浙江省杭州第十四中学附属学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试卷

这是一份浙江省杭州第十四中学附属学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了仔细选一选，认真填一填，全面答一答等内容，欢迎下载使用。

一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）一种花粉颗粒直径约为0.0000065米，数字0.0000065用科学记数法表示为（ ）
A．0.65×10﹣5B．65×10﹣7C．6.5×10﹣6D．6.5×10﹣5
2．（3分）下列图形中，∠1与∠2是同位角的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a3＝a9B．（a3）2＝a6C．（ab）3＝ab3D．a3+a3＝a6
4．（3分）若关于x、y的方程ax+y＝2的一组解是，则a的值为（ ）
A．﹣1B．C．1D．2
5．（3分）下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a+b）（a+b）B．（a﹣b）（a﹣b）
C．（﹣a+b）（a+b）D．（a+b）（﹣a﹣b）
6．（3分）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠4B．∠D+∠ACD＝180°
C．∠D＝∠DCED．∠1＝∠2
7．（3分）下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3
C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2D．x3﹣x＝x（x2﹣1）
8．（3分）一道来自课本的习题：
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程+＝，则另一个方程是（ ）
A．+＝B．+＝
C．+＝D．+＝
9．（3分）如图，AB∥CD，点P在AB，∠ACP＝2∠PCD＝40°，连结AP，若∠BAP=α，∠CAP＝α+β．下列说法中正确的是（ ）
A．当∠P＝60°时，α＝30°B．当∠P＝60°时，β＝40°
C．当β＝20°时，∠P＝90°D．当β＝0°时，∠P＝90°
10．（3分）已知关于xy的方程组x+3y=4-a已知关于x，y的方程组 x+3y=4-a x-y=3a ，其中-3≤a≤1，给出下列结论： ①x=5y,=-1 是方程组的解； ②当a=-2时，x，y的值互为相反数； ③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4-a的解； ④若x≤1，则1≤y≤4．其中正确的是（ ）
A．②③B．①②③C．②③④D．①②③④
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（π﹣1）0＝ ，（）﹣2＝ ．
12．（3分）已知二元一次方程x﹣2y＝10，用含x的代数式表示y，则y＝ ．
13．（3分）分解因式：3x2﹣6x＝ ．
14．（3分）若x2﹣px﹣6＝（x﹣2）（x+3），则p的值为 ．
15．（3分）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1=∠2．若BC平分∠ABD，∠D=112°，则∠C＝ 度．
16．（3分）爱好数学的小明，来到西湖边一知名奶茶店，注视着价格表
（1）小明发现：2杯西瓜啵啵、3杯元气鲜橙共需88元；3杯西瓜啵啵、5杯元气鲜澄共需142元，那么购买1杯西瓜啵啵和2杯元气鲜橙共需 元；
（2）小明购买了杨枝甘露、百香凤梨、葡萄芝士三种奶茶共10杯，共消费了187元，若杨枝甘露18元/杯．百香风梨15元/杯，葡萄芝士20元/杯，则葡萄芝士买了 杯．
三、全面答一答（本题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以）
17．（6分）计算：
（1）x2•x3+x4•x；
（2）（3x2y）2÷（﹣9x4y）．
18．（6分）因式分解：
（1）4a2﹣1；
（2）16m4﹣8m2n2+n4．
19．（8分）解下列方程：
（1）；
（2）．
20．（8分）（1）先化简，再求值：m（m﹣2n）+（m+n）2﹣（m+n）（m﹣n），其中m＝﹣1，n＝2．
（2）已知x+y＝3，xy＝2，求（x﹣y）2的值．
21．（10分）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，点F在线段CD上，且∠3＝∠B
（1）求证：DE∥BC；
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝4∠B，求∠1．
22．（10分）某超市第一次用3800元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品40件，乙种商品160件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元．甲种商品售价为20元/件
（1）甲、乙两种商品每件进价各多少元？
（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完，可获得多少利润？
