2025年高考数学一轮复习专题9.5 抛物线-(原卷版+解析版)

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题型一抛物线的定义与方程
例1．（2023秋·高二课时练习）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于P，Q两点，若P，Q在抛物线准线上的射影为，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由抛物线的定义及内错角相等，可得，，可得答案.
【详解】由于为焦半径，
所以，
题中求的是角，故把边转化到角，如图，

则，
，
，
又，
所以，
，从而.
故选：C
例2．（2023·山东烟台·统考三模）设抛物线的焦点为，点，过点的直线交于两点，直线垂直轴，，则________．
【答案】
【分析】根据抛物线定义求出，再设直线的方程为，得到韦达定理式，求出点横坐标，再利用抛物线定义即可求出的长.
【详解】由题意得,因为直线垂直于轴,,准线方程为，
所以点的横坐标为,设，
根据抛物线的定义知，解得，
则，则，可设直线的方程为，
联立抛物线方程有可得，
，则，
则，解得，则，
故答案为：.

练习1．（2023秋·高三课时练习）抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点的距离是6，则抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】B
【分析】由已知，抛物线开口向左，设其方程为，则准线方程为，由条件结合抛物线的定义求出的值即可.
【详解】由已知，抛物线开口向左，设其方程为,，则准线方程为，
由抛物线的定义知，点到焦点的距离是，所以，
所以抛物线的方程是：，
故选：B.
练习2．（2021秋·高三课时练习）分别求符合下列条件的抛物线方程:
(1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点;
(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为.
【答案】(1)或
(2)或或或
【分析】（1）由题意方程可设为或,将代入求解即可;
（2）根据抛物线的定义焦点到准线的距离为,即,写出抛物线方程即可.
【详解】（1）由题意,方程可设为或,
将点的坐标代入,得或,
∴或,
∴所求的抛物线方程为或.
（2）由焦点到准线的距离为,可知,
∴所求抛物线方程为或或或.
练习3．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义求得，然后在直角三角形中利用可求得，从而可得答案．
【详解】如图，连接，设准线与轴交点为

抛物线的焦点为，准线：
又抛物线的定义可得，又，所以为等边三角形，
所以，
所以在中，，则，所以抛物线的方程为.
故选：C.
练习4．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知抛物线与圆，过抛物线的焦点作斜率为的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点（在轴的同一侧），若，则的值是___________．
【答案】8
【分析】根据给定条件，写出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并结合圆的性质及向量等式求解作答.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为，于是直线：，显然，
由消去y得：，设，
则，又圆的圆心为，半径为1，
由，得，即，
于是，整理得，又，解得，
则，解得，
所以的值是8.
故答案为：8
练习5．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若，则___________
【答案】4
【分析】先求出准线方程为，根据抛物线定义把焦半径转化为焦点到准线距离，在直角梯形中由平行线得比练习线段，从而可得，即，从而可得．
【详解】易知焦点F的坐标为，准线方程为，如图，作于，于，
，可知线段BM平行于AF和DN，因为，，，
所以，又由定义知，
所以.

