中考大题04 三角形的证明与计算问题（5题型+必刷大题）-2024年中考数学二轮复习讲义（全国通用）

这是一份中考大题04 三角形的证明与计算问题（5题型+必刷大题）-2024年中考数学二轮复习讲义（全国通用），文件包含中考大题04三角形的证明与计算问题5大题型原卷版docx、中考大题04三角形的证明与计算问题5大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共155页， 欢迎下载使用。

一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
大题04 三角形的证明与计算问题
在中考中，涉及三角形压轴题的相关题目单独出题的可能性还是比较大的，且三角形结合其它几何图形、函数出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，其中一线三等角与手拉手模型较为常见，属于是中考必考的中等偏上难度的考点.
题型一： 三角形角度计算的常考模型
1．（2021·吉林·中考真题）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．
（1）若AB=a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；
（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如图②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；
（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）贝贝在学习三角形章节内容时，对于三角形中的角度计算问题进行了如下探究：
在△ABC中，已知∠ABC=18°，∠C>∠B．
(1)如图1，若D为BC上一点．连接AD，将△ABD沿着AD进行翻折后得到△AB1D，若∠ADC=47°，求∠BDB1的大小；
(2)如图2，将△BEF沿EF翻折得到△B1EF，探究∠1，∠2之间的数量关系并说明理由．
(3)如图3，若D为直线BC上的动点，连接AD，将△ABD沿AD进行翻折后得到△AB1D，连接BB1．若△BDB1中存在50°的内角，则∠BAD的度数为______．
2．（2023内江六中二模）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．

(1)如果∠A=80°，求∠BPC的度数；
(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
(3)如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
3．（2023·山西太原·二模）如图，在凹四边形ABCD中，∠A=55°，∠B=30°，∠D=20°，求∠BCD的度数．

下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法：
方法一：作射线AC；
方法二：延长BC交AD于点E；
方法三：连接BD．
请选择上述一种方法，求∠BCD的度数．
题型二： 全等三角形的常考模型
1．（2023·贵州·中考真题）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB,∠C=90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上．

(1)【动手操作】
如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为_______度；
(2)【问题探究】
根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA,BP,BE之间的数量关系，并说明理由．
2．（2023·黑龙江·中考真题）如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE,DC和BC的中点，连接FG,FH．易证：FH=3FG．
若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，如图②：若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，如图③：其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

3．（2024沈阳大东区一模）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB=6，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围．

【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长AD到E，使得DE=AD；
②连接BE，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中；
③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB−BE方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（2）如图2，AD是△ABC的中线，AE是△ADC的中线，且AC=DC，∠CAD=∠CDA，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______．
①∠CAE=∠DAE ②AB=2AE ③∠DAE=∠DAB ④AE=AD
【问题拓展】
（3）如图3，OA=OB，OC=OD，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是AC的中点，求证：OE=12BD．
（4）如图4，在（3）的条件下，若∠AOB=90°，延长EO交BD于点F，OF=2，OE=4，则△AOC的面积是______．
1．（2024·广东汕头·一模）综合运用
(1)如图1，∠ACE=90°，顶点C在直线BD上，过点A作AB⊥BD于点B，过点E作ED⊥BD于点D，当BC=DE时，判断线段AC与CE的数量关系；（直接写出结果，不要求写解答过程）
(2)如图2，直线l1∶y=43x+4与坐标轴交于点A，B，将直线l1绕点B顺时针旋转45°至直线l2，求直线l2的函数解析式；
(3)如图3，四边形ABCO为长方形，其中O为坐标原点，点B的坐标为(8,−6)，点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，P是线段BC上的动点，D是直线y=−2x+6上的动点且在第四象限．若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
2．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图1，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，AB=BD，点F在BE上，AF=EF，∠ABD=∠AFE．
(1)在图1中找出与∠DBF相等的角并证明；
(2)求证：∠BFD=∠AFB；
(3)如图2，连接FD，点M在EF上，AF=kDF，∠EDF+∠MDF=180°，求AEMF．（用含k的代数式表示）
3．（2023·河南商丘·模拟预测）综合与实践
【操作发现】
甲、乙两位同学对“三角形中的中点问题”进行了讨论，过程如下：
（1）上述过程中的依据1是 ，依据2是 ．（填“SAS”“ASA”或“AAS”）
【类比迁移】
（2）如图4，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是DC的中点，连接AE，BE，AE平分∠BAD，请根据（1）中的方法，判断线段AD，AB，BC之间的数量关系，并说明理由．