（3）该超市第二次又购进同样数量的甲、乙两种商品．其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品进价每件少3元；甲种商品按原售价提价a%销售，如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多160元，那么a的值是多少？
23．（12分）如图，在正方形ABCD中放入两张边长分别为a和b的正方形纸片，已知HK＝c，阴影部分面积分别记为S1，S2．
（1）用含a，b，c的代数式分别表示KI，GD；
（2）若c＝2，且S1＝S2，求2a+2b﹣ab的值；
（3）若a＝b，试说明S﹣3（S1﹣S2） 是完全平方式．
24．（12分）如图，∠AEF＝80°，且∠A＝x°，∠F＝z°．若+|y﹣80﹣m|+|z﹣40|＝0（m为常数，且0＜m＜100）．
（1）求∠A、∠C的度数（用含m的代数式表示）；
（2）求证：AB∥CD；
（3）若∠A＝40°，∠BAM＝20°，∠EFM＝10°，直接写出∠AMF的度数．
参考答案与试题解析
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）一种花粉颗粒直径约为0.0000065米，数字0.0000065用科学记数法表示为（ ）
A．0.65×10﹣5B．65×10﹣7C．6.5×10﹣6D．6.5×10﹣5
【解答】解：数字0.0000065用科学记数法表示为6.2×10﹣6．
故选：C．
2．（3分）下列图形中，∠1与∠2是同位角的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A．∠1与∠2是同旁内角；
B．∠7与∠2是内错角；
C．∠1与∠7是对顶角；
D．∠1与∠2是同位角．
故选：D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a3＝a9B．（a3）2＝a6C．（ab）3＝ab3D．a3+a3＝a6
【解答】解：A．a3•a3＝a3，故本选项不符合题意；
B．（a3）2＝a4，故本选项符合题意；
C．（ab）3＝a3b3，故本选项不符合题意；
D．a3+a3＝4a3，故本选项不符合题意．
故选：B．
4．（3分）若关于x、y的方程ax+y＝2的一组解是，则a的值为（ ）
A．﹣1B．C．1D．2
【解答】解：将代入方程ax+y＝7，
解得a＝2．
故选：D．
5．（3分）下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a+b）（a+b）B．（a﹣b）（a﹣b）
C．（﹣a+b）（a+b）D．（a+b）（﹣a﹣b）
【解答】解：A、因为（a+b）（a+b）表示两个数的和乘以两个数的和，不符合题意；
B、（a﹣b）（a﹣b）表示两个数的差乘以两个数的差，不符合题意；
C、（﹣a+b）（a+b）表示两个数的差乘以两个数的和，符合题意；
D、（a+b）（﹣a﹣b）表示两个数的和乘以两个数的相反数的和，不符合题意．
故选：C．
6．（3分）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠4B．∠D+∠ACD＝180°
C．∠D＝∠DCED．∠1＝∠2
【解答】解：A、∠3＝∠4可判断DB∥AC；
B、∠D+∠ACD＝180°可判断DB∥AC；
C、∠D＝∠DCE可判断DB∥AC；
D、∠5＝∠2可判断AB∥CD；
故选：D．
7．（3分）下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3
C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2D．x3﹣x＝x（x2﹣1）
【解答】解：A．是整式的乘法；
B．没把一个多项式转化成几个整式积的形式；
C．是因式分解且完全正确；
D．x3﹣x＝x（x2﹣2）＝x（x+1）（x﹣1），故D不符合题意；
故选：C．
8．（3分）一道来自课本的习题：
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程+＝,则另一个方程是（ ）
A．+＝B．+＝
C．+＝D．+＝
【解答】解：设未知数x，y，已经列出一个方程+＝+＝．
故选：B．
9．（3分）如图，AB∥CD，点P在AB，∠ACP＝2∠PCD＝40°，连结AP，若∠BAP=α，∠CAP＝α+β．下列说法中正确的是（ ）
A．当∠P＝60°时，α＝30°B．当∠P＝60°时，β＝40°
C．当β＝20°时，∠P＝90°D．当β＝0°时，∠P＝90°
【解答】解：∵∠ACP＝2∠PCD＝40°，
∴∠PCD＝20°．
∴∠ACD＝∠ACP+∠PCD＝40°+20°＝60°．
∵AB∥CD，
∴∠CAB+∠ACD＝180°．
∴∠CAB＝180°﹣∠ACD＝120°．
∵∠BAP＝α，∠CAP＝α+β，
∴∠CAB＝∠CAP+∠BAP＝α+β+α＝2α+β＝120°．
∵∠CAP+∠ACP+∠P＝180°，
∴∠P＝180°﹣∠ACP﹣∠CAP＝180°﹣40°﹣（α+β）＝140°﹣α﹣β．
A：当∠P＝60°，则140°﹣α﹣β＝60°．
∴α+β＝80°．
∴6α+β＝α+80°＝120°．
∴α＝40°．
故A不正确．
B：当∠P＝60°时，则140°﹣α﹣β＝60°．
∴α+β＝80°．
