，c的值是______；
(2)小刚准备到这个花店，用不超过200元钱为妈妈订一束花，他想自己搭配这两种花的数量，用康乃馨与百合花共24支，其中百合花数量不低于康乃馨数量的13．如何搭配费用最少？最少费用为多少元？
3．（2023·重庆·模拟预测）在“315”到来之际，欣欣文具店开展促销活动，所有文具降价销售．笔记本的单价比钢笔的单价少10元(两种文具的单价均为整数)，购买笔记本和钢笔共7件刚好170元．
(1)求笔记本、钢笔的单价分别是多少元；
(2)某校初三年级为了奖励进步学生，现计划用19318元(不超过预算)购买这两种文具共800件，且钢笔的数量不少于笔记本数量的23．请你帮助该校初三年级设计最省钱的购买方案，并通过计算说明．
4．（2023·安徽·模拟预测）渡江战役纪念馆位于巢湖之滨，犹如一艘乘风破浪的巨型战舰．据统计：2023年2月份接待人数为30000人，4月份增加到36300人，求2月份到4月份接待人数的月平均增长率；如果接待人数继续保持这个增长率不变，预测6月份接待人数能否突破43500人？
5.（2023·吉林长春·模拟预测）小明和小白两位男同学进行跳绳锻炼．已知小明每分钟比小白多跳20次，同样跳绳300次，小明所花时间是小白的89，假设两人各自跳绳的平均速度不变．如果平均每分钟跳绳次数不低于157次，则达到中考体育跳绳满分标准，请通过计算说明小明和小白是否达到中考体育跳绳满分标准．
6．（2023·吉林长春·模拟预测）如果一个人匀速慢跑，他跑步消耗的热量与跑步时间可近似的看成一次函数关系．小风和小云两名同学同时开始匀速慢跑，小风在中途休息了一段时间，然后继续以之前完全相同的状态匀速慢跑，小云一直进行匀速慢跑．设小云慢跑的时间为x（单位：分钟），小风和小云消耗的热量总和为y（单位：卡路里），图中表示整个运动过程中y与x之间的函数关系．
(1)m=______ ；
(2)求小风在中途休息时y与x之间的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；
(3)如果消耗的热量达到770卡路里视为运动量达标，则小风运动量达标时，x=______ ；小云运动量达标时，x=______
7．（2023·安徽合肥·模拟预测）某水果店去年2月至5月份销售甲乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价y1与月份x之间存在的反比例函数关系如表所示．
甲种水果进价为3元/千克，销售量P（千克）与x之间满足关系式P=20x；乙种水果每月售价y2与月份x之间满足y2=ax2+bx+4，对应的图象如图所示．乙种水果进价为3.5元/千克，平均每月销售160千克．
(1)求y1与x之间的函数关系式；
(2)求y2与x之间的函数关系式；
(3)若水果店销售水果时需要缴纳0.2元/千克的税费，问该水果店哪个月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是多少？
8．（2023·宁夏银川·模拟预测）如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为x轴、西侧的坡底为原点建立平面直角坐标系，山坡近似满足函数表达式y=−140x2+94x，无人机从西侧距坡底O为10米处的B点起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹近似满足抛物线y=−150x2+bx+c，当无人机飞越坡底上空时(即点D，与地面的距离为20米．
(1)求无人机飞行轨迹的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，求无人机与山坡的竖直距离d；
(3)由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近．当无人机与山坡的竖直距离大于9米时，无人机飞行才是安全的，请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由．
9．（2023·河南周口·模拟预测）如图，森林公园的移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线．图2是喷灌架工作的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是0.5米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为5米时，达到最大高度3米；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=ax−ℎ2+k，其中xm是水流距喷水头的水平距离，ym是水流距地面的高度．
(1)求抛物线的解析式．
(2)草坪上距离喷水头水平距离为8米处有一棵高度为1.4米的小树AB，通过计算判断喷射水流能否恰好经过小树顶端；若不能，喷灌架需向后平移多少距离？
10．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．P、Q分别从A、B同时出发，当P、Q两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动．设运动的时间为ts．(t≥0)
(1)当t为何值时，PQ的长度等于5cm；
(2)求出S△BPQ关于t的函数解析式，计算P、Q出发几秒时，S△BPQ有最大值，并求出这个最大面积？
1．（2023·宁夏·中考真题）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．
(1)求两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲：5201.6x=175x+30，解得x=5，经检验x=5是原方程的解．
乙：520x=1.6×175x−30，解得x=65，经检验x=65是原方程的解．
则甲所列方程中的x表示_______，乙所列方程中的x表示_______；
(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？
2．（2023·湖南湘西·中考真题）2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元．
(1)求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？
(2)甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围．
(3)在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？
3．（2023·四川德阳·中考真题）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积4.82平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
(1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？
(2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
