2024年中考押题预测卷02（山西卷）数学（全解全析）

这是一份2024年中考押题预测卷02（山西卷）数学（全解全析），共25页。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．−2024的倒数是（ ）
A．−2024B．2024C．−12024D．12024
【答案】C
【分析】本题考查了倒数定义，根据题意利用倒数定义（互为倒数的两个数乘积为1）即可得出本题答案．
【详解】解：∵ −2024×−12024=1
∴−2024的倒数为−12024，
故选：C．
2．下列图中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题考查中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．ab32=a2b6 B．a2⋅a4=a8 C．2a6+a3=2a9 D．a+b2=a2+b2
【答案】A
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式逐项分析即可.
【详解】解： A、ab32=a2b6，故选项A符合题意；
B、a2⋅a4=a6，故选项B不符合题意；
C、2a6与a3不是同类项，不能合并，故选项C不符合题意；
D、a+b2=a2+2ab+b2，故选项D不符合题意；
故选：A．
4．2023年10月26日11时14分，神舟十七号飞船成功发射，将汤洪波、江新林、唐胜杰三位宇航员送入了中国空间站．这是中国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的第2次载人飞行任务，是工程立项实施以来的第30次发射任务．已知中国空间站绕地球运行的速度约为7.68×103m/s，则中国空间站绕地球运行2×103s走过的路程（m）用科学记数法可表示为（ ）
A．15.36×106B．1.536×106C．1.536×107D．0.1536×108
【答案】C
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤a<10，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．根据路程等于速度乘以时间，将结果用科学记数法表示即可．
【详解】解：∵ 中国空间站绕地球运行的速度约为7.68×103m/s，运行时间为2×103s，
∴ 走过的路程为：7.68×103×2×103=15.36×106=1.536×107（m）．
故选：C．
5．如图，AB是半圆的直径，圆心为O．若AB的长为6，则弦AC的长为（ ）
A．6sinAB．6csAC．6csAD．6tanA
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形．连接BC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：连接BC，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AB=6，
∴AC=AB⋅csA=6csA，
∴弦AC的长为6csA，
故选：B．
6．已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为4Ω时，电流为（ ）
A．3AB．4AC．6AD．8A
【答案】C
【分析】此题考查了反比例函数的实际应用， 先根据待定系数法求出解析式，R=4Ω代入函数求值即可，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】设电流I与电阻R函数关系为I=kR，
∵图象经过点8,3，
∴3=k8，
解得：k=24；
∴I=36R，
当R=4Ω时，I=244=6A，
故选：C．
7．如图，小颖将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB=90°，∠ABC=60°，∠EFD=90°，∠DEF=45°，AB∥DE，则∠CFE的度数是（ ）
A．15°B．30°C．45°D．75°
【答案】D
【分析】本题考查三角形的内外角关系、平行线的性质以及平角的定义，寻找角与角之间的关系是解决本题的关键．
根据平行线得到∠BGF=∠D=45°，结合内外角关系得到∠AFG，结合平角的定义即可得到答案．
【详解】解：∵ ∠EFD=90°，∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴ ∠D=45°，∠A=30°，
∴ AB∥DE，如下图：
∴∠BGF=∠D=45°，
∵∠FGB=∠A+∠AFG，
∴∠AFG=45°−30°=15°，
∵∠EFD=90°，
∴∠EFC=180°−90°−15°=75°．
