压轴题04 几何综合（3题型+7类型+解题模板+技巧精讲）-2024年中考数学二轮复习讲义（全国通用）

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
压轴题解题模板04
几何综合
目 录
TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u
\l "_Tc161850716" 题型一 线段最值问题
\l "_Tc161850717" ①动点路径问题
\l "_Tc161850718" ②“胡不归”问题
\l "_Tc161850719" ③“将军饮马”问题
\l "_Tc161850720" ④“造桥选址”问题
\l "_Tc161850721" 题型二：面积平分问题
\l "_Tc161850722" 题型三 面积最值问题
题型一 线段最值问题
①动点路径问题
【例1】（山东济宁-中考真题）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
（1）阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
例如，正方体（图1）．因为在平面中，，与相交于点A，所以直线与所成的就是既不相交也不平行的两条直线与所成的角．
解决问题
如图1，已知正方体，求既不相交也不平行的两条直线与所成角的大小．
（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点．
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 ；
②在所选正确展开图中，若点M到，的距离分别是2和5，点N到，的距离分别是4和3，P是上一动点，求的最小值．
【变式1-1】（山东日照-中考真题）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB为边在AB上方作正方形ABDE，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，连接BE．
（1）求证：△ABC≌△BDF；
（2）P，N分别为AC，BE上的动点，连接AN，PN，若DF＝5，AC＝9，求AN+PN的最小值．
【变式1-2】（江苏连云港-中考真题）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，且．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若是边长为2的等边三角形，点、、分别在线段、、上运动，求的最小值．
【变式1-3】（2023-四川自贡-中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，，分别是斜边，的中点，．

(1)将绕顶点旋转一周，请直接写出点，距离的最大值和最小值；
(2)将绕顶点逆时针旋转（如图），求的长．
②“胡不归”问题
【例2】（2023-江苏泰州-三模）如图，已知中，，E是上的一点，，点D是线段上的一个动点，沿折叠，点C与重合，连接．

(1)求证：；
(2)若点F是上一点，且，求的最小值．
【变式2-1】（2023-广东广州-二模）如图①，在四边形中，，，．

(1)求的度数；
(2)如图②，为线段的中点，连接，求证：；
(3)如图③，若，线段上有一动点，连接，将沿所在直线翻折至的位置，为的对应点，连接，，请直接写出的最小值．
【变式2-2】（2023-广东广州-二模）如图，菱形中，，，点、分别为线段、上的动点，点为边的中点，连接，．

(1)求的长；
(2)连接，若，求证：；
(3)若，试求的最小值．
【变式2-3】（广东广州-中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
(1)求BD的长；
(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．
③“将军饮马”问题
【例3】【变式3-1】（23-24九年级上-黑龙江大庆-期中）如图，以矩形的顶点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，点是的中点，在上取一点，将沿翻折，使点落在边上的点处．

(1)直接写出点、的坐标；
(2)连接交于点，求的面积．
(3)在轴、轴上是否分别存在点、，使得四边形的周长最小？如果存在，求出周长的最小值和直线的函数解析式；如果不存在，请说明理由．
【变式3-2】（天津西青-一模）如图①，将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点是的中点，在上取一点，将沿翻折，使点落在边上的点处．
（1）求点、的坐标；
（2）如图②，若点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作于点，设的长为，的面积为，请求出关于的关系式；
（3）如图③，在轴、轴上是否分别存在点、，使得四边形的周长最小？若存在，请求出四边形周长的最小值及此时点、的坐标；若不存在，请说明理由
【变式3-3】（陕西宝鸡）问题提出
（1）在图1中作出点关于直线的对称点
问题探究
（2）如图2，在中，，，为的中点，为线段上一点，求的最小值.
问题解决
（3）如图3，四边形为小区绿化区，，，，，，是以为圆心，为半径的圆弧.现在规划在，边和边上分别取一点，，，使得为这一区域小路，求小路长度的最小值.
④“造桥选址”问题
【例4】（23-全国）有一条以互相平行的直线为岸的河流，其两侧有村庄和村庄，现在要在河上建一座桥梁（桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来看，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（湖北黄石）已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为( )
A．2B．1+3C．3+D．
【变式4-2】（23-24全国）如图所示，某条护城河在处角转弯，河宽相同，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使到的路程最短，请确定两座桥的位置．

【变式4-3】已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为1千米，A、B两村庄的直线距离 AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，求AM＋BN的最小值．
题型二：面积平分问题
【例5】（三角形或规则图形）（2023-湖南益阳-中考真题）如图，在中，，，点D在边上，将线段绕点D按顺时针方向旋转得到，线段交于点E，作于点F，与线段交于点G，连接．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，当平分四边形的面积时，求的长．
【变式5-1】（2023-江苏盐城-二模）（1）【问题探究】如图①，点B，C分别在上，米，米，米，米，米．
①探究与是否相似并说明理由；
②求的长．
（2）【问题解决】如图②，四边形规划为园林绿化区，对角线将整个四边形分成面积相等的两部分，已知米，四边形的面积为平方米，为了更好地美化环境，政府计划在边上分别确定点E，F，在边上确定点P，Q，使四边形为矩形，在矩形内种植花卉，在四边形剩余区域种植草坪，为了方便市民观赏，计划在之间修一条小路，并使得最短，根据设计要求，求出的最小值，并求出当最小时，花卉种植区域的面积．