5．（2023·山东青岛·中考真题）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：
(1)第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？
(2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．
①请求出W与m的函数关系式；
②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
6．（2023·湖北黄冈·中考真题）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200≤x≤700；乙种蔬菜的种植成本为50元/m2．
(1)当x=___________m2时，y=35元/m2；
(2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
(3)学校计划今后每年在这1000m2土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%，当a为何值时，2025年的总种植成本为28920元？
7．（2023·江苏泰州·中考真题）某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润y（元）与一次性销售量x（千克）的函数关系如图所示．
(1)当一次性销售800千克时利润为多少元？
(2)求一次性销售量在1000～1750kg之间时的最大利润；
(3)当一次性销售多少千克时利润为22100元？
8．（2023·湖南益阳·中考真题）某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益yA（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：yA=25x，投资B项目一年后的收益yB（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：yB=−15x2+2x．
(1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？
(2)若对A，B两个项目投入相同的资金m（m>0）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？
(3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
9．（2023·山东·中考真题）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置OA的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点M处，另一端与路面的垂直高度NC为1.8米，且与喷泉水流的水平距离ND为0.3米．点C到水池外壁的水平距离CE=0.6米，求步行通道的宽OE．（结果精确到0.1米）参考数据：2≈1.41
10．（2023·广东深圳·中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB=3m，BC=4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图，抛物线AED的顶点E0,4，求抛物线的解析式；
(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL=NR=0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；
(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为BK，求BK的长．
甲型客车
乙型客车
载客量/（人/辆）
45
30
租金/（元/辆）
400
280
货车类型
载重量（吨/辆）
运往A地的成本（元/辆）
运往B地的成本（元/辆）
甲种
16
1200
900
乙种
12
1000
750
求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．
类别
价格
冰墩墩
雪容融
进货价（元/个）
40
30
销售价（元/个）
56
45
先根据已知条件得到方程，再根据未知数之间的关系得到多种方案，选择最优方案进行解题.
一般答题思路: ①根据题意列方程;
②用含未知数的式子分别表示出几个未知的量;
③根据题意求自变量的取值范围;
④根据题意列出符合题意的方案;选择最优方案。
运往地车型
甲地（元/辆）
乙地（元/辆）
大货车
620
700
小货车
400
550
如何制定订餐方案？
素材1
某班级组织春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，现有A、B两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示：
套餐类别
套餐单价
团体订购优惠方案
A：米饭套餐
30元
方案一：A套餐满20份及以上打9折；
方案二：B套餐满12份及以上打8折；
方案三：总费用满850元立减110元．
B：面食套餐
25元
温馨提示：方案三不可与方案一、方案二叠加使用．
素材2
该班级共31位同学，每人都从A、B两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定A或B套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元．
问题解决
任务1
计算选择人数
已经确定套餐的20人中，分别有多少人选择A套餐和B套餐？
任务2
分析变量关系
设两种套餐皆可的同学中有m人选择A套餐，该班订餐总费用为w元，当全班选择A套餐人数不少于20人时，请求出w与m之间的函数关系式．
任务3
制定最优方案
要使得该班订餐总费用最低，则A、B套餐应各订多少份？并求出最低总费用．
次数
数量（支）
总成本（元）
海鲜串
肉串
第一次
3000
4000
17000
第二次
4000
3000
18000
商品
规格
批发价（元/袋）
销售价（元/袋）
香菇
1kg/袋
a
55
大米
10kg/袋
b
少于500袋的部分
不少于500袋的部分
55
50
如何设计购买方案？
素材1
某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元．
素材2
由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．
问题解决
任务1
确定场馆门票价格
求A场馆和B场馆的门票价格．
任务2
探究经费的使用
若购买A场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．
任务3
拟定购买方案
若购买门票总预算为1100元，在不超额的前提下，要让去A场馆的人数尽量的多，请你设计一种购买方案．
购买方案
门票类型
A
B
C
购买数量
水果品种
梨子
菠萝
苹果
车厘子
批发价格（元/kg）
4
5
6
40
零售价格（元/kg）
5
6
8
50
用分式方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;+
1）检验所求的解是否是所列分式方程的解【易忽略】.