故选： D．
8．如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
下列结论：①抛物线的开口向上；②其图象的对称轴为x=1；③当x>32时；函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4．其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．②③④
【答案】B
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征．设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式，然后化成顶点式，根据二次函数的性质即可判断．
【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
由题意知：4a−2b+c=6c=−4a+b+c=−6，
解得a=1b=−3c=−4，
∴二次函数的解析式为y=x2−3x−4=(x−4)(x+1)=x−322−254，
①函数图象开口向上，故①选项正确；
②对称轴为直线x=32，故②选项错误；
③当x>32时，函数值y随x的增大而增大，故③选项正确；
④方程x2−3x−4=0的解为x1=−1，x2=4，故④选项错误．
故选：B．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，先以点C为圆心画弧，使其恰好与AB边相切于点E，再以BC边为直径，在BC边的上方作半圆且恰好经过点E．若AC=BC=2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．32−π4B．12−π4C．32−π2D．12−π2
【答案】A
【分析】本题考查了扇形面积和等腰直角三角形等知识，连接CE，根据对称性可得两个阴影面积和是△ACE的面积减去弓形CE的面积，然后求解即可．
【详解】解：连接CE，
∵以点C为圆心画弧，使其恰好与AB边相切于点E，
∴CE⊥AB，
∵AC=BC=2，∠ACB=90°，
∴AB=AC2+BC2=22，
∴AE=BE=12AB=2，
△ACB关于CE所在直线对称，
∴下方阴影与上方空白处重合，
∴两个阴影面积和是△ACE的面积减去弓形CE的面积，
△ACE的面积=12×2×2=1，
弓形CE的面积=12(S半圆−S△BCE)=π4−12，
阴影面积为：1−π4−12=32−π4，
故选：A．
10．如图所示，直线y=−34x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO1B1按此规律继续旋转，则第2025次旋转结束后，点B2025的坐标为（ ）
A．3,4B．7,4C．7,3D．3,7
【答案】B
【分析】本题考查了坐标与图形变化−旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标，以及一次函数与坐标轴交点的问题，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．
先依次求出B1,B2,B3,B4的坐标，以此发现规律为4次一循环，而第2025次后点B的坐标与B1重合，即可求解．
【详解】解：对于y=−34x+3，当x=0,y=3，y=0时，−34x+3=0，解得x=4，
∴AO=4,OB=3，
∴第一次旋转后，根据旋转的不变性得B14+3,4，即B17,4，
第二次旋转后B24+4,−3，即B28,−3，
第三次旋转后B34−3,−4，即B31,−4，
第四次旋转后与点B重合，B40,3，
发现4次一循环，而2025÷4=506⋯1，
∴第2025次旋转结束后，点B2025与点B17,4重合，∴B20257,4，
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．已知xy=2，x−y=5，则x2y−xy2= ．
【答案】10
【分析】本题考查了因式分解得应用，代数式求值，利用提公因式法可得x2y−xy2=xyx−y，把xy=2，x−y=5代入计算即可求解，正确利用因式分解对原式进行转化是解题的关键．
【详解】解：x2y−xy2=xyx−y=2×5=10，
故答案为：10．
12．《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙三十六石，问：各该若干？”其大意为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，甲、乙白米相差数与乙、丙白米相差数一样（甲的白米比乙多，乙的白米比丙多），只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”设乙分得白米x石，则可列方程为 ．