故答案为：4.
题型二抛物线方程与位置特征
例3．（2023·陕西渭南·统考二模）将抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，正好与抛物线重合，则（ ）
A．B．C．-2D．2
【答案】A
【分析】根据抛物线旋转规律可得，其焦点坐标从轴负半轴旋转到轴正半轴，即可得.
【详解】根据题意可得抛物线的焦点坐标为，
抛物线的标准方程为，可得其焦点坐标为，
易知绕原点顺时针旋转之后得到，即可得，
解得.
故选：A
例4．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)焦点为，准线方程为；
(2)焦点为，准线方程为．
【分析】（1）根据抛物线标准方程即可判断焦点位置及，进而写出焦点坐标和准线方程；
（2）将抛物线化成标准方程可得，即可写出焦点坐标和准线方程；
【详解】（1）由抛物线方程为，可得，且焦点在轴正半轴上，
所以可得其焦点为，准线方程为；
（2）将化成标准方程为，
可得，且焦点在轴负半轴上，
所以焦点为，准线方程为.
练习6．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】结合椭圆和抛物线的标准方程定义判断即可.
【详解】由，则方程表示焦点在轴上的椭圆，
方程化为，
由于，则方程表示焦点在轴上开口向左的抛物线.
故选：A.
练习7．（2022·高三单元测试）已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形编号可能是（ ）
A．①④B．②③C．①②D．③④
【答案】B
【分析】结合椭圆、双曲线、抛物线的图像，分别对①②③④分析m、n的正负，即可得到答案.
【详解】对于①：由双曲线的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，矛盾.故①错误；
对于②：由双曲线的图像可知：；由抛物线的图像可知：异号，符合要求.故②成立；
对于③：由椭圆的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，且抛物线的焦点在x轴上，符合要求.故③成立；
对于④：由椭圆的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，且抛物线的焦点在x轴上，矛盾.故④错误；
故选：B
练习8．（2022·高三课时练习）根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画图：
(1)准线方程为；
(2)焦点在x轴上且其到准线的距离为6；
(3)对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2；
(4)对称轴是y轴，经过点．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)答案见解析；
(4)答案见解析.
【分析】（1）根据抛物线的准线方程为，得到且焦点在y轴上求解；
（2）根据焦点在x轴上且其到准线的距离为6，得到求解；
（3）根据对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2，得到求解；
（4）根据对称轴是y轴，设抛物线方程为，将点代入求解.
(1)
解：因为抛物线的准线方程为，
所以，p=3，
所以抛物线的方程是；其图象如下：
(2)
因为焦点在x轴上且其到准线的距离为6，
所以，
所以抛物线的方程是或；其图象如下：
(3)
因为对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2
所以，p=4，
所以抛物线的方程是或；其图象如下：
(4)
因为对称轴是y轴，
设抛物线方程为，
因为抛物线经过点，
所以，解得，
所以抛物线的方程是，其图象如下：
练习9．（2023·全国·模拟预测）十一世纪，波斯（今伊朗）诗人奥马尔·海亚姆（约1048-1131）发现了三次方程的几何求解方法，如图是他的手稿，目前存放在伊朗的德黑兰大学．奥马尔采用了圆锥曲线的工具，画出图像后，可通过测量的方式求出三次方程的数值解．在平面直角坐标系上，画抛物线，在轴上取点，以为直径画圆，交抛物线于点．过作轴的垂线，交轴于点．下面几个值中，哪个是方程的解？（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出圆的方程，联立圆与抛物线的方程求出P的横坐标满足的方程可得解.
【详解】由题意，圆的方程为，如图，
联立，
消去可得：，
即，
可得或，
即P点的横坐标满足方程，
故点的横坐标可以满足的方程.
故选：A
练习10．（2022·高三单元测试）（多选）已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】先将方程化为标准方程得，，再根据抛物线图形与椭圆或双曲线图形判断即可.
【详解】解：将对应方程化为标准方程得，，
所以抛物线的焦点在轴上，故排除D选项，
对于A选项，由图可知，，，矛盾，故A错误；
对于B选项，由图可知，，，满足，故B正确；
对于C选项，由图可知，，，，满足，故C正确；
故选：BC.
题型三距离的最值问题
例5．（2023·江苏无锡·校联考三模）已如，是抛物线上的动点（异于顶点），过作圆的切线，切点为，则的最小值为______.
【答案】3
【分析】设出点的坐标，结合圆的切线的性质求出，再借助式子几何意义作答.
【详解】依题意，设，有，圆的圆心，半径，
于是，