【变式5-2】（2023-陕西西安-二模）【问题探究】
（1）如图1，已知，点D是的中点，连接，则 （填“”“”或“”）
（2）如图2，在梯形中，，请过点A作一条直线平分梯形的面积，点P是与的交点，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3是某公园的一块空地，由和四边形组成，，，米，，，公园管理人员现准备过点A修一条笔直的小路（小路面积忽略不计），将这块空地分成面积相等的两部分（点M在边上），分别种植两种不同的花卉，请在图中确定点M的位置，并计算小路的长．（结果保留根号）

【变式5-3】（2023-陕西西安-三模）问题提出：
(1)如图1，是的中线，则有___________填“”、“”或“”)．
问题探究：
(2)如图2，点是矩形内一点，，，点与坐标原点重合，、分别位于、轴正半轴，，，是否存在直线经过点且将矩形分成面积相等的两部分，若存在，请求出直线l的解析式：如不存在，请说明理由．
问题解决：
(3)如图3，长方形是西安某学校在疫情期间为学生核酸检测围成的一个工作区域，顶点，在坐标轴上，记为坐标原点，顶点，，原有的一个出入口在边上，且米．为使工作高效有序，现计划在边，，上依次再设出入口，，，沿，拉两道警戒线将工作区域分成面积相等的四部分．请问，是否存在满足上述条件的点，，，如存在，请求出点的坐标及的函数表达式，如不存在，请说明理由．
【典例6】（如图，长方形各顶点的坐标分别为、、、，长方形各顶点的坐标分别为、、、．平移长方形得到长方形，且点的坐标为．

(1)画出长方形．
(2)如果长方形沿的方向平移，至与重合停止，设平移过程中平移的距离为，长方形与长方形重叠的面积为S，请直接写出平移过程中S的最大值______；此时d的取值范围为______．
(3)画出一条直线把原图长方形与长方形组成的复合图形分成面积相等的两部分．
【变式6-1】【问题提出】
（1）如图①，点D为的边的中点，连接，若的面积为3，则的面积为_______；
【问题探究】
（2）如图②，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，连接，作轴于点B，若，，过点B的直线l将分成面积相等的两部分，求直线l的函数表达式；
【问题解决】
（3）如图③，在平面直角坐标系中，四边形是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中O为坐标原点，，为了方便驻区单位，计划过点O修一条笔直的道路（路宽不计），并且使直线将四边形分成面积相等的两部分，记直线与所在直线的交点为D，再过点A修一条笔直的道路（路宽不计），并且使直线将分成面积相等的两部分，你认为直线和是否存在？若存在，请求出直线和的函数表达式；若不存在，请说明理由．
【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，点、分别在轴上、轴上，，，若点的坐标为，，且．

(1)求点、、的坐标；
(2)若动点P从原点出发沿轴正半轴以每秒个单位长度的速度向右运动，设点运动的时间为秒，求为何值时，直线把四边形分成面积为：的两部分；
(3)在(2)的条件下，当直线把四边形分成面积相等的两部分时，在轴上找一点，连接，使三角形的面积与四边形的面积相等，求点的坐标．
题型三 面积最值问题
【例7】（2023-山东潍坊-中考真题）工匠师傅准备从六边形的铁皮中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，，．，，是工匠师傅画出的裁剪虚线．当的长度为多少时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是多少？

【变式7-1】（2023-山东滨州-中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在轴正半轴上，顶点的坐标为，点是边上的动点，过点作交边于点，作交边于点，连接．设的面积为．

(1)求关于的函数解析式；
(2)当取何值时，的值最大？请求出最大值．
【变式7-2】（2023-辽宁阜新-中考真题）如图，在正方形中，线段绕点C逆时针旋转到处，旋转角为，点F在直线上，且，连接．

(1)如图1，当时，
①求的大小（用含的式子表示）．
②求证：．
(2)如图2，取线段的中点G，连接，已知，请直接写出在线段旋转过程中（）面积的最大值．
【变式7-3】（2023-湖北武汉-模拟预测）问题提出如图（1），在中，，,连接，探究．

问题探究
（1）先将问题特殊化．如图（2），当时，求的值．
（2）再探究一般情形．如图（1），当时，求的值；
问题拓展
如图（3），在中，，，P是内一点，，交于F，当的面积最大时，求的值．
一、解答题
1．在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转90°，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形．

(1)如图1，连接，求的度数和的值；
(2)如图2，当点在射线上时，求线段的长；
(3)如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值．
2．如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．