∴2α+β＝α+80°＝120°．
∴α＝40°．
∴β＝80°﹣α＝40°．
故B正确．
C：当β＝20°时，则2α+β＝3α+20°＝120°．
∴α＝50°．
∴∠P＝140°﹣α﹣β＝140°﹣50°﹣20°＝70°．
故C不正确．
D：当β＝0°时，则2α+β＝3α+0°＝120°．
∴α＝60°．
∴∠P＝140°﹣α﹣β＝140°﹣60°﹣0°＝80°．
故D不正确．
故选：B．
10．（3分）已知关于xy的方程组x+3y=4-a已知关于x，y的方程组 x+3y=4-a x-y=3a ，其中-3≤a≤1，给出下列结论： ①x=5y,=-1 是方程组的解； ②当a=-2时，x，y的值互为相反数； ③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4-a的解； ④若x≤1，则1≤y≤4．其中正确的是（ ）
A．②③B．①②③C．②③④D．①②③④
【解答】解：①当a＝0时，x＝y；
当a≠0时，将x＝5，
解得：a＝2，
本选项正确；
②将a＝﹣2代入方程组得：，
①﹣②得：5y＝12，即y＝3，
将y＝3代入②得：x＝﹣3，
则x与y互为相反数，本选项正确；
③将a＝1代入方程组得：，
解得：，
将x＝3，y＝0代入方程x+y＝8的左边得：3+0＝2，本选项正确；
④，
由①得：a＝4﹣x﹣3y，
代入②得：x﹣y＝7（4﹣x﹣3y），
整理得：x+6y＝3，本选项错误，
则正确的选项为①②③．
故选：B．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（π﹣1）0＝ 1 ，（）﹣2＝ 9 ．
【解答】解：（π﹣1）0＝3、（）﹣5＝＝＝9，
故答案为：1、9．
12．（3分）已知二元一次方程x﹣2y＝10，用含x的代数式表示y，则y＝ ．
【解答】解：x﹣2y＝10，
移项得，2y＝x﹣10，
系数化为6得，y＝．
故答案为：．
13．（3分）分解因式：3x2﹣6x＝ 3x（x﹣2） ．
【解答】解：3x2﹣8x＝3x（x﹣2）．
故答案为：3x（x﹣2）．
14．（3分）若x2﹣px﹣6＝（x﹣2）（x+3），则p的值为 ﹣1 ．
【解答】解：∵x2﹣px﹣6＝（x﹣4）（x+3），
∴﹣p＝3﹣4＝1，
∴p＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（3分）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1=∠2．若BC平分∠ABD，∠D=112°，则∠C＝ 度．
【解答】解：∵FG∥AE，
∴∠1＝∠A，
又∵∠1＝∠2，
∴∠A＝∠2，
∴AB∥CD，
∴∠ABC＝∠C，∠D+∠ABD＝180°，
又∵∠D＝112°，
∴∠ABD＝180°﹣112°＝68°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC＝∠ABD＝34°，
∴∠C＝∠ABC＝34°．
故答案为：34．
16．（3分）爱好数学的小明，来到西湖边一知名奶茶店，注视着价格表
（1）小明发现：2杯西瓜啵啵、3杯元气鲜橙共需88元；3杯西瓜啵啵、5杯元气鲜澄共需142元，那么购买1杯西瓜啵啵和2杯元气鲜橙共需 54 元；
（2）小明购买了杨枝甘露、百香凤梨、葡萄芝士三种奶茶共10杯，共消费了187元，若杨枝甘露18元/杯．百香风梨15元/杯，葡萄芝士20元/杯，则葡萄芝士买了 5 杯．
【解答】解：（1）设每杯西瓜啵啵的价格为x元，每杯元气鲜橙的价格为y元．
由题意，得，
②﹣①，得 x+2y＝54．
故购买1杯西瓜啵啵和2杯元气鲜橙共需54元．
故答案为：54；
（2）设小明购买葡萄芝士m 杯杨枝甘露n杯，则购买百香凤梨（10﹣m﹣n ）杯，
由题意，得18n+15（10﹣m﹣n ）+20m＝187，
化简，得n＝，
又 m、n、（10﹣m﹣n ）均为正整数，
m＝5，n＝4．
故答案为：5．
三、全面答一答（本题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以）
17．（6分）计算：
（1）x2•x3+x4•x；
（2）（3x2y）2÷（﹣9x4y）．
【解答】解：（1）原式＝x5+x5＝2x5．
（2）原式＝9x4y2÷（﹣9x4y）＝[9÷（﹣9）]×（x4÷x4）×（y2÷y）＝﹣y．
18．（6分）因式分解：
（1）4a2﹣1；
（2）16m4﹣8m2n2+n4．
【解答】解：（1）原式＝（2a+1）（2a﹣1）；
（2）原式＝（4m5）2﹣2×7m2×n2+（n2）2
＝（4m2﹣n2）
＝（2m+n）（4m﹣n）．
19．（8分）解下列方程：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
把①代入②，得2×2y+y＝4，
解得y＝1，
把y＝1代入①，得x＝5，
所以方程组的解是；
（2），
①×4，得6x﹣9y＝21③，
②+③，得3x＝18，
解得x＝2，
把x＝2代入①，得y＝﹣6，
所以方程组的解是．
20．（8分）（1）先化简，再求值：m（m﹣2n）+（m+n）2﹣（m+n）（m﹣n），其中m＝﹣1，n＝2．
（2）已知x+y＝3，xy＝2，求（x﹣y）2的值．
【解答】解：（1）原式＝m2﹣2mn+m3+2mn+n2﹣（m6﹣n2）
＝m2﹣6mn+m2+2mn+n7﹣m2+n2
＝m5+2n2．
当m＝﹣5，n＝2时；