【拓展应用】
（3）如图5，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，以A为顶点作Rt△ADE，使∠ADE=90°，∠EAD=∠CAB，AD=2，连接BE，F为线段BE的中点．将△ADE绕点A在平面内旋转，当DE∥BC时，请直接写出线段CF的长．

题型三： 相似三角形的常考模型
1．（2023·吉林长春·中考真题）如图①．在矩形ABCD．AB=3，AD=5，点E在边BC上，且BE=2．动点P从点E出发，沿折线EB−BA−AD以每秒1个单位长度的速度运动，作∠PEQ=90°，EQ交边AD或边DC于点Q，连续PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．（t>0）

(1)当点P和点B重合时，线段PQ的长为__________；
(2)当点Q和点D重合时，求tan∠PQE；
(3)当点P在边AD上运动时，△PQE的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；
(4)作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF、QF，当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围．
2．（2023·湖北荆州·中考真题）如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．
(1)如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；
(2)如图3，在Rt△APC中，∠A=90∘，AC>AP，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．
①确定△PCF的形状，并说明理由；
②若AP:PB=1:2，BF=2k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）．
3．（2023·四川·中考真题）如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC，以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC=30°．

(1)若∠BDC=90°，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB=90°，∠EBA=30°，连接DE，用等式表示线段AC与DE的数量关系是 ；
(2)如图2，在(1)的条件下，若DE⊥AB，AB=4，AC=2，求BC的长；
(3)如图3，若∠BCD=90°，AB=4，AC=2，当AD的值最大时，求此时tan∠CBA的值．
4．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，点D，E在以AC为直径的⊙O上，∠ADC的平分线交⊙O于点B，连接BA，EC，EA，过点E作EH⊥AC，垂足为H，交AD于点F．

(1)求证：AE2=AF⋅AD；
(2)若sin∠ABD=255,AB=5，求AD的长．
1．（2023·浙江湖州·模拟预测）如图a，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，连接CE．
(1)求证：△ABD∽△ACE；
(2)若ADBD=3，求sin∠CDE的值；
(3)将△ADE绕点A逆时针旋转一定的角度到△AD'E' (如图b)，若∠AE'B =30°，AE' = 5，CE' =6，求BE'的长．
2．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）【问题探究】
（1）如图1，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1=∠2，若PB=6，PC=3，PD=4，则PA的长为______ ；
（2）如图2，∠MON=120°，点P是∠MON平分线上的一个定点，点A、B分别在射线OM、ON上，且∠APB=60° ，求证：四边形OAPB的面积是定值；
【拓展运用】
（3）如图3，某创业青年小李租用一块形如四边形ABCD的田地养蜂、产蜜与售蜜，其中AD∥BC，∠B=90°，AB=120米，AD=60米，BC=110米，点E为入口，点E在AB上，且AE=AD，小李计划过点E修一条垂直于CD的笔直小路EF，将田地分为两部分，四边形AEFD区域为蜂巢区，四边形BCFE区域为蜂源植物生长区，在点F处设立售蜜点，为了方便取蜜，计划再沿AF修一条笔直的小路AF，直接写出小路AF的长（小路的宽度忽略不计，结果保留根号）
3．（2023·吉林长春·模拟预测）【知识点】三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心．
【解决问题】如图①，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，求证：GECE=GDAD=13；
【归纳】用文字语言叙述【解决问题】反映的关于三角形重心的性质；
【应用】如图②，在△ABC中，D是边BC的中点，过点G的直线分别交边AB、AC于点E、F，若AB=5，AC=3，BE=2，则CF= ．
4．（2023·四川眉山·一模）如图，在△ABC中，AB=AC，过点D作DF⊥AC，垂足于点F．