【答案】x+18+x+x−18=180
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设乙分得白米x石，得出甲、丙分得白米数，由甲、乙、丙三人分得之和为180石列出方程即可．找准等量关系来列方程是解题的关键．
【详解】解：若设乙分得白米x石，
∵甲、乙白米相差数与乙、丙白米相差数一样，甲比丙多分三十六石，
∴甲、乙白米相差数与乙、丙白米相差数都是18石，
∴甲分得白米x+18石，丙分得白米x−18石，
又∵甲、乙、丙三人来分这一百八十石，即甲、乙、丙三人分得之和为180石，
∴可得方程：x+18+x+x−18=180．
故答案为：x+18+x+x−18=180．
13．若反比例函数y=−2x的图象与正比例函数y=n−6x（n为常数）的图象有两个交点，则n的取值范围是 ．
【答案】n<6/6>n
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一元二次方程根的判别式，联立两函数解析式得到n−6x2+2=0，再根据题意可得方程n−6x2+2=0有两个不相等的实数根，据此利用判别式求解即可．
【详解】解：联立y=−2xy=n−6x得n−6x2+2=0，
∵反比例函数y=−2x的图象与正比例函数y=n−6x（n为常数）的图象有两个交点，
∴方程n−6x2+2=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=0−4×2n−6>0，
∴n<6，
故答案为：n<6．
14．春回大地万物生，“微故宫”微信公众号设计了互动游戏，与大家携手走过有故宫猫陪伴的四季．游戏规则设计如下：每次在公众号对话框中回复【猫春图】，就可以随机抽取7款“猫春图”壁纸中的一款，抽取次数不限，假定平台设置每次发送每款图案的机会相同，小春随机抽取了两次，她两次都抽到“东风纸鸢”的概率是 ．

【答案】149
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，即可解答．
【详解】解：设7款壁纸分别为A、B、C、D、E、F、G，
根据题意列出表格如下：
由表可知，一共有49种情况，她两次都抽到“东风纸鸢”的情况有1种，
∴她两次都抽到“东风纸鸢”的概率=149，
故答案为：149．
15．如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，∠B=60°，点E、F分别是BC、CD边上的动点（不与B、C、D重合），连接AE、EF、AF，若△AEF是等边三角形，则△CEF周长的最小值为 ．（结果保留根号）
【答案】6+33/33+6
【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短、解三角形等知识点，解题的关键是正确作出辅助线．
连接AC，易证△ABC与△ACD是等边三角形，再结合等边三角形的性质可证△ABE≌△ACF，则BE=CF，于是△CEF的周长转化为AB+AE，由于当AE⊥BC时AE最短，于是即可得到答案．
【详解】如图，连接AC．
∵∠B=60°，四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，则△ABC是等边三角形．
∴AB=AC，∠BAC=60°，
由△AEF是等边三角形知，∠EAF=60°，
∵∠BAE=∠BAC−∠EAC=60°−∠EAC，∠CAF=∠EAF−∠EAC=60°−∠EAC，
∴∠BAE=∠CAF．
由菱形ABCD知，∠D=∠B=60°，AD=CD，
∴△ACD也是等边三角形，则∠ACF=60°．
在△ABE与△ACF中，∠BAE=∠CAFAB=AC∠ABE=∠ACF，
∴△ABE≌△ACFASA，
∴BE=CF．
∴△CEF的周长=EC+CF+EF=EC+BE+AE=BC+AE=AB+AE．
当AE为△ABC的边BC上的高时，AE最短，此时△CEF的周长最短．
此时，AE=AB⋅sin∠B=6×sin60°=33．
∴△CEF周长的最短值为6+33．
故答案为：6+33．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．(10分)（1）计算：12−1−20240+2−1；
（2）化简：1+1x÷x−1x．
【答案】（1）2；（2）1x−1
【分析】本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）根据零指数幂、零指数幂和绝对值计算即可；
（2）先算括号内的式子，再算除法即可．
【详解】解：（1）12−1−20240+|2−1|
=2−1+2−1
=2;
（2）1+1x÷x−1x
=x+1x÷x2−1x
=x+1x⋅x(x+1)(x−1)
=1x−1.