（2）（x﹣y）2
＝x3﹣2xy+y2
＝x2+2xy+y2﹣7xy
＝（x+y）2﹣4xy．
当x+y＝5，xy＝2时，
原式＝34﹣4×2＝8．
21．（10分）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，点F在线段CD上，且∠3＝∠B
（1）求证：DE∥BC；
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝4∠B，求∠1．
【解答】证明：（1）∵EF∥AB（已知），
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∵∠3＝∠B（已知），
∴∠B＝∠ADE（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）；
（2）解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝6∠ADE，
∵DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE，
∵∠2＝4∠B，
∴∠3＝4∠ADE，
∵∠2+∠ADC＝180°，
∴3∠ADE+2∠ADE＝180°，
∴∠ADE＝30°，
∴∠ADC＝60°，
∵EF∥AB，
∴∠1＝∠ADC＝60°．
22．（10分）某超市第一次用3800元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品40件，乙种商品160件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元．甲种商品售价为20元/件
（1）甲、乙两种商品每件进价各多少元？
（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完，可获得多少利润？
（3）该超市第二次又购进同样数量的甲、乙两种商品．其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品进价每件少3元；甲种商品按原售价提价a%销售，如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多160元，那么a的值是多少？
【解答】解：（1）设甲种商品每件进价x元，乙种商品每件进价y元，
由题意可得：，
解得：，
答：甲种商品每件进价15元，乙种商品每件进价20元；
（2）（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得的利润＝40×（20﹣15）+160×（25﹣20）＝1000元．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得1000元的利润．
（3）由题意40×[20（1+a%）﹣15]+160×[25（5﹣a%）﹣（20﹣3）]＝1000+160，
解得a＝10．
答：a的值是10．
23．（12分）如图，在正方形ABCD中放入两张边长分别为a和b的正方形纸片，已知HK＝c，阴影部分面积分别记为S1，S2．
（1）用含a，b，c的代数式分别表示KI，GD；
（2）若c＝2，且S1＝S2，求2a+2b﹣ab的值；
（3）若a＝b，试说明S﹣3（S1﹣S2） 是完全平方式．
【解答】解：（1）KI＝HI﹣HK＝b﹣c，
GD＝AD﹣AG＝a+b﹣c﹣a＝b﹣c．
（2）S1＝GD×GL＝（a﹣c）（b﹣c）＝ab﹣ac﹣bc+c2，
S5＝c2．
∵S1＝S3．
∵ab﹣bc﹣ac＝0，
∴ab＝c（a+b），
∴2a+3b﹣ab＝2（a+b）﹣c（a+b）＝2（a+b）﹣7（a+b）＝0．
（3）当a＝b时，S1﹣S8＝ab﹣ac﹣bc＝a2﹣2ac，
S＝AD2＝（a+b﹣c）2＝（2a﹣c）8，
∴S﹣3（S1﹣S4）＝（2a﹣c）2﹣6a2+6ac
＝5a2﹣4ac+c8﹣3a2+3ac
＝（a+c）2．
∴S﹣3（S8﹣S2）是完全平方式．
24．（12分）如图，∠AEF＝80°，且∠A＝x°，∠F＝z°．若+|y﹣80﹣m|+|z﹣40|＝0（m为常数，且0＜m＜100）．
（1）求∠A、∠C的度数（用含m的代数式表示）；
（2）求证：AB∥CD；
（3）若∠A＝40°，∠BAM＝20°，∠EFM＝10°，直接写出∠AMF的度数．
【解答】解：（1）∵+|y﹣80﹣m|+|z﹣40|＝0，
∴x﹣m﹣20＝0，y﹣80﹣m＝7，
∴x＝m+20，y＝m+80，
即∠A＝m+20°，∠C＝m+80°；
（2）如图，过点F作FG∥AB，
∴EH∥FG，
∴∠BAE＝∠AEH＝m+20°，∠EFG＝∠FEH，
∴∠EFG＝∠AEF﹣∠AEH＝80°﹣（m+20°）＝60°﹣m，
∵∠CFG+∠FCD＝z+60°﹣m+y＝40°+60°﹣m+m+80°＝180°，
∴CD∥FG，
∴AB∥CD；
（3）当∠A＝m+20°＝40°时，∠C＝m+80°＝100°，
如图，分四种情况、70°、10°．
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，从乙地到甲地需42min．甲地到乙地全程是多少？
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，从乙地到甲地需42min．甲地到乙地全程是多少？