(1)求证：直线DF是⊙O的切线；
(2)若⊙O半径为4，∠CDF=15°，求阴影部分的面积；
(3)求证：BC2=4CF⋅AC．
题型四： 利用勾股定理解决三角形折叠问题
1．（2022·新疆·中考真题）如图，在ΔABC巾，∠ABC=30°，AB=AC，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将△ACD沿AD折叠得到ΔAED，连接BE．

(1)当AE⊥BC时，∠AEB=___________°；
(2)探究∠AEB与∠CAD之间的数量关系，并给出证明；
(3)设AC=4，△ACD的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式．
1．（2023·贵州贵阳·模拟预测）（1）【阅读理解】
如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线．试判断CD与AB的数量关系．
解决此问题可以用如下方法：
延长CD至点E，使DE=CD，连接AE，BE．易证四边形ACBE是矩形，得到AB=EC，即可作出判断．则CD与AB的数量关系为________．
（2）【问题探究】
如图②，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边的中点，连接CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB．若BC=2，求CE的长度．
（3）【拓展延伸】
如图③，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，D是边AB的中点，E，F分别是边AC，BC上的动点，且DE⊥DF，当点E从点A运动到点C时，EF的中点M所经过的路径长是多少？
2．（2023·广西南宁·二模）如图1，在直角三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．
【数学活动】
将三角形纸片ABC进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片ABC使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕DE；第二步：然后将△DEC绕点D顺时针方向旋转得到△DFG，点E，C的对应点分别是点F，G，直线GF与边AC交于点M（点M不与点A重合），与边AB交于点N．
【数学思考】
（1）折痕DE的长为 ；
（2）在△DEC绕点D旋转的过程中，试判断MF与ME的数量关系；并证明你的结论；
【数学探究】
（3）在△DEC绕点D旋转的过程中，探究下列问题：
①如图2，当直线GF经过点B时，AM的长为 ；
②如图3，当直线GF∥BC时，求AM的长；
【问题延伸】
（4）在△DEC绕点D旋转的过程中，连接AF，则AF的最小值为 ．
3．（2023·江苏泰州·二模）如图1，将Rt△ABC∠A=90°纸片按照下列图示方式折叠：①将△ABD沿BD折叠，使得点A落在BC边上的点M处，折痕为BD；②将△BEF沿EF折叠，使得点B与点D重合，折痕为EF；③将△DEF沿DF折叠，点E落在点E'处，展开后如图2，BD、PF、DF、DP为图1折叠过程中产生的折痕．
(1)求证：DP∥BC；
(2)若DE'落在DM的右侧，求∠C的范围；
(3)是否存在∠C使得DE与∠MDC的角平分线重合，如存在，请求∠C的大小；若不存在，请说明理由．
题型五： 全等三角形与相似三角形综合（几何模型）
1．（2023·江苏宿迁·中考真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即∠CEF=∠AEF）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离CD=1.7m，BE=20m，DE=2m，求建筑物AB的高度．

【活动探究】
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至E1处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE1=2m；再将镜子移动至E2处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出DE2=3.4m．经测得，小军的眼睛离地面距离CD=1.7m，BD=10m，求这个广告牌AG的高度．

【应用拓展】
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离CD=1.7m），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出DE=2.8m；③测出坡长AD=17m；④测出坡比为8:15（即tan∠ADG=815）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．

2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．

(1)发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：______，∠BDC=______°；
(2)类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：______；
(4)实践应用：正方形ABCD中，AB=2，若平面内存在点P满足∠BPD=90°，PD=1，则S△ABP=______．
3．（2023·江苏镇江·中考真题）【发现】如图1，有一张三角形纸片ABC，小宏做如下操作：