因此，表示抛物线上的点到y轴距离与到定点的距离的和，
而点在抛物线内，当且仅当是过点垂直于y轴的直线与抛物线的交点时，取得最小值3，
所以的最小值为3.
故答案为：3.
例6．（2023秋·高三课时练习）若点的坐标为，F为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，为使最小，点的坐标应为__________．
【答案】
【分析】根据点位置和抛物线方程可得焦点和准线，利用抛物线定义可知，当三点纵坐标相同时取最小值，即可求得.
【详解】由以及抛物线可知，点在抛物线内部，如下图所示：
抛物线的焦点坐标，准线方程为；
作垂直于准线，垂足为，
由抛物线定义可得，则，
当且仅当三点共线时，取最小值，
此时三点纵坐标相同，所以点的纵坐标为，
代入抛物线方程可得.
故答案为：
练习11．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知是抛物线的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为_______．
【答案】
【分析】根据题意，过点作，垂足为，过点，垂足为，根据抛物线的定义，转化为，结合图象，得到，当且仅当在一条直线上时，的最小值，即可求解.
【详解】由抛物线，可得焦点坐标为，准线方程为，
又由曲线，可化为，
可得圆心坐标为，半径，
过点作，垂足为，过点作，垂足为，交抛物线于，如图所示，
根据抛物线的定义，可得，
要使得取得最小值，只需使得点与重合，此时与重合，
即，当且仅当在一条直线上时，
所以的最小值为.
故答案为：.
练习12．（2022秋·河南焦作·高三统考期末）已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（ ）
A．3B．4C．D．6
【答案】B
【分析】先判断直线与抛物线的位置关系，过点作于点，于点，连接，根据抛物线的定义，得到，推出，结合图形，可得，，共线时，最小，进而可得出结果.
【详解】由消去得，
因为，所以方程无解，
即直线与抛物线无交点；
过点作于点，于点，记抛物线的焦点为，连接，
因为点到直线的距离为,为抛物线的准线，根据抛物的定义可得，，
则到直线和的距离之和为，
若，，三点不共线，则有，
当，，三点共线，且位于之间时，，
则，
又，
所以，即所求距离和的最小值为.
故选：.
练习13．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知点是抛物线上的动点，则的最小值为______.
【答案】/
【分析】根据已知条件将问题转化为抛物线上的动点到直线和轴的距离之和的最小值，作出图形，利用抛物线的定义及点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由题可知，过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点，
由，得，所以，如图所示

则动点到轴的距离为
所以，
当且仅当三点共线时，有最小值，即(此时为点到直线的距离)，
所以到直线的距离为，
所以，
所以.
所以的最小值为.
故答案为：
练习14．（2023·河南·校联考模拟预测）设P为抛物线C：上的动点，关于P的对称点为B，记P到直线的距离分别，，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意得到，再利用抛物线的定义结合三角不等式求解.
【详解】解：如图，

因为，且关于P的对称点为B，所以|PA|=|PB|，抛物线焦点，
所以
.
当P在线段AF上时，取得最小值，且最小值为.
故选：A
练习15．（河北省唐山市、保定市四校（保定中恒高级中学有限公司等）2023届高三一模数学试题）（多选）抛物线的焦点为，为抛物线上的动点，若点不在抛物线上，且满足的最小值为，则的值可以为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】ABC
【分析】分类讨论A的位置，再由抛物线的定义转化线段和求最小值或三角形三边关系判定最小值即可.
【详解】
如上图所示，若A在抛物线内，易知，抛物线的准线为，
过P作PE垂直于抛物线准线，垂足为E，过A作AB垂直于抛物线准线，垂足为B，交抛物线于，
由抛物线的定义知，当且仅当A、P、B三点共线时，
即重合时取得最小值，，
又A在抛物线内，故，
所以，即；
若A在抛物线外，连接AF交抛物线于G点，则，
当且仅当重合时取得最小值，此时即.

