2025年高考数学一轮复习专题3.3 函数的奇偶性、周期性与对称性-(原卷版+解析版)

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题型一判断函数的奇偶性
例1．（2023·北京房山·统考二模）下列函数中，是偶函数且有最小值的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】判断二次函数的对称轴，可得函数不是偶函数，判断选项A，根据函数的定义域判断选项B，判断得，从而得函数为偶函数，结合三角函数的性质可判断得该函数不具有最小值，从而判断选项C，根据，得函数为偶函数，再利用基本不等式求解出最小值，即可判断选项D.
【详解】对A，二次函数的对称轴为，
不是偶函数，故A错误；
对B，函数的定义域为，
定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误；
对C，，
定义域为，所以函数是偶函数，
结合三角函数的性质易判断函数无最小值，故C错误；
对D，，定义域为，
所以函数是偶函数，因为，，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以函数有最小值，故D正确.
故选：D
例2．（2023·山东青岛·统考二模）已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性及选项逐项排除即可得到答案．
【详解】，的定义域均为，且,，
所以为奇函数，为偶函数.
由图易知其为奇函数，而与为非奇非偶函数，故排除AB.
当时，，排除C.
故选:D．
练习1．（2023春·北京·高三北京师大附中校考期中）下列函数是奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用奇偶性定义判断各项函数的奇偶性.
【详解】显然各项函数的定义域均为R，
，偶函数，A不符合；
，奇函数，B符合；
，非奇非偶函数，C不符合；
，非奇非偶函数，D不符合.
故选：B
练习2．（2023·上海·高三专题练习）函数是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．奇函数也是偶函数D．非奇非偶函数
【答案】B
【分析】求出定义域，根据函数奇偶性的定义判断即可.
【详解】由函数可知，定义域为关于原点对称，又，故函数为内的偶函数.
故选：B
练习3．（2023·北京海淀·统考二模）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，结合基本初等函数的性质，即可由选项逐一判断.
【详解】对于A, 的定义域为，定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误，
对于B，的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以为奇函数，但在单调递减，故B错误，
对于C，的定义域为,关于原点对称，又，故 为偶函数，故C错误，
对于D， 由正切函数的性质可知为奇函数，且在单调递增，故D正确，
故选：D
练习4．（2023春·上海松江·高一上海市松江二中校考期中）下列函数在其定义域内既是严格增函数，又是奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据初等函数的单调性和奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数在定义域上不是严格的单调函数，不符合题意；
对于B中，函数的定义域为，所以为非奇非偶函数，不符合题意；
对于C中，函数，可得，
所以函数不是奇函数，不符合题意；
对于D中，函数，在定义域上严格的单调递增函数，
且，所以函数为奇函数，符合题意.
故选：D.
练习5．（2023·海南·校联考模拟预测）函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性证明函数为偶函数；分别求出，利用排除法，结合选项即可求解.
【详解】函数的定义域为，关于原点对称，
，
则函数为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C；
又，故排除AB，D符合题意.
故选：D.
题型二利用奇偶性求函数值或参数值
例3．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）若为奇函数，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】利用奇函数的定义，对分类讨论即可得解.
【详解】因为函数为奇函数，所以的定义域关于原点对称.
若，则的定义域不关于原点对称，
所以的定义域为且，
所以，解得.
所以，定义域为.
令，得，故，
此时经检验，为奇函数.
故选：C.
例4．（2023春·河北保定·高三保定一中校考期中）已知函数且，则的值为__________
【答案】
【分析】由函数的解析式发现，它是由一个奇函数加一个常数的形式，再注意到已知的函数值和要求的函数值，它们的自变量互为相反数，所以可以直接代入利用奇函数的性质求解.
【详解】因为，所以，
所以，
所以
，
故答案为：.
练习6．（2022秋·高三课时练习）为奇函数，为偶函数，且则（ ）
A．3B．-1C．1D．-3
【答案】A
【分析】根据函数奇偶性可知，解方程组即可求得.