2）检验所求的解是否符合实际意义.
答：实际问题的答案.
与分式方程有关应用题的常见类型：
与一元二次方程有关应用题的常见类型：
1）变化率问题
解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即：
2）利润和利润率问题
在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%.
3)分裂（传播）问题
解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解.
①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2.
②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x
个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2.
4）碰面问题（循环）问题
① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m，则m = 12n（n－1）
② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m，则m = n（n－1）
利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。
利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。
【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意.
常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)．
常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)．
常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)．
利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。
【注意】自变量的取决范围。
利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．
甲型客车
乙型客车
载客量/（人/辆）
45
30
租金/（元/辆）
400
280
时间x/月份
2
3
4
5
售价y1 /（元/千克）
12
8
6
4.8
品名
A
B
进价（元/件）
45
60
售价（元/件）
66
90
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
大题03 利用函数（方程）解决实际问题（7大题型）
函数（方程）解决实际问题在中考数学中出题类型比较广泛，选择题、填空题、解答题都有可能出现，解答题中常见题型为：最值问题、方案问题、几何图形问题等，并且对应难度中等，是属于占分较多的一类考点， 所以需要学生在复习这部分内容时，应扎实掌握好基础， 在书写计算步骤时注意细节，避免因为粗心而丢分.
题型一： 利用一次方程（函数）与不等式解决实际问题（最值）
1．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示
(1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？
(2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车________辆；
(3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
2．（2022·山东济宁·中考真题）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表：
(1)求甲、乙两种货车各用了多少辆；
(2)如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
1．（2023·江苏苏州·模拟预测）为响应教育部立德树人和“五育”并举的号召，学校举行班级篮球循环赛，比赛计分规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得−1分．
(1)小明班级篮球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么他们胜了几场，平了几场？
(2)第二轮从第一轮球队中选拔8个得分高的球队，仍然采取单循环赛，但每一场必须决出胜负．如果一个球队获胜x场，得分是y分，求y与x的函数关系式；
(3)为了文明比赛，学校规定，给无犯规的球队加4分；如果有犯规，按每3次扣1分计入该队的总分，循环赛结束得分在9分（含9分）以上的球队进入复赛．小明班级篮球队预计犯规次数是获胜次数的2倍，按这个计划实施，他们想进入复赛最少要胜多少场？
2．（2023·贵州·模拟预测）此京冬奥会吉祥物体现了中华文化的创盘和应用，冬奥会冰与雪的可爱化身“冰墩墩”“雪容融”成为热卖品，小星决定进货并销售，进货价和销售价如下表：
(1)小星第一次用1100元购进了“冰墩墩”“雪容融”两款吉祥物共30个，求“冰墩墩”“雪容融”各购进多少个？
(2)小星第二次进货时，商家规定“冰墩墩”进货数是量不得超过“雪容融”进货数量的一半，小星计划购进两款吉祥物共60个，应如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？
题型二： 利用一次方程（函数）与不等式解决实际问题（方案选择）
（2023·河南·中考真题）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）
(1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由．
(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价．
(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围．
1．（2023·云南昆明·模拟预测）某地要把248吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
(1)求大、小两种货车各用乡少辆？
(2)如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式，并请你设计出使总运费最少的货车调配方案，求出最少总运费．
2．（2023·浙江温州·三模）根据以下素材，探索完成任务：
题型三： 利用二元一次方程组与不等式解决实际问题（最值）
1．（2022·福建·中考真题）在学校开展“劳动创造美好生活”主题活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．
(1)采购组计划将经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，可购买绿萝和吊兰各多少盆？
(2)请帮规划组找出最省钱的购买方案，并求出购买两种绿植总费用的最小值．
2．（2023·湖北襄阳·中考真题）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：
针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．
(1)求m、n的值；
