压轴题03 几何背景下的线段最值问题（3题型+解题模板+技巧精讲）-2024年中考数学二轮复习讲义（全国通用）

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
压轴题解题模板03
几何背景下的线段最值问题
目 录
TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u
\l "_Tc161755284" 题型一 垂线段最短问题
\l "_Tc161755285" 题型二 将军饮马问题
\l "_Tc161755286" 题型三 旋转最值问题
题型一 垂线段最短问题
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A．B．C．3D．4
【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E是AB上任意一点．若CD＝5，则DE的最小值等于（ ）
A．2.5B．4C．5D．10
【变式1-2】如图,在AABC中,CACB=90°,AC=BC=4,点D是BC边的中点,点P是AC边上一个动点,连接PD,以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ,连接CQ.则CQ的最小值是( ）
A. 32 B.1 C. 2 D.32
题型二 将军饮马问题
【例2】（德州中考）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE＝2．点M是对角线BD上的一个动点，则EM+CM的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】（菏泽中考）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是对角线BD上的一个动点，CF＝BF，则MA+MF的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【变式2-2】如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，若△CDM的周长的最小值为13，则等腰三角形ABC的面积为（ ）
A．78B．39C．42D．30
【变式2-3】已知点P在内．

(1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接．
①若，则是什么特殊三角形？为什么？
②若，试判断与的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值．
【变式2-4】（2023·山东日照·统考中考真题）如图，矩形中，，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，过点M作交于点E，连接．下列结论：①；②四边形的面积不变；③当时，；④的最小值是20．其中所有正确结论的序号是 ．

题型三 旋转最值问题
【例3】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．

【变式3-1】如图，在中，，P是内一点，求的最小值为 ．
【变式3-2】如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为 ．
【变式3-3】如图，正方形的边长为4，点是正方形内部一点，求的最小值．
一、单选题
1．如图，的面积为12，，与交于点O．分别过点C，D作，的平行线相交于点F，点G是的中点，点P是四边形边上的动点，则的最小值是（ ）

A．1B．C．D．3
2．已知在中，，．点为边上的动点，点为边上的动点，则线段的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，
则点P到BC的距离是 cm．
4．如图，在中，．P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为 ．

5．如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ．
6．菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为 ．
7．如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接，．
（Ⅰ）使取最小值的动点的位置在点的 侧.（填“左”或“右”）．
（Ⅱ）当的值最小时，请直接写出的度数. ．
三、解答题
8．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，点A的坐标为．点B的坐标为，点C的坐标为．

(1)作出关于y轴对称的，其中，，分别是A，B，C的对应点；
(2)写出的坐标；
(3)在x轴上找一点P，使得的值最小．（保留作图痕迹）
9．如图1：正方形的边长为3，E是直线上一动点，连接，在的右侧以C为直角顶点作等腰直角三角形，连接，．
(1)当点E在线段上运动时，试判断与的数量关系，并说明理由．
(2)当时，求的长．
(3)如图2，连接BF，则的最小值为______．
10．
中，．
(1)如图1，若，平分交于点，且．证明：；
(2)如图2，若，取中点，将绕点逆时针旋转至，连接并延长至，使，猜想线段、、之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，若，为平面内一点，将沿直线翻折至，当取得最小值时，直接写出的值．
11．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P为平面内一点，求最小值
12．在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；
（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；
①把图形补充完整（无需写画法）； ②求的取值范围；
(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．

题型解读：
线段最值问题在中考中常常以选择题和填空题的形式出现，分值较小但难度较高.此类题型多综合考查垂线段最短、"将军饮马"及旋转最值问题，一般要用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、勾股定理和二次函数等相关知识，以及数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想. 此类题型常涉及以下问题：①线段和差最值问题；②尺规作图问题；③旋转“费马点”问题；④点到直线的距离最值问题等.
下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的考查热度.
解题模板：
技巧精讲：垂线段最短模型
解题模板：
技巧精讲：
1、“将军饮马”模型
2、线段差最大值问题模型：
解题模板：
技巧精讲：旋转求最值模型