综上.
故选：ABC
题型四实际问题中的抛物线
例7．（2023·青海海东·统考模拟预测）图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】D
【分析】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，设拱桥所在抛物线的方程为，根据抛物线过点，求出的值，即可得到抛物线方程，再令，求出的值，即可得解.
【详解】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，
可设拱桥所在抛物线的方程为，
又抛物线过点，则，解得，
则抛物线的方程为，当时，，
故当水面宽度为米时，拱顶与水面之间的距离为米.
故选：D
例8．（2023春·广东韶关·高三校考阶段练习）有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为______m.
【答案】3.8
【分析】由题意，建立平面直角坐标系，明确点的坐标，求出抛物线方程，可得答案.
【详解】由题意，如图建系：
则，，，，
如图可设，抛物线方程为，将代入，可得，求得，
故抛物线方程为，
将代入抛物线方程，可得，
.
故答案为：3.8.
练习16．（2023春·广西南宁·高三统考开学考试）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪.某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点到点）.已知观测点A的坐标，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令.
(1)求航天器变轨时点的坐标；
(2)求航天器降落点与观测点A之间的距离.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）设出点，利用的距离和椭圆方程可求出点的坐标；
（2）根据抛物线经过的点求出方程，解出降落点的坐标，可得答案.
【详解】（1）设，由题意，，即，
又，联立解得或（舍），当时， ，
故的坐标为.
（2）由题意设抛物线的方程为，
因为抛物线经过点，，
所以，，解得，即；
令可得或（舍），即；
所以，
所以航天器降落点与观测点A之间的距离为3.
练习17．（2023·上海·高三专题练习）如图所示，一种建筑由外部的等腰梯形PQRS、内部的抛物线以及水平的杠杆AB组成，其中PS和QR分别与抛物线相切于A，B，A，B分别是PS和QR的中点.梯形的高和CD的长度都是4米.
(1)求杠杆AB的长度；
(2)求等腰梯形的周长.
【答案】(1)米
(2)米
【分析】（1）以所在的直线为轴，为原点，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设分别与轴的交点为点，根据已知条件求出
坐标，设抛物线的解析式为，代入求出抛物线方程，令解得可得答案；
（2）由（1）米，设，直线的解析式为，把代入解得，利用直线的解析式与抛物线方程联立，再由解得，可得， A，B分别是PS和QR的中点得，从而得出答案.
【详解】（1）以所在的直线为轴，为原点，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，
设分别与轴的交点为点，则轴为图象的对称轴，
且，，米，，
所以，设抛物线的解析式为，
代入得解得，所以，
当时，解得，所以，
所以（米），
所以杠杆AB的长度为米；
（2）由（1）米，，设，且，
直线的解析式为，
把代入得，解得，
所以直线的解析式为，与抛物线方程联立得，
因为PS和QR分别与抛物线相切于A，B，
所以，，
所以，解得，
经检验，是分式方程的根，符合题意，
所以，由勾股定理得米，
因为A，B分别是PS和QR的中点，所以米，
所以米，
即等腰梯形的周长为米.
练习18．（2023·全国·高三专题练习）有一正方形景区，所在直线是一条公路，该景区的垃圾可送到位于点的垃圾回收站或公路上的流动垃圾回收车，于是，景区分为两个区域和，其中中的垃圾送到流动垃圾回收车较近，中的垃圾送到垃圾回收站较近，景区内和的分界线为曲线，现如图所示建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为．
(1)求景区内的分界线的方程；