(2)五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（0
已知该超市购进10袋香菇和10袋大米共需780元，购进15袋香菇和5袋大米共需790元．
(1)求a与b的值；
(2)该超市五一期间购进香菇和大米共1000袋，并在五一期间全部销售完，其中销售香菇不少于400袋且不超过600袋，设销售香菇x袋（x为整数），总获利为y元，求y的最大值；
(3)该超市商议决定：在（2）的条件下，每销售一袋香菇和大米，分别提取2m元和mm>0元作为爱心基金用于资助该地区贫困生．因为特殊情况，每袋香菇和大米少提了t元，超市最后所得总利润为13250元，若t的值不大于1，求m的最大值．
2．（2023·浙江温州·二模）根据以下素材，探索完成任务
题型四： 利用二元一次方程组与不等式解决实际问题（方案选择）
1．（2023·辽宁·中考真题）某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元
(1)求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元；
(2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？
2．（2022·四川绵阳·中考真题）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
请解答下列问题：
(1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？
(2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
3．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）某工厂准备生产A和B两种防疫用品，已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题：
(1)求A，B两种防疫用品每箱的成本；
(2)该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？
(3)为扩大生产，厂家欲拿出与（2）中最低成本相同的费用全部用于购进甲和乙两种设备（两种都买）．若甲种设备每台2500元，乙种设备每台3500元，则有几种购买方案？最多可购买甲，乙两种设备共多少台？（请直接写出答案即可）
1．（2022·湖南长沙·三模）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用50两银子买牛和羊共20只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两可以有剩余，请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案．
2．（2022·陕西西安·模拟预测）某汽车4s店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出了2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元；本周结束时售出了3辆A型车和2辆B型车，销售额为106万元．
(1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元；
(2)甲公司计划向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车至少购买1辆，购车费不少于130万元，请问有哪几种购车方案？
3．（2022·内蒙古通辽·模拟预测）某商店销售A、B两种品牌书包.已知购买1个A品牌书包和2个B品牌书包共需550元；购买2个A品牌书包和1个B品牌书包共需500元．
(1)求这两种书包的单价．
(2)某校准备购买同一种品牌的书包m(m>10)个，该商店对这两种品牌的书包给出优惠活动：A种品牌的书包按原价的八折销售；若购买B种品牌的书包10个以上，则超出部分按原价的五折销售．
①设购买A品牌书包的费用为w1元，购买B品牌书包的费用为w2元，请分别求出w1，w2与m的函数关系式；
②根据以上信息，试说明学校购买哪种品牌书包更省钱．
题型五： 分式方程
1．（2023·江苏盐城·中考真题）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．
(1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价．
(2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买m本硬面笔记本（m为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价．
2．（2023·山东烟台·中考真题）中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的34，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
(1)求两种图书的单价分别为多少元？
(2)为等备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？
1．（2023·河南周口·模拟预测）某小区拟对地下车库进行喷涂规划，每个燃油车位的占地面积比每个新能源车位的占地面积多5平方米，喷涂燃油车位每平方米的费用为20元，喷涂新能源车位每平方米的费用为40元（含充电桩喷涂）．已知用150平方米建燃油车位的个数恰好是用120平方米建新能源车位个数的56．
(1)求每个燃油车位，新能源车位占地面积各为多少平方米？
(2)该小区拟混建燃油车位和新能源车位共200个，且新能源车位的数量不少于燃油车位数量的3倍．规划燃油车位，新能源车位各多少个，才能使喷涂总费用最少？费用最少为多少？
2．（2023·重庆万州·模拟预测）随着全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，重庆一些传统汽车零部件生产工厂也开始转型生产新能源汽车零部件．某汽车零部件生产厂的甲车间有工人20名，乙车间有工人30名，因接到加急生产一批新能源汽车零部件的任务，所以工厂新增15名工人分配到甲、乙两个车间，分配后甲车间的总人数为分配后乙车间总人数的67．
(1)新分配到甲车间的人数有多少人？
(2)因为甲车间使用的是改良后的新设备，所以甲车间每名工人每天生产的零件数量为乙车间每名工人每天生产的零件数量的1.4倍．新增工人后，甲车间生产42000个零件的天数比乙车间生产42000个零件的天数少用4天，则乙车间每名工人每天生产零件多少个？
3．（2023·重庆铜梁·模拟预测）五一当天，小潼和妈妈约定从欧鹏中央公园出发，沿相同的路线去4320米外的滨江公园，已知妈妈步行的速度是小潼的1.2倍．
(1)若小潼先出发12分钟，妈妈才从欧鹏中央公园出发，最终小潼和妈妈同时到达滨江公园，则妈妈的步行速度是每分钟多少米？
(2)粗心的妈妈到达滨江公园后，想起30分钟后公司有一个团建活动要参加，公司距离滨江公园2940米，妈妈马上从滨江公园出发赶往公司，她先以原速度步行一段时间后，又以150米/分钟的速度跑步前行，若妈妈不想迟到，则至少需要跑步多少分钟？
题型六： 利用二次方程（函数）解决实际问题
1．（2023·辽宁丹东·中考真题）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量ykg与每千克售价x（元）满足一次函数关系．