17．(7分)解方程：6xx2−9+xx+3=2．
【答案】x=6
【分析】本题主要考查解分式方程，方程两边都乘以(x+3)(x−3)得出6x+x(x−3)=2(x+3)(x−3)，求出方程的解，再进行检验即可
【详解】解：6xx2−9+xx+3=2
方程两边都乘以(x+3)(x−3)得
6x+x(x−3)=2(x+3)(x−3)，
整理得，x2−3x−18=0，
(x−6)(x+3)=0
解得，x1=6，x2=−3，
检验：当x=6时，(x+3)(x−3)≠0，所以，x=6是分式方程的解；
当x=−3时，(x+3)(x−3)=0，所以，x=−3是增根，
所以，分式方程的解是x=6
18．（9分）某中学组织七、八年级开展了以“学法明理、守法立身”为主题的普法知识竞赛，为了解学生掌握普法知识的情况，分别从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩（满分：100分）进行整理、描述和分析，给出以下部分信息：
a．八年级50名学生竞赛成绩的频数分布直方图：
（数据分成5组：50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100．）
b．八年级50名学生竞赛成绩在80≤x<90一组的具体成绩为：
80，80，81，83，84，84，85，85，85，85，86，86，87，88，88，89．
c．七、八年级各随机抽取的50名学生的竞赛成绩的统计数据如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全八年级50名学生竞赛成绩的频数分布直方图．
(2)在表中，m的值为______．
(3)在这次竞赛中，竞赛成绩更好的是______年级，理由是______．
(4)若竞赛成绩不低于85分记为优秀，根据统计结果，估计八年级650名学生中有多少名学生的竞赛成绩为优秀．
【答案】(1)见解析
(2)82
(3)七；七、八年级各随机抽取的50名学生的竞赛成绩的平均水平相同，七年级比八年级更稳定
(4)286
【分析】（1）八年级50名学生竞赛成绩在80≤x<90一组16人，补全八年级50名学生竞赛成绩的频数分布直方图即可；
（2）根据中位数的意义解答即可；
（3）根据平均数和方差的意义判断并说明理由即可；
（4）将650乘以竞赛成绩不低于85分所占比即可估计八年级650名学生中有多少名学生的竞赛成绩为优秀．
【详解】（1）解：八年级50名学生竞赛成绩在80≤x<90一组16人，补全八年级50名学生竞赛成绩的频数分布直方图如下：
（2）解：八年级抽取的50名学生的竞赛成绩的中位数是成绩由小到大排列，第25、第26个成绩的平均数，
∵前3组有数据：4+8+10=22个数据，
∴第25、第26个数据是80≤x<90一组的第3个，第4个数据，即81，83，
∴m=(81+83)÷2=82，
故答案为：82；
（3）解：在这次竞赛中，竞赛成绩更好的是七年级，
理由如下：∵七年级成绩的平均数=八年级成绩的平均数=82.7，七年级成绩的方差86.30<八年级成绩的方差124.70，
∴七、八年级各抽取的50名学生的竞赛成绩的平均水平相同，但七年级比八年级成绩更稳定，
故答案为：七；七、八年级各抽取的50名学生的竞赛成绩的平均水平相同，但七年级比八年级成绩更稳定；
（4）解：八年级50名学生竞赛成绩不低于85分有：10+12=22（名)，
650×2250=286（名)，
答：估计八年级650名学生中有286名学生的竞赛成绩为优秀．
【点睛】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数，方差，用样本估计总体，掌握平均数，中位数，方差的意义是解题的关键．
19．（9分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，那么该商场节前最多购进多少千克A粽子？
【答案】(1)该商场节后每千克A粽子的进价是10元
(2)该商场节前最多购进300千克A粽子
【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程和不等式．
（1）设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，则节前每千克A粽子的进价为x+2元，根据节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同，列出方程，解方程即可；