【详解】因为为奇函数，为偶函数，
则
所以
两式相加可得，即
故选：A.
练习7．（2023·辽宁·校联考二模）“”是“函数是奇函数”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】函数为奇函数，解得，判断与的互推关系，即可得到答案.
【详解】当函数为奇函数，
则，
解得.
所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件.
故选：A.
练习8．（2022秋·江苏南通·高一江苏省通州高级中学校考阶段练习）若函数是偶函数，则的最小值为（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】A
【分析】根据为偶函数求出，再利用基本不等式求解.
【详解】由为偶函数可得，即，
所以．
因为，且，，所以，
所以，
则，当且仅当，即时，取最小值4．
故选：A
练习9．（2023·广西玉林·统考三模）函数，若，则________．
【答案】3
【分析】根据题意可得，结合计算即可求解.
【详解】由题得，
∴，
所以．
故答案为：3.
练习10．（2023·上海金山·统考二模）已知是定义域为的奇函数，当时，，则__________.
【答案】
【分析】根据奇函数性质求解即可.
【详解】因为函数是定义域为的奇函数，
所以，
故答案为：.
题型三利用奇偶性求解析式
例5．（2023·全国·高一专题练习）已知奇函数则__________．
【答案】
【分析】根据奇函数的定义，先求当时，，，再进一步求解.
【详解】当时，，，
则．
故答案为：.
例6．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的表达式为_________．
【答案】/
【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出时的解析式作答.
【详解】是定义域为R的奇函数，当时，，
则当时，，，
所以当时，的表达式为.
故答案为：
练习11．（2023·安徽马鞍山·统考三模）函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据奇偶函数的定义可得，再利用基本不等式求最小值.
【详解】由题意可得，解得，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
练习12．（2023·全国·模拟预测）已知函数是奇函数，函数是偶函数．若，则（ ）
A．B．C．0D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性结合已知等式可得，联立可得，即得答案.
【详解】由函数是奇函数，函数是偶函数，，
故，即，
将该式和相减可得，
则，
故选：C
练习13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为_________．
【答案】
【分析】利用函数的奇偶性求解即可.
【详解】由于函数是上的奇函数，则.
当时，，
设，则，则，
所以.
综上所述，.
故答案为：
【点睛】方法点睛：根据函数奇偶性求解析式的步骤：
（1）设：要求哪个区间的解析式，就设在哪个区间；
（2）代：利用已知区间的解析式代入进行推导；
（3）转：根据的奇偶性，把写成或，从而解出.
练习14．（2023秋·安徽芜湖·高三统考期末）函数为偶函数，当时，，则时，___________．
【答案】
【分析】由偶函数的定义求解．
【详解】时，，是偶函数，
∴，
故答案为：．
练习15．（2022秋·安徽马鞍山·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校考期中）已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)若方程有两个实数解，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，则，，然后由函数是定义在上的奇函数求解的解析式.
（2）在同一坐标系中作出函数的图象，根据方程有两个解，转化为函数的图象有两个交点求解.
【详解】（1）设，则，
所以，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以
所以；
（2）在同一坐标系中作出函数的图象，
因为方程有两个解，
所以函数的图象有两个交点，
由图象知：或，
所以的取值范围是.
题型四函数周期性的应用
例7．（2023·山西运城·统考三模）已知定义在上的函数满足，为奇函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】由题意推出函数的周期以及满足等式，赋值求得，利用函数的周期性即可求得答案.
【详解】因为，所以，所以的周期为6，
又为奇函数，所以，所以，
令，得，所以,
所以，
故选：C.
例8．（2023·陕西商洛·统考三模）定义在R上的奇函数满足R，，且当时，，则_________．
【答案】1012
【分析】根据函数的奇偶性、周期性求解即可.