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
2．（2023·陕西·中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m2，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m，拱高PE=4m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE=EN．
方案二，抛物线型拱门的跨度ON'=8m，拱高P'E'=6m．其中，点N'在x轴上，P'E'⊥O'N'，O'E'=E'N'．
要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C'D'的面积记为S2，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上．现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'=3m时，S2=122m2，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1，S2的大小．
3．（2023·甘肃兰州·中考真题）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度ym与离起跳点A的水平距离xm之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．
1．（2023·贵州贵阳·模拟预测）贵州省政府近日宣布，从2023年8月1日起，将推出一系列旅游优惠政策，以激励更多游客到贵州旅游．某旅游景点为了响应政府号召，将对旅游团体购买门票实行优惠活动，决定在原定票价基础上每张降价40元，这样按原定票价需花费3600元购买的门票张数，现在只花费了2400元．
(1)求每张门票的原定票价；
(2)根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续两次降价后降为97.2元，求平均每次降价的百分率．
2．（2023·山东滨州·模拟预测）2023年“淄博烧烤”频频在各大社交平台登上热搜榜，它凭借“小饼烤炉加蘸料，灵魂烧烤三件套”迅速在社交媒体上走红，让无数游客不远千里来“打卡”．某烧烤店经销一种烤肉，已知一份烤肉的成本价为每份30元．市场调查发现，这种烤肉每天的销售量y（单位：份）与销售单价x（单位：份）有如下关系：y=−x+6030≤x≤60.设每天的销售利润为w元．
(1)求w与x之间的函数解析式；
(2)这种烤肉销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种烤肉的销售单价不高于48元，该商店销售这种烤肉每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
3．（2023·贵州黔东南·一模）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感。
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？
4．（23-24·河北邢台·模拟）随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图．
(1)喷水口A离地高度为0.35m，喷出的水柱在离喷水口水平距离为3m处达到最高，高度为0.8m，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处．
①以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，求出抛物线的解析式；
②求喷灌器底端O到点B的距离；
(2)现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形BCDE（如图3），其中高CD为0.5m．宽CB为0.8m．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高ℎm，使水柱落在花坛的上方DE边上，求h的取值范围．
5．（2023·河南商丘·模拟预测）如图是某悬索桥示意图，其建造原理是在两边高大的桥塔之间悬挂主索，再以相等的间隔从主索上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，主索DPC所在曲线的y与x之间近似满足函数关系y=ax−ℎ2+ka>0．
某实践小组经过测量，桥面AB中点M处上方点P为该悬索桥主索的最低点，MP=5m，MA=40m，塔桥AD高度为25m．
(1)求该悬索桥主索所在抛物线的解析式；
(2)若想在距离M点20米处设置两条吊索，求这两条吊索的总长度；
(3)厂家生产了一条长16.25m的吊索，应将该吊索安置在距A点多远的桥面上？
题型七： 利用方程（函数）解决几何问题
1．（2023·黑龙江大庆·中考真题）某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC，AF:BF=3:4，点G、H、F分别是边AB、AC、BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设BF=x米，BE=y米．
(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．
2．（2023·山东·中考真题）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米．
(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
(2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
3．（2023·甘肃武威·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，点M是BC边上的一个动点（点M与点C不重合），连接AM，过点M作MN⊥AM，垂足为点M，MN交CD或CD的延长线于点N．
(1)若AB=6，BC=8．
①当BM=6时，CN=__________________；
②已知点E是CD边的中点，当点M在BC边上运动时，MN能不能经过点E？若能，求出BM的长度；若不能，请说明理由；
(2)若AB=6，BC=b．当点M在BC边上运动时，求使得下列两个条件都成立的b的取值范围：点N始终在CD边上；点M在某一位置时，点N恰好与点D重合．
1．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示
(1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？
(2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车________辆；
(3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
2．（2023·山东德州·模拟预测）用一段长为的50米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长25米．
(1)如图1，当菜园面积为300平方米时，求矩形菜园的长和宽．
(2)如图2，若菜园中间用一道篱笆隔开，这个菜园的长和宽各为多少时，面积最大，最大面积是多少?