(1)求证：；
(2)若时，求的长；
(3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．
3．某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：
问题提出：如图，正方形中，，为对角线上的一个动点，以为直角顶点，向右作等腰直角．
(1)操作发现：的最小值为_______，最大值为_______；
(2)数学思考：求证：点在射线上；
(3)拓展应用：当时，求的长．
4．如图，正方形是边长为4米的一块板材．
操作一：现需从中裁出一个等腰直角模具，点P在边上，Q在正方形的内部或边上．
(1)如图，若，米，是否能裁出符合条件的？若能，确定Q的位置；若不能，请说明理由．

(2)如图，连接，在对角线上取点Q，连接，过点Q作交边于P，连接，得到．请证明符合裁剪要求．

操作二：经探究，操作一的模具大小至多为正方形面积的一半，现修改模具形状为四边形，并按面积要求进行裁剪．即在正方形中重新裁出的一个四边形模具，点P、Q分别在边上．
(3)如图，若需裁出的四边形面积为10平方米，请探究模具四边形周长的最小值．

5．问题提出

（1）如图1，已知点为线段上一动点，分别过点作，，连接. 若，，，则的最小值为 ；
问题解决
（2）如图2，某公园规划修建一块形如四边形的牡丹园，其中，，，，，的内心处修建一个圆形喷水池，公园的入口是的中点，是一条观赏小道，其余部分种植牡丹，现需要在边上取点，上找点，修建道路 为了节省成本，需要使修建的道路最短，即的值最小，是否存在这样的点，使得的值最小？ 若存在，请求出其最小值；若不存在，请说明理由.
6．如图，在中，是边上的中线，点E是的中点．过点A作交的延长线于点F，连接．

(1)求证：；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论；
(3)在（2）的情况下，如果，点M在线段上移动，当有最小值时，求的长度．
7．如图1，已知和均为等腰直角三角形，，，，点D在线段上，点F为中点，点M为中点，点N为中点．

(1)如图1， ______，和之间的数量关系是______；
(2)如图2，绕点C顺时针旋转，点G为中点，求证：四边形为正方形；
(3)如图3，若，，在将绕点C顺时针旋转过程中，直线，交于点H，直接写出面积的最小值．
8．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作：如图1，点E是边长为12的正方形纸片的边所在的射线上一动点，将正方形沿着折叠，点D落在点F处，把纸片展平，射线DF交射线于点P．
判断：根据以上操作，图1中与的数量关系：______．
(2)迁移探究
在（1）条件下，若点E是的中点，如图2，延长交于点Q，点Q的位置是否确定？如果确定，求出线段的长度，如果不确定，说明理由；
(3)拓展应用
在（1）条件下，如图3，，交于点G，取的中点H，连接，求的最小值．
9．问题背景

(1)如图1，四边形中，，交于点E，其中，求证：．
(2)尝试应用：如图2，中，，，点是的中点，点，是上两点，交于点，若，，求的值．
(3)迁移拓展：如图3，中，，，点是上一点，，直接写出线段长度的最小值．
10．已知抛物线：，且过点．
(1)求抛物线的函数表达式及其顶点坐标A；
(2)若抛物线G上两点，满足：对于，时，均有成立，求出的取值范围；
(3)直线：经过，点在直线上运动，求最小值．
11．问题发现．（1）如图①，已知菱形，，点M，N分别在，上，若四边形的面积是菱形面积的，求的度数；
问题解决：（2）如图②，四边形ABCD是一块板材，其中，，，，，工人师傅想用这块板材裁剪出一块四边形的部件，使得O是的中点，点M，N分别在，上，并要求四边形部件的面积是四边形板材面积的，求裁剪长度的最小值．

12．如图①，正方形中，，点是边上的动点，点是边上的动点，且，连接．

(1)如图①，作，交于点，连接，求证；四边形是平行四边形；
(2)如图②，延长．、相交于点，试求的度数；
(3)如图（3），连接，记，试求的最小值．
13．【探究发现】
（1）如图1，在中，D为边的中点，连接并延长至点H，使，连接．由，得，则与的数量关系为______，位置关系为______．

【尝试应用】
（2）如图2，在中，平分，D为边的中点，过点D作，交CA的延长线于点Q，交边于点K．试判断与的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，，，D为边的中点，连接，E为边上一动点，连接交于点F．
①若．求的长度；
②在射线上取一点G，且，连接，直接写出的最小值．
14．如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转得到线段，连接．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接交于点，连接，，与所在直线交于点，求证：；
(3)如图3，连接交于点，连接，，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，．若，直接写出的最小值．
题型解读：
几何综合问题在中考中以填空题和解答题的形式出现，考查难度较大.此类问题在中考中多考查面积平分、面积最值和几何变换的综合问题，一般要用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、圆、锐角三角函数、勾股定理、图形变换的性质和二次函数的最值等相关知识，以及分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想.此类题型常涉及以下问题：①几何图形中的线段最值问题②探究图形面积的分割问题；③探究图形面积的最值问题.右图为几何综合问题中各题型的考查热度.
下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的考查热度.
分类：①动点路径问题②“胡不归”问题③“将军饮马”问题④“造桥选址”问题
解题模板：
解题模板：
技巧精讲
1：利用中线平分图形面积的方法
2.利用对称性平分图形面积的方法
解题模板：