【详解】因为是奇函数，且，
所以，
故是周期为4的周期函数．
所以，
令,可得，所以，
因为函数为奇函数且周期为4，所以，
则，
则．
故答案为:1012.
练习16．（2023春·江西·高三江西师大附中校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，则的值为（ ）
A．－3B．3C．－1D．1
【答案】D
【分析】根据，可得，从而可得函数的周期，再根据函数的周期性计算即可.
【详解】因为，所以，
则，所以，
所以函数是以为周期的周期函数，
则.
故选：D.
练习17．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通过，和的方程联立，得到，根据函数的周期性赋值求解.
【详解】当时，由①，
得②，
①②联立，可得,
得③
把①代入③可得，即，
故，
故选：C.
练习18．（2023·全国·高三专题练习）若函数满足，且当时，，则（ ）
A．－1B．C．0D．
【答案】B
【分析】先利用求出函数的周期，利用周期性转化代入即可求解.
【详解】依题意，
因为，所以，
所以，所以函数的周期为4，
所以.
又因为，所以，
当时，，所以，
所以.
故选：B.
练习19．（2023·广东·高三专题练习）已知，函数都满足，又，则______．
【答案】/
【分析】首先确定函数的周期，再根据条件和函数的周期，求函数值.
【详解】根据题意，，显然，
所以，
所以，
所以函数的周期为8，所以.
故答案为：
练习20．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）已知定义在R上的奇函数满足恒成立，且，则的值为______．
【答案】
【分析】由函数的奇偶性得到，且，结合函数的周期和，求出，得到答案.
【详解】因为是定义在R上的奇函数，
故，且，
又，所以，
且，
当时，，故，解得：，
种，当时，，
又，所以，
故.
故答案为：-1
题型五函数对称性的应用
例9．（2023·湖北·统考二模）已知函数图象的对称轴为，则图象的对称轴为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题设条件可得，故可得正确的选项.
【详解】设，则，
故，整理得到，
所以图象的对称轴为.
故选：C.
例10．（2023·浙江·高三专题练习）定义在R上的非常数函数满足：，且.请写出符合条件的一个函数的解析式______.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据已知，且得出对称轴和对称中心，确定一个具体函数即可.
【详解】因为.得出对称中心，且得出对称轴为轴，且周期为4的函数都可以.
故答案为：
练习21．（2023·山西晋中·统考二模）已知函数，则的图象（ ）
A．关于直线对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于原点对称
【答案】B
【分析】利用函数的对称性及奇偶性即可求解.
【详解】对于A，由，所以的图象不关于直线对称，故A错误；
对于B，由，所以的图象关于点对称．故B正确；
对于C，由，所以不是偶函数，故的图象不关于直线对称，故C错误；
对于D，由，所以不是奇函数，故的图象不关于原点对称，故D错误；
故选：B.
练习22．（2023·陕西安康·统考二模）已知定义在上的奇函数满足，则（ ）
A．B．0C．1D．2．
【答案】B
【分析】由奇偶性及对称性得函数的周期性，由周期性计算函数值，
【详解】由及是奇函数得，，
所以，所以是周期函数，周期为4，
，
故选：B．
练习23．（2023秋·河北承德·高三统考期末）已知函数满足，若与图象的交点为，则（ ）
A．B．0C．4D．8
【答案】D
【分析】由和的图象都关于直线对称，利用对称性求解.
【详解】由可知的图象关于直线对称，的图象关于直线对称，
所以.
故选：D
练习24．（2021春·陕西汉中·高三统考期中）已知二次函数，满足，且，则不等式的解集为______．
【答案】
【分析】根据二次函数的对称性、单调性求得正确答案.
【详解】由于，所以二次函数的对称轴为，
由于，所以开口向上，
在上递减；在上递增，
由得，
即，
所以不等式的解集为.
故答案为：
练习25．（2023秋·江苏苏州·高三统考开学考试）写出一个非常数函数同时满足条件：①，②. 则___________.