(3)在（2）的条件下，农户准备种植A，B两种蔬菜，每平方米分别投入6元，8元．经计算，种植A种蔬菜每平方米可获利8元，种植B种蔬菜每平方米可获利12元，农户拿出1000元用来种植这两种蔬菜，设种植A种蔬菜x平方米，总获利y元．若要求A种蔬菜的种植面积不能少于B种蔬菜种植面积的2倍，当种植A种蔬菜多少平方米时，获得的利润最大?并求出最大利润．
3．（2023·贵州黔东南·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8 m，BC=6 m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．
(1)当点P移动时间为2秒时，△PCQ的面积为多少？
(2)点P移动多少秒时，△PCQ的面积为8m2？
(3)在点P、Q的运动过程中，△PCQ的面积是否会达到10m2？为什么？
4．（2023·吉林白城·模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC=2cm．P，Q两点分别从A，C同时出发，点P以3cm/s的速度沿折线AB−BC向终点C匀速运动：点Q在CA上以3cm/s的速度向终点A匀速运动．过点P作PM⊥AC于点M，以PM、QM为邻边作矩形PMQN．设点P的运动时间为x(s)，矩形PMQN的面积为y(cm)2．（注：线段看成面积为0cm2的矩形）
(1)当点P与点N重合时，x=＿＿＿．
(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
(3)在整个运动过程中，当PN=3NQ时，直接写出x的值．
1．（2023·吉林松原·三模）如图，由图中的数据，求面积S和高ℎ．
2．（2023·贵州遵义·模拟预测）康乃馨是母爱之花，百合花代表感恩和祝福．小强用压岁钱在花店给妈妈订了一束花作为生日礼物，这束花由若干支康乃馨和百合花组成，如图是购买这束花的收款收据（部分数据已用字母替代），请解答下列问题：
(1)在收款收据中，a的值是______，b的值是______，c的值是______；
(2)小刚准备到这个花店，用不超过200元钱为妈妈订一束花，他想自己搭配这两种花的数量，用康乃馨与百合花共24支，其中百合花数量不低于康乃馨数量的13．如何搭配费用最少？最少费用为多少元？
3．（2023·重庆·模拟预测）在“315”到来之际，欣欣文具店开展促销活动，所有文具降价销售．笔记本的单价比钢笔的单价少10元(两种文具的单价均为整数)，购买笔记本和钢笔共7件刚好170元．
(1)求笔记本、钢笔的单价分别是多少元；
(2)某校初三年级为了奖励进步学生，现计划用19318元(不超过预算)购买这两种文具共800件，且钢笔的数量不少于笔记本数量的23．请你帮助该校初三年级设计最省钱的购买方案，并通过计算说明．
4．（2023·安徽·模拟预测）渡江战役纪念馆位于巢湖之滨，犹如一艘乘风破浪的巨型战舰．据统计：2023年2月份接待人数为30000人，4月份增加到36300人，求2月份到4月份接待人数的月平均增长率；如果接待人数继续保持这个增长率不变，预测6月份接待人数能否突破43500人？
5.（2023·吉林长春·模拟预测）小明和小白两位男同学进行跳绳锻炼．已知小明每分钟比小白多跳20次，同样跳绳300次，小明所花时间是小白的89，假设两人各自跳绳的平均速度不变．如果平均每分钟跳绳次数不低于157次，则达到中考体育跳绳满分标准，请通过计算说明小明和小白是否达到中考体育跳绳满分标准．
6．（2023·吉林长春·模拟预测）如果一个人匀速慢跑，他跑步消耗的热量与跑步时间可近似的看成一次函数关系．小风和小云两名同学同时开始匀速慢跑，小风在中途休息了一段时间，然后继续以之前完全相同的状态匀速慢跑，小云一直进行匀速慢跑．设小云慢跑的时间为x（单位：分钟），小风和小云消耗的热量总和为y（单位：卡路里），图中表示整个运动过程中y与x之间的函数关系．
(1)m=______ ；
(2)求小风在中途休息时y与x之间的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；
(3)如果消耗的热量达到770卡路里视为运动量达标，则小风运动量达标时，x=______ ；小云运动量达标时，x=______
7．（2023·安徽合肥·模拟预测）某水果店去年2月至5月份销售甲乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价y1与月份x之间存在的反比例函数关系如表所示．
甲种水果进价为3元/千克，销售量P（千克）与x之间满足关系式P=20x；乙种水果每月售价y2与月份x之间满足y2=ax2+bx+4，对应的图象如图所示．乙种水果进价为3.5元/千克，平均每月销售160千克．
(1)求y1与x之间的函数关系式；
(2)求y2与x之间的函数关系式；
(3)若水果店销售水果时需要缴纳0.2元/千克的税费，问该水果店哪个月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是多少？
8．（2023·宁夏银川·模拟预测）如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为x轴、西侧的坡底为原点建立平面直角坐标系，山坡近似满足函数表达式y=−140x2+94x，无人机从西侧距坡底O为10米处的B点起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹近似满足抛物线y=−150x2+bx+c，当无人机飞越坡底上空时(即点D，与地面的距离为20米．
(1)求无人机飞行轨迹的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，求无人机与山坡的竖直距离d；
(3)由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近．当无人机与山坡的竖直距离大于9米时，无人机飞行才是安全的，请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由．
9．（2023·河南周口·模拟预测）如图，森林公园的移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线．图2是喷灌架工作的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是0.5米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为5米时，达到最大高度3米；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=ax−ℎ2+k，其中xm是水流距喷水头的水平距离，ym是水流距地面的高度．
(1)求抛物线的解析式．