（2）设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进400−m千克A粽子，根据总费用不超过4600元，列出不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，则节前每千克A粽子的进价为x+2元，根据题意，得：
240x+2=200x，
解得x=10．
检验：当x=10时，x(x+2)≠0,x=10是原分式方程的根，且符合题意．
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元．
（2）解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进400−m千克A粽子，根据题意得：
10+2m+10400−m≤4600，
解得：m≤300．
答：该商场节前最多购进300千克A粽子．
20．（8分）某学校办公楼（矩形ABCD）前有一旗杆MN，MN⊥DN，旗杆高为15m，在办公楼底A处测得旗杆顶的仰角为30°，在办公楼天台B处测旗杆顶的俯角为45°，在小明所在办公室楼层E处测得旗杆顶的俯角为15°．（结果保留根号）

(1)办公楼的高度AB；
(2)求小明所在办公室楼层的高度AE．
【答案】(1)办公楼的高度AB为15+153m；
(2)小明所在办公室楼层的高度AE为303−30m．
【分析】（1）过点M作MH⊥AB于点H，可得四边形MNAH是矩形，再根据锐角三角函数即可求出办公楼的高度AB；
（2）过点E作EQ⊥AM于点Q，由（1）得，∠EAQ=60°，设AE=x，则AQ=x⋅cs60∘=12x，MQ=EQ=x⋅sin60∘=32x，由AM=2MN=30得x2+32x=30，求解即可；
本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解题的关键是掌握仰角俯角定义．
【详解】（1）如图，过点M作MH⊥AB于点H，

∵MN⊥DN，∠BAN=90°，
∴四边形MNAH是矩形，
∴AH=MN=15，MH∥AN∥BC，
∴∠AMH=∠MAN=30°，
在Rt△AMH中，MH=AHtan30∘=153，
∵∠BMH=45°，
∴BH=MH=153，
∴AB=AH+BH=15+153，
答：办公楼的高度AB为15+153m；
（2）过点E作EQ⊥AM于点Q，由（1）得，∠EAQ=60°，
∴∠EMQ=180°−∠EAM−∠AEM=180°−60°−75°=45°，
设AE=x，则AQ=x⋅cs60∘=12x，MQ=EQ=x⋅sin60∘=32x，
由AM=2MN=30，x2+32x=30，
解得x=303−30m，
答：小明所在办公室楼层的高度AE为303−30m．
21．（7分）阅读与思考
阅读下列材料并完成相应的任务．
任务：
（1）填空：材料中的依据是指______；
（2）将方法二的证明过程补充完整；
（3）如图4，在五边形ABCDE中，AE∥CD,AB=AE=6,∠A=120°，CD=4．若点F,G分别是边BC,DE的中点，则线段FG长的取值范围是______．
【答案】（1）三角形中位线定理；（2）见解析；（3）33−2【分析】（1）利用三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”解答即可；
（2）证明△AFB≌△GFCSAS，推出AB=CG，在△CDG中，利用三角形中位线定理即可得解；
（3）连接BE，作AH⊥BE，利用等腰三角形的性质结合直角三角形的性质求得BE=63，再利用（1）的结论即可求解．
【详解】解：（1）∵点E，点M分别是AD和AC的中点，
∴ME∥CD，且ME=12CD．（三角形中位线定理）
故答案为：三角形中位线定理；
（2）∵点F是BC的中点，
∴BF=FC，
∵∠AFB=∠GFC，AF=FG，
∴△AFB≌△GFCSAS，
∴AB=CG，
∵点E是AD的中点，点F是AG的中点，
∴ EF∥DG，且EF=12DG，
∵AB∴CG在△CDG中，CD−CG∴CD−AB<2EF（3）连接BE，作AH⊥BE，垂足为H，
∵AB=AE=6，∠A=120°，
∴∠ABE=∠AEB=12180°−120°=30°，
∴AH=12AB=3，EH=BH=62−32=33，
∴BE=63，
∵F,G分别是边BC,DE的中点，
由（1）得12BE−CD∴33−2故答案为：33−2【点睛】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
22．（12分）综合与实践
问题情境：
“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在正方形ABCD中，E是对角线BD上的动点（与点B，D不重合），连结AE，过点E作EF⊥AE，EG⊥BD，分别交直线BC于点F，G．请说明△ABE≌△FGE，并求EFAE的值．