【答案】（形如或或或）
【分析】根据函数所满足的周期性、对称性写出满足条件的函数即可.
【详解】因为，，
所以函数周期，函数对称轴为，
故可取函数，
故答案为：（答案不唯一，形如或或或都可以）
题型六单调性与奇偶性的综合问题
例11．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市第四中学校考期末）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意先求出函数在上为单调增函数且关于直线对称，然后利用函数的单调性和对称性即可求解.
【详解】∵当时，恒成立，
∴当时，，即，
∴函数在上为单调增函数，
∵函数是偶函数，即，
∴函数的图象关于直线对称，∴，
又函数在上为单调增函数，∴，
即，∴，
故选：B.
例12．（2022秋·广东佛山·高三佛山市荣山中学校考期中）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________；若函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数．则不等式的解集为_________
【答案】
【分析】第一空利用奇函数的性质计算即可，第二空利用单调性结合偶函数的性质解不等式即可.
【详解】令，即，则；
由题意可得：.
故答案为：；
练习26．（2023·广西·校联考模拟预测）下列函数既是奇函数又在上是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分别对每个选项中的函数进行奇偶性和增减性分析即可.
【详解】对于，因为是奇函数，又在上是增函数，所以正确；
对于，因为为偶函数，且定义域为，所以错误；
对于，因为是奇函数，但在上为减函数，所以C错误；
对于，因为为奇函数，但在上是减函数，所以错误.
故选:A.
练习27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】判断的奇偶性与单调性，根据单调性转化不等式．再解不等式即可.
【详解】由得，即函数的定义域为．
因为，
所以为上的偶函数，
当时，，
因为函数在上单调递减,所以在上单调递减，
又都是在上单调递减，
根据单调性的性质，可知函数在上单调递减，
又因为函数为偶函数，所以函数在上单调递增，
又，所以，可得，
所以，且，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：D
练习28．（2023秋·浙江杭州·高三杭州市长河高级中学校考期末）若是奇函数，且在上是增函数，又，则的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据函数为奇函数求得且在上是增函数，进而根据得出且或且，最后取并集．
【详解】解：函数为奇函数，
，，
函数在上是增函数，函数在上是增函数，
所以当或时，当或时，
对于，
则或，
解得或
的取值范围是．
故选：D．
练习29．（2023春·河北保定·高三保定一中校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数的解析式．
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，利用，可得解析式；
（2）利用函数的奇偶性，根据单调性可去掉符号“f”，再考虑到定义域即可求出a的范围．
【详解】（1）因为为奇函数，，设，则，
则,
因为为奇函数，则 ，
则．
（2）当时，为单调递增函数，
由奇函数可知是定义在[﹣3，3]上的增函数，
又∵，∴，
故有：，则有，解得：
所以实数a取值范围是：
练习30．（2023春·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知函数是奇函数．
(1)求的值．
(2)若时，是上的增函数，且，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数的定义即可求的值．（2）利用函数单调性和奇偶性解抽象不等式知识即可求的取值范围．
【详解】（1）函数是奇函数．
（2）若时，即时，
是奇函数又是增函数，
且，可得，
，即
的取值范围是.
题型七对称性、周期性与奇偶性的综合问题
例13．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知函数的定义域为，满足为奇函数且，当时，，则（ ）
A．B．C．0D．10
【答案】D
【分析】根据题意推得，得到函数的周期为，利用函数的周期性和对称，结合，代入即可求解.
【详解】由为奇函数，可得函数的对称中心为，即
又由，则的对称轴为，即，
所以，即，
又由，所以，即函数的周期为，
则.
故选：D.
例14．（山东省烟台市2023届高考适应性练习（一）数学试题）（多选）定义在上的函数满足，是偶函数，，则（ ）
A．是奇函数B．
C．的图象关于直线对称D．
【答案】ABD
【分析】利用函数的奇偶性、对称性、周期性求解即可.