(2)草坪上距离喷水头水平距离为8米处有一棵高度为1.4米的小树AB，通过计算判断喷射水流能否恰好经过小树顶端；若不能，喷灌架需向后平移多少距离？
10．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．P、Q分别从A、B同时出发，当P、Q两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动．设运动的时间为ts．(t≥0)
(1)当t为何值时，PQ的长度等于5cm；
(2)求出S△BPQ关于t的函数解析式，计算P、Q出发几秒时，S△BPQ有最大值，并求出这个最大面积？
1．（2023·宁夏·中考真题）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．
(1)求两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲：5201.6x=175x+30，解得x=5，经检验x=5是原方程的解．
乙：520x=1.6×175x−30，解得x=65，经检验x=65是原方程的解．
则甲所列方程中的x表示_______，乙所列方程中的x表示_______；
(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？
2．（2023·湖南湘西·中考真题）2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元．
(1)求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？
(2)甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围．
(3)在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？
3．（2023·四川德阳·中考真题）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积4.82平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
(1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？
(2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
5．（2023·山东青岛·中考真题）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：
(1)第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？
(2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．
①请求出W与m的函数关系式；
②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
6．（2023·湖北黄冈·中考真题）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200≤x≤700；乙种蔬菜的种植成本为50元/m2．
(1)当x=___________m2时，y=35元/m2；
(2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
(3)学校计划今后每年在这1000m2土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%，当a为何值时，2025年的总种植成本为28920元？
7．（2023·江苏泰州·中考真题）某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润y（元）与一次性销售量x（千克）的函数关系如图所示．
(1)当一次性销售800千克时利润为多少元？
(2)求一次性销售量在1000～1750kg之间时的最大利润；
(3)当一次性销售多少千克时利润为22100元？
8．（2023·湖南益阳·中考真题）某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益yA（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：yA=25x，投资B项目一年后的收益yB（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：yB=−15x2+2x．
(1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？
(2)若对A，B两个项目投入相同的资金m（m>0）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？
(3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
9．（2023·山东·中考真题）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置OA的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点M处，另一端与路面的垂直高度NC为1.8米，且与喷泉水流的水平距离ND为0.3米．点C到水池外壁的水平距离CE=0.6米，求步行通道的宽OE．（结果精确到0.1米）参考数据：2≈1.41
10．（2023·广东深圳·中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB=3m，BC=4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图，抛物线AED的顶点E0,4，求抛物线的解析式；
(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL=NR=0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；
(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为BK，求BK的长．
甲型客车
乙型客车
载客量/（人/辆）
45
30
租金/（元/辆）
400
280
货车类型
载重量（吨/辆）
运往A地的成本（元/辆）
运往B地的成本（元/辆）
甲种
16
1200
900
乙种
12
1000
750
求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．
类别
价格
冰墩墩
雪容融
进货价（元/个）
40
30
销售价（元/个）
56
45
先根据已知条件得到方程，再根据未知数之间的关系得到多种方案，选择最优方案进行解题.