（1）取AB，AC的中点D，E，在边BC上作MN=DE；
（2）连接EM，分别过点D，N作DG⊥EM，NH⊥EM，垂足为G，H；
（3）将四边形BDGM剪下，绕点D旋转180°至四边形ADPQ的位置，将四边形CEHN剪下，绕点E旋转180°至四边形AEST的位置；
（4）延长PQ，ST交于点F．
小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：
①点Q，A，T在一条直线上；
②四边形FPGS是矩形；
③△FQT≌△HMN；
④四边形FPGS与△ABC的面积相等．
【任务1】请你对结论①进行证明．
【任务2】如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，P，Q分别是AB，CD的中点，连接PQ．求证：PQ=12AD+BC．
【任务3】如图3，有一张四边形纸ABCD，AD∥BC，AD=2，BC=8，CD=9，sin∠DCB=45，小丽分别取AB，CD的中点P，Q，在边BC上作MN=PQ，连接MQ，她仿照小宏的操作，将四边形ABCD分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求BM的长．
1．（2023·河南信阳·模拟预测）阅读理解：如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．
(1)解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中，即可判断．AB，AD，DC之间的等量关系为______；
(2)问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论；
(3)问题解决：如图3，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB，DF，CF之间的数量关系，直接写出你的结论．
2．（2023·江苏宿迁·模拟预测）（1）问题呈现：
如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．易知BDCE= ．
（2）类比探究
如图2，△ABC和△ADE都是Rt△，∠ABC=∠ADE=90°，且ABBC=ADDE=34．连接BD，CE，求BDCE的值；
（3）拓展提升：
如图3，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接BD，EC，延长EC交BD于点F，设AB=6，求EF的长．
3．（2023·江苏苏州·一模）如图①，矩形ABCD，E是BC上的一点，连接AE，过E作AE的垂线交矩形外角DCF的平分线于点G，ABBE=k．
(1)若E是BC边中点．
①求AEEG的值（用含k的代数式表示）．
②连接AG交CD于点H，连接EH，若∠AHE=90°，求k的值．
(2)若BEEC=m，请直接写出AEEG的值（用含k、m的代数式表示）．
(3)如图②，P为边CD上一点，连接AP，PG，∠PAE=45°，若BE=1，EC=2，且PG⊥EG，求PG的长．
1．（2023·贵州铜仁·模拟预测）如图1，矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
(1)求证：△OCP∽△PDA
(2)如图2，擦去折痕AO、线段OP，连接BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．探究：当点M、N在移动过程中，线段EF与线段PB有何数量关系？并说明理由．
2．（2024·广东·一模）在△ABC中，CA=CB，∠ACB=α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转a得到线段DP，连接AD，BD，CP．
(1)观察证明如图1，当α=60°时
①猜想BD与CP的数量关系为___________，并说明理由．
②直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是___________．
(2)类比猜想
如图2，当α=90°时，请直接写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数
(3)解决问题
当α=90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时ADCP的值．
3．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，△ABC中，CD⊥AB于D．AC=10cm，AD=8cm，点E在AC上，且CE=CD，连接DE，点F从点A出发，以2cm/s的速度沿AC边向终点C运动，过F作FG⊥AB于G，FH⊥CD于H，得到矩形FGDH，DE与矩形FGDH的边交于点M，连接DF，当点F不与点A、E、C重合时，设点F的运动时间为t(s)，△FDM的面积为Scm2．
(1)求AE的长；
(2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
4．（2023·吉林四平·模拟预测）【解决问题】如图①，在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，点E是边AB的中点，∠DEC=90°，求证：DE平分∠ADC．（提示：延长DE交射线CB于点F）
【应用】如图②，在矩形ABCD中，点F是边BC上的一点，将△ABF沿直线AF折叠，若点B落在边DC的中点E处，则sin∠BAF=______．
【拓展】在矩形ABCD中，AD>AB，点E为边AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠，得到△FBE，延长BF交直线CD于点G，直线EF交边BC于点H．若CG=1，DG=2，直接写出HF的长．
5．（2023·海南海口·模拟预测）如图1，在平行四边形ABCD中，AE=EC，AE⊥BC于E，CG⊥AB于G，交AE于F．
(1)①求证：△AEB≌△CEF；
②若AB=5，EF=5，求AD的长；
(2)如图2，若AF=2EF，求AGGB的值；
(3)如图3，平行四边形ABCD外部有一H点，连接AH、EH，满足EH∥AB，∠H=∠ACE，请直接写出AG、AH和CG三者的数量关系．
6．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，已知△ABC内接于⊙O，若∠BAC=60°，AD平分∠BAC交⊙O于D，交BC于点E．
(1)求证：BD2=AD⋅DE；
(2)若AB=43,AC=63，试求AD、DE的长．
1．（2023·山东·中考真题）如图，已知坐标轴上两点A0,4,B2,0，连接AB，过点B作BC⊥AB，交反比例函数y=kx在第一象限的图象于点C(a,1)．