(2)为了证明与的面积之差大于1，两位同学分别给出了如下思路，思路①：求分界线在点处的切线方程，借助于切线与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明；思路②：设直线：，分界线恒在直线的下方（可以接触），求的最小值，借助于直线与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明．请选择一个思路，证明上述结论．
【答案】(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）根据给定信息，可得分界线上任意点到点F与直线EH距离相等，再列出方程化简作答.
（2）选①，求出分界线在点处的切线方程，再求出该切线与y轴分正方形所成两部分面积差即可；选②，借助恒成立求出b的最小值得直线L，再求出直线L与y轴分正方形所成两部分面积差即可.
【详解】（1）分界线C上任意点到点F与直线EH距离相等，直线EH：，点，设分界线C上任意一点为，
于是得，整理得，
所以景区内的分界线的方程：.
（2）选①：点的坐标为，显然切线斜率存在，设切线方程为，，
由，得，由，得，
因此分界线在点处的切线方程为，设切线交轴于点，则，
梯形面积，显然，因此，
所以．
选②：依题意，对恒成立，即，
而，当且仅当时取等号，则，
即的最小值为1，直线方程为，设直线交轴于点，则，
梯形面积，显然，因此，
所以．
练习19．（2023春·福建莆田·高三莆田一中校考期中）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角满足，，则其焦径比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为：，，，代入抛物线方程可得，根据，解得与的关系，即可得出．
【详解】如图所示，建立直角坐标系，
设抛物线的标准方程为：，，
，代入抛物线方程可得：，解得，
由于，得或（舍）
又，化为：，
解得或（舍）
.
故选：C.
练习20．（2023·全国·高二专题练习）探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件及设出抛物线的标准方程，结合点在抛物线上即可求解.
【详解】在纵断面内，以反射镜的顶点（即抛物线的顶点）为坐标原点，过顶点垂直于灯口直径的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示，
由题意可得.
设抛物线的标准方程为，于是，解得.
所以抛物线的焦点到顶点的距离为，即光源到反射镜顶点的距离为.
故选：B.
题型五抛物线中的三角形和四边形问题
例9．（2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）已知抛物线的焦点为，准线与坐标轴交于点是抛物线上一点，若，则的面积为（ ）
A．4B．C．D．2
【答案】D
【分析】根据抛物线的定义和标准方程即可求解.
【详解】由，
得，
则，
根据抛物线的定义知2，
解得，
代入，
得，
所以的面积为.
故选：D.
例10．（2023·福建莆田·校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，、是上异于点的两点（为坐标原点），若，过的中点作于点，则的最小值为_________．
【答案】1
【分析】结合图形，利用抛物线的定义和基本不等式即可求解.
【详解】
过点作于点，过点作于点，
设，，所以，
因为
，
所以，则的最小值为，当且仅当时，等号成立．
故答案为：.
练习21．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）设抛物线：（）焦点为，准线为，过第一象限内的抛物线上一点作 的垂线，垂足为．设，与相交于．若，且的面积为，则抛物线的方程为________________.
【答案】
【分析】由抛物线定义可得四边形为平行四边形，故可得点 即得抛物线方程.
【详解】如图所示，，．
所以．
轴，，，
所以四边形为平行四边形，
，．
，解得，
代入可取，
，
解得．.
故答案为：.
练习22．（2023春·海南·高三海南中学校考阶段练习）设O为坐标原点， F为抛物线C：的焦点，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线C交于M，N两点（点N在第一象限），当时，，则____________，
【答案】
【分析】运用抛物线定义及相似三角形性质可求得结果.
【详解】设直线l与抛物线准线交于点E，过点M作准线的垂线垂足为B，准线与y轴交于点G，如图所示，