数学思考：
（1）请你解答老师提出的问题．
深入探究：
（2）如图2，老师将图1中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件均不变，并让同学们提出新的问题．
①“聪聪小组”提出问题：如图2，当AB=3，BC=4时，求EFAE的值；进一步，当AB=m⋅BC时，直线写出EFAE的值（用含m的代数式表示）．
②“慧慧小组”提出问题：如图3，连结CE，当AB=2，BC=4，CE=CD时，求EF的长．
请解答这两个问题：
【答案】（1）证明见解析，1；（2）①34，m；②2105．
【分析】（1）利用正方形性质得到∠ABE=∠GBE=45°，利用垂直的定义推出∠AEB=∠FEG，∠G=45°，进而得到BE=EG，即可利用“ASA”证明△ABE≌△FGE，再由全等三角形的性质可得EFAE的值，即可求解；
（2）①根据（1）得到∠AEB=∠FEG，利用矩形的性质和等量代换得到∠EFG=∠BAE，证明△ABE∽△FGE，得到EFAE=EGBE，再证明△BEG∽△BCD，利用相似的性质即可得到EFAE的值，根据前面同理可得，当AB=m⋅BC时，EFAE的值，即可解题；
②过点C作CH⊥BD于点H，过点E作EQ⊥AB于点Q．利用锐角三角函数和等腰三角形的性质可求的BE长，由相似三角形的性质可求AQ和QE的长，由勾股定理可求AE的长，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ABC=90°，∠ABE=∠GBE=45°，
∵ EF⊥AE，EG⊥BD，
∴ ∠AEF=∠BEG=90°，
∴ ∠AEF−∠BEF=∠BEG−∠BEF，∠G=90°−∠EBG=45°，
∴ ∠AEB=∠FEG，∠ABE=∠EBG=∠G，
∴ BE=EG，
在△ABE和△FGE中
∵ ∠ABE=∠G，BE=GE，∠AEB=∠FEG，
∴ △ABE≌△FGEASA，
∴ AE=EF，
∴ EFAE=1；
（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴ CD=AB，∠C=90°，
由（1），得∠AEB=∠FEG，
∵ ∠ABC=∠AEF=90°，
∴ ∠ABC+∠AEF=90°+90°=180°，
∴ ∠BAE+∠BFE=180°，
∵ ∠BFE+∠EFG=180°，
∴ ∠EFG=∠BAE，
∴ △ABE∽△FGE，
∴ EFAE=EGBE，
∵ ∠BEG=∠C=90°，∠CBD=∠EBG，
∴ △BEG∽△BCD，
∴ EGCD=BEBC，
∴ EGBE=CDBC=ABBC=34，
∴ EFAE=EGBE=34，
当AB=m⋅BC时，EFAE=EGBE=ABBC=m，
②如答图，过点C作CH⊥BD于点H，过点E作EQ⊥AB于点Q．
∵ AB=CD=2，BC=4，
∴ BD=BC2+CD2=4+16=25，
又∵ sin∠DBC=CHBC=CDBD，
∴ CH4=225，
∴ CH=455，
∴ DH=CD2−CH2=4−165=255．
∵ CE=CD，CH⊥BD，
∴ DE=2DH=455，
∴ BE=655，
∵ QE⊥AB，
∴ ∠BQE=∠BAD=90°，
又∵ ∠ABD=∠QBE，
∴ △BQE∽△BAD，
∴ BEBD=QEAD=BQAB，
∴ 65525=QE4=BQ2，
∴ QE=125，BQ=65，
∴ AQ=45，
∴ AE=AQ2+QE2=1625+14425=4105．
由（2）可知EFAE=ABBC=12，
∴ EF=2105．
【点睛】本题主要考查了正方形性质，矩形的性质，等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，勾股定理，相似三角形判定和性质等知识，锐角三角函数，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
23．（13分）综合探究：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=−23x2+bx+ca≠0与x轴交于A−1,0、B3,0两点，与y轴交于点C，连接BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点D在第一象限抛物线上一点，连接BC、DC，若∠DCB=2∠ABC，求点D的坐标；
(3)若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−23x2+43x+2
(2)1,83
(3)4,−103或−2,−103或2,2