(1)求反比例函数y=kx和直线OC的表达式；
(2)将直线OC向上平移32个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．
2．（2023·湖南郴州·中考真题）已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CE=AD，连接DE交射线AC于点F．

(1)如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；
(2)如图2，当点D在线段AB的延长线上时，
①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接AE．设AB=4，若∠AEB=∠DEB，求四边形BDFC的面积．
3．（2023·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF=∠ABC=αa≥90°,AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．

问题探究：
(1)先将问题特殊化，如图（2），当α=90°时，直接写出∠GCF的大小；
(2)再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．
问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当α=120°时，若DGCG=12，求BECE的值．
4．（2023·山东泰安·中考真题）如图，△ABC、△CDE是两个等腰直角三角形，EF⊥AD．

(1)当AF=DF时，求∠AED；
(2)求证：△EHG∽△ADG；
(3)求证：AEEH=ACHC．
三角形中角度计算的6种常考模型：
A字模型
8字模型
飞镖模型
老鹰抓小鸡模型（一）
∠1+∠2=∠A+180°
∠A+∠B=∠C+∠D
∠C=∠A+∠B+∠D
∠A+∠O=∠1+∠2
老鹰抓小鸡模型（二）
双角平分线模型（一）
双角平分线模型（二）
双角平分线模型（三）
∠A+∠O=∠2-∠1
∠D=90°+12∠A
∠D=90°- 12∠A
∠E=12∠A
三角形折叠模型（一）
三角形折叠模型（二）
三角形折叠模型（三）
∠2=2∠C
2∠C=∠1+∠2或 ∠C=12（∠1+∠2）
2∠C=∠2-∠1或 ∠C=12（∠2-∠1）
全等三角形的常考模型：
一线三等角模型
∆ABD≌∆BCE，DE=AD+EC
∆ABD≌∆BCE，DE=AD-EC
∆ADB≌∆DEC
∆ABC≌∆DBE
一线三等角模型
（同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD
（异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD
【手拉手模型】
解题步骤：①找共用顶点，确定“四只手”；
②连接对应端点；
③SAS证明全等.
【倍长中线模型】
【平行线中点模型与雨伞模型】
如图1，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是边AB上一点，连接ED．
甲同学；延长ED至点F，使DF=DE，连接CF，如图2所示．
∵D是BC的中点，∴BD=CD．
又∵DE=DF，∠BDE=∠CDF，∴△BDE≌△CDF．（依据1： ）
乙同学；过点C作AB的平行线交ED的延长线于点F，如图3所示．
∵CF∥AB，∴∠B=∠DCF．
又∵BD=CD，∠BDE=∠CDF，∴△BDE≌△CDF．（依据2： ）

【A字模型】
【8字模型】
【射影定理】
【一线三等角】
【线束模型】
【三角形内接矩形模型】
已知
图示
结论（性质）
若四边形DEFG为矩形，AN⊥BC
①∆ABC~∆ADG
②ADAB=AGAC=DGBC= AMAN
③若四边形DEFG为正方形
即DGBC= AMAN 若假设DG=x
则xBC= AN−xAN 若已知BC、AN长，即可求出x的值
【三平行模型】
已知
图示
结论（性质）
若AB∥EF∥CD
①1AB+1CD=1EF
②1S∆ABC+1S∆BCD=1S∆BEC
【手拉手模型-进阶】
【扩展一】如图，直线AB的同一侧作∆ABC和∆AMN都为等边三角形（A、B、N三点共线），连接BM、CN，两者相交于点E，则存在多组相似三角形.
【扩展二】如图，∆ABC和∆AMN都为等边三角形（A、B、N三点不共线），连接BM、CN，两者相交于点O，则存在多组相似三角形.
已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AC=5