一般答题思路: ①根据题意列方程;
②用含未知数的式子分别表示出几个未知的量;
③根据题意求自变量的取值范围;
④根据题意列出符合题意的方案;选择最优方案。
运往地车型
甲地（元/辆）
乙地（元/辆）
大货车
620
700
小货车
400
550
如何制定订餐方案？
素材1
某班级组织春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，现有A、B两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示：
套餐类别
套餐单价
团体订购优惠方案
A：米饭套餐
30元
方案一：A套餐满20份及以上打9折；
方案二：B套餐满12份及以上打8折；
方案三：总费用满850元立减110元．
B：面食套餐
25元
温馨提示：方案三不可与方案一、方案二叠加使用．
素材2
该班级共31位同学，每人都从A、B两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定A或B套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元．
问题解决
任务1
计算选择人数
已经确定套餐的20人中，分别有多少人选择A套餐和B套餐？
任务2
分析变量关系
设两种套餐皆可的同学中有m人选择A套餐，该班订餐总费用为w元，当全班选择A套餐人数不少于20人时，请求出w与m之间的函数关系式．
任务3
制定最优方案
要使得该班订餐总费用最低，则A、B套餐应各订多少份？并求出最低总费用．
次数
数量（支）
总成本（元）
海鲜串
肉串
第一次
3000
4000
17000
第二次
4000
3000
18000
商品
规格
批发价（元/袋）
销售价（元/袋）
香菇
1kg/袋
a
55
大米
10kg/袋
b
少于500袋的部分
不少于500袋的部分
55
50
如何设计购买方案？
素材1
某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元．
素材2
由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．
问题解决
任务1
确定场馆门票价格
求A场馆和B场馆的门票价格．
任务2
探究经费的使用
若购买A场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．
任务3
拟定购买方案
若购买门票总预算为1100元，在不超额的前提下，要让去A场馆的人数尽量的多，请你设计一种购买方案．
购买方案
门票类型
A
B
C
购买数量
水果品种
梨子
菠萝
苹果
车厘子
批发价格（元/kg）
4
5
6
40
零售价格（元/kg）
5
6
8
50
用分式方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;+
1）检验所求的解是否是所列分式方程的解【易忽略】.
2）检验所求的解是否符合实际意义.
答：实际问题的答案.
与分式方程有关应用题的常见类型：
与一元二次方程有关应用题的常见类型：
1）变化率问题
解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即：
2）利润和利润率问题
在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%.
3)分裂（传播）问题
解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解.
①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2.
②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x
个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2.
4）碰面问题（循环）问题
① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m，则m = 12n（n－1）
② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m，则m = n（n－1）
利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。
利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。
【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意.
常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)．
常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)．
常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)．
利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。
【注意】自变量的取决范围。
利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．
甲型客车
乙型客车
载客量/（人/辆）
45
30
租金/（元/辆）
400
280
时间x/月份
2
3
4
5
售价y1 /（元/千克）
12
8
6
4.8
品名
A
B
进价（元/件）
45
60
售价（元/件）
66
90
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