【详解】对于选项，∵是偶函数，∴，
∴函数关于直线对称，∴，
∵，∴，∴是奇函数，则正确；
对于选项，∵，∴，∴,
∴的周期为，∴，则正确；
对于选项，若的图象关于直线对称，则，
但是，，即，这与假设条件矛盾，则选项错误；
对于选项，将代入，得，
将，代入，得，
同理可知，
又∵的周期为，∴正奇数项的周期为，
∴
，则正确.
故选：ABD.
练习31．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定的条件，探求函数的性质，再逐项分析判断作答.
【详解】函数的定义域为，为偶函数，则，即，
又为奇函数，则，即有，亦即，
因此，即，由，得，
则有，即函数是上的偶函数，又，从而是周期为6的周期函数，
显然，而没有条件能求出，即CD错误；
，没有条件能求出，A错误；
由，得，即，所以，B正确.
故选：B
练习32．（2023·河南·校联考模拟预测）已知将函数的图像向左平移1个单位后关于轴对称，若，且，则（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】B
【分析】由题意得函数关于对称，即，结合，可得函数的周期为2，再根据，求出的值.
【详解】因为将函数的图像向左平移1个单位后关于轴对称，
所以函数关于对称，即，即；
又因为，所以，
即，所以，
因为，所以，即，
所以由，得，
即，所以函数的周期为2，
则，
由，得.
故选：B.
练习33．（2023春·安徽合肥·高三合肥市第八中学校考期中）若函数的定义域为，是偶函数，且．则下列说法正确的个数为（ ）
①的一个周期为2；
②；
③的一条对称轴为；
④．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合奇偶函数的定义，可得，，由此推理计算即可判断各命题作答.
【详解】对于①：是偶函数，设，得，
因，所以，故，
故，即，故，
所以，所以的一个周期为4，故①错误.
对于②：由于，令，得.
.故②正确.
对于③：由知函数的一条对称轴为，因为的一个周期为4，所以也是函数的一条对称轴，故③正确.
对于④：因，得，即.
因，所以，
，故④正确
故选：C.
练习34．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）（多选）已知函数的定义域为R，为奇函数，且对，恒成立，则（ ）
A．为奇函数B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据函数定义换算可得为偶函数，根据偶函数和奇函数性质可知为周期函数，再根据函数周期性和函数特殊值即可得出选项.
【详解】因为为奇函数，所以，故
又，所以，故，
所以，为偶函数，A错误；
为奇函数，所以，，
所以，B正确；
，又的图象关于点对称，所以，
所以，C正确；
又，所以是以4为周期的函数，
，D正确．
故选：BCD．
练习35．（2023·重庆·校联考模拟预测）（多选）已知上的偶函数在区间上单调递增，且恒有成立，则下列说法正确的是（ ）
A．在上是增函数B．的图象关于点对称
C．函数在处取得最小值D．函数没有最大值
【答案】BC
【分析】由得函数图象关于点对称，再结合偶函数性质得出函数的周期性，从而可得函数的单调性，然后可判断各选项．
【详解】因为又是偶函数，且在上单调递增，则在上单调递减，
∵，∴，
设是上任一点，它关于的对称点是，
，即也是函数图象上的点，
∴函数的图象关于点中心对称，B正确；
从而在上单调递减，A错误；
由上推导知在上递减，由对称性知在上递增，
又，即是周期函数，4是它的一个周期，
从而在上递增，在上递减，
因此是函数的最小值，是函数的最大值，C正确，D错误．
故选：BC．
题型一
判断函数的奇偶性
题型二
利用奇偶性求函数值或参数值
题型三
利用奇偶性求解析式
题型四
函数周期性的应用
题型五
函数对称性的应用
题型六
单调性与奇偶性的综合问题
题型七
对称性、周期性与奇偶性的综合问题