【分析】（1）根据抛物线y=−23x2+bx+ca≠0与x轴交于A−1,0、B3,0两点，可设抛物线解析式为y=ax+1x−3，知a=−23，代入得到完整解析式即可；
（2）作DE∥AB，交BC延长线于点E，交y轴于点F，根据相似三角形的判定证明△DCF∽△BCO，设Dt,−23t2+43t+2，得出数据代入CFCO=DFBO中求解，得到点D的坐标即可；
（3）根据抛物线的解析式为y=−23x2+43x+2，设N1,a，结合已知B3,0，C0,2，分“以BN为对角线”、“以CN为对角线”和“以CN为对角线”三种情况讨论，根据坐标系中平行四边形顶点的相对位置，用含a式子表示出点M的坐标，求出完整坐标即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y=−23x2+bx+ca≠0与x轴交于A−1,0、B3,0两点，
∴设抛物线解析式为y=ax+1x−3，a=−23，
∴抛物线解析式为y=−23x+1x−3，即y=−23x2+43x+2；
（2）解：如图，作DE∥AB，交BC延长线于点E，交y轴于点F，
∵DE∥AB，∠BOC=90°，抛物线表达式为y=−23x2+43x+2，
∴∠ABC=∠DEC，∠DFC=180°−∠BOC=90°=∠BOC，C0,2，
∵∠DCB=2∠ABC，
∴∠DCB=2∠DEC，
∵∠DCB=∠DEC+∠CDE，
∴∠CDE=∠DEC，
∴∠ABC=∠CDE，
∴△DCF∽△BCO，
∴CFCO=DFBO，
设Dt,−23t2+43t+2，
∴DF=t，OF=−23t2+43t+2，
∵B3,0，C0,2，
∴OB=3，OC=2，
∴CF=OF−OC=−23t2+43t，
∴数据代入CFCO=DFBO中，得：−23t2+43t2=t3，
解得：t1=0（舍去），t2=1，
∴−23t2+43t+2=−23+43+2=83，
∴点D的坐标为1,83；
（3）解：存在；
∵抛物线的解析式为y=−23x2+43x+2，
∴抛物线对称轴为直线x=−432×(−23)=1，
设N1,a，
∵抛物线解析式y=−23x2+43x+2中，
∴C0,2，
当以B，C，M，N为顶点的四边形是以BN为对角线的平行四边形时，
∵N1,a，B3,0，C0,2，
∴1−0+3=4，a−2+0=a−2，则M4,a−2，
把M4,a−2代入y=−23x2+43x+2，得：a−2=−23×16+43×4+2=−103，
∴M4,−103；
当以B，C，M，N为顶点的四边形是以CN为对角线的平行四边形时，
∵N1,a，B3，0，C0,2，
∴1−3+0=−2，a−0+2=a+2，则M−2,2+a，
把M−2,2+a代入y=−23x2+43x+2，得：2+a=−23×4+43×−2+2=−103，
∴M−2,−103；
当以B，C，M，N为顶点的四边形是以BC为对角线的平行四边形时，
∵N1,a，B3，0，C0,2，
∴0−1+3=−2，2−a+0=2−a，则M2,2−a，
把M2,2−a代入y=−23x2+43x+2，得：2−a=−23×4+43×2+2=2，
∴M2,2．
综上所述，满足条件的M点坐标为4,−103或−2,−103或2,2．
【点睛】本题主要考查了图形与坐标、二次函数的综合运用、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、分类讨论是解题的关键．
x
…
−2
0
1
3
…
y
…
6
−4
−6
−4
…
A
B
C
D
E
F
G
A
A,A
A,B
A,C
A,D
A,E
A,F
A,G
B
B,A
B,B
B,C
B,D
B,E
B,F
B,G
C
C,A
C,B
C,C
C,D
C,E
C,F
C,G
D
D,A
D,B
D,C
D,D
D,E
D,F
D,G
E
E,A
E,B
E,C
G,E
E,E
E,F
E,G
F
F,A
F,B
F,C
G,F
F,E
F,F
F,G
G
G,A
G,B
G,C
G,D
G,E
G,F
G,G
年级
平均数
中位数
方差
七年级
82.7
83
86.30
八年级
82.7
m
124.70
四边形的中位线我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．如图1，在四边形ABCD中，设AB这个结论可以用下面的方法证明：
方法一：如图2，连接AC，取AC的中点M，连接ME,MF．
∵点E，点M分别是AD和AC的中点，
∴ME∥CD，且ME=12CD．（依据）
同理：MF∥AB，且MF=12AB．
∵AB在△MEF中，ME−MF即12CD−AB方法二：如图3，连接AF并延长至点G，使FG=AF，连接CG,DG．
…