则，
由抛物线定义知，，
所以在中，，
所以，
又因为，
所以，即：，
所以，
所以.
故答案为：3.
练习23．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，直线与交于 ，两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为____．
【答案】
【分析】运用抛物线定义及作差法比较大小可求得结果.
【详解】如图所示，设抛物线的准线为，作于点，于点，
由抛物线的定义可设：，，
因为，
所以由勾股定理可知：，
由梯形中位线的性质可得：，
又因为，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
又因为，，
所以，即，当且仅当时取等号.
所以，当且仅当时取等号.
所以的最小值为.
故答案为：.
练习24．（2023·全国·模拟预测）已知是抛物线的焦点，点A，B在抛物线上，且的重心坐标为，则（ ）
A．B．6C．D．
【答案】D
【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，设出点的坐标，利用三角形重心坐标公式结合斜率坐标公式求出弦AB长的表达式，再利用抛物线定义求解作答.
【详解】抛物线：的焦点，准线方程为，设点，

由的重心为，得，，解得，，
直线的斜率，则，
又，所以.
故选：D
练习25．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点E，过F的直线与C在第一象限的交点为A，则的最大值为______．
【答案】
【分析】先根据抛物线定义转化为，再联立直线和抛物线得出切线斜率即可求出最大值.
【详解】由题意可知，，．如图所示，过作，垂足为，因为，所以．
只要最小，满足题意，即最小，结合图形可知，与相切时，最小．
设直线的方程为．
由得，，
由，解之得或（舍去），
此时，取得最大值．

故答案为：
题型六抛物线的简单几何性质
例11．（2023·全国·高三对口高考）已知是抛物线上的两个点，O为坐标原点，若且的垂心恰是抛物线的焦点，则直线的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合抛物线的对称性，得到关于轴对称，设直线的方程为，由的垂心恰好是抛物线的焦点，得到，根据，列出方程，即可求解.
【详解】由点是抛物线上的两点，且，
根据抛物线的对称性，可得关于轴对称，
设直线的方程为，则，
因为的垂心恰好是抛物线的焦点，
所以，可得，即，
解得，即直线的方程为.
故选：C.

例12．（2022秋·重庆·高三统考期末）已知，则方程表示的曲线可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由方程得或，通过分类讨论，结合抛物线的性质、直线的斜率及截距等知识进行判断即可.
【详解】方程，得或，
当时，则有或，分别表示开口向上的抛物线满足的部分和斜率为正且在轴上截距为正的直线，故A，B，D不符合，C符合；
当时，则有或，分别表示开口向上的抛物线满足的部分和斜率为负且在轴上截距为负的直线，故A，B，C，D均不符合，
综上，方程表示的曲线可能是C.
故选：C.
练习26．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）（多选）对于抛物线，下列描述不正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为
C．准线方程为D．准线方程为
【答案】BC
【分析】把抛物线的方程化为标准方程，结合性质可得答案.
【详解】因为，所以，所以抛物线开口向上，焦点为，其准线方程为，结合选项可得A,D正确.
故选：BC.
练习27．（2023秋·高三课时练习）抛物线的焦点坐标为（ ）
A．时为时B．时为时为
C．D．
【答案】C
【分析】抛物线化为，分，两种情况讨论求解，综合即可得出答案.
【详解】抛物线的焦点坐标为，抛物线的焦点坐标为.
抛物线化为，
当时，其表示焦点在轴正半轴上，开口向上的抛物线，，故焦点坐标为；
当时，其表示焦点在轴负半轴上，开口向下的抛物线，，故焦点坐标为即，
综上，抛物线的焦点坐标为.
故选：C.
练习28．（2023秋·高三课时练习）抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是__________．
【答案】1或9
【分析】设该点的坐标为，根据题中条件列出方程组求解即可.
【详解】抛物线的准线方程为，对称轴为轴，
设该点的坐标为，
由题意可得，，则，
即，解得或，
因为，所以或.
故答案为：1或9.
练习29．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线，P为C上一点，，，当最小时，点P到坐标原点的距离为（ ）
A．B．C．D．8
【答案】A
【分析】设，由抛物线的定义可得，，设化简可得当时，取得最小值，求出的坐标，即可求解
【详解】因为抛物线，则焦点为，准线为，
又，，则点为抛物线的焦点，
过作准线的垂线，垂足为，
设，则，故，
由抛物线的定义可得，
，
又，则设故，
则，
当时，取得最小值为，则，，
将代入抛物线可得，所以
故选：A
练习30．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线上．若，则当取得最大值时，___________．
【答案】或4
【分析】利用余弦定理可得，再利用基本不等式可求得的最大值，再结合抛物线的对称性即可求得的值．
【详解】在中，由余弦定理可得．
，．
，，当且仅当时，等号成立．
根据抛物线的对称性可知，或，或4．
故答案为：或4．
题型一
抛物线的定义与方程
题型二
抛物线方程与位置特征
题型三
距离的最值问题
题型四
实际问题中的抛物线
题型五
抛物线中的三角形和四边形问题
题型六
抛物线的简单几何性质