山东省临沂市2024届高三下学期5月高考模拟考试（二模）数学试题

这是一份山东省临沂市2024届高三下学期5月高考模拟考试（二模）数学试题，共13页。试卷主要包含了若实数a，b，c满足，，，则，设，是抛物线C等内容，欢迎下载使用。

2024.5
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，，则
A．B．C．D．
2.若，，则的元素个数为
A．0B．1C．2D．3
3.一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，m，12，14，21，若该组数据的中位数是极差，则该组数据的第45百分位数是
A．4B．6C．8D．12
4.若有2名女生和4名男生到“山东旅发”大会的两个志愿服务站参加服务活动，分配时每个服务站均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案种数为
A．16B．20C．28D．40
5.已知函数（）图象的一个对称中心为，则
A．在区间上单调递增
B．是图象的一条对称轴
C．在上的值域为
D．将图象上的所有点向左平移个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称
6.若实数a，b，c满足，，，则
A．B．C．D．
7.已知正方体中，M，N分别为，的中点，则
A．直线MN与所成角的余弦值为B．平面BMN与平面夹角的余弦值为
C．在上存在点Q，使得D．在上存在点P，使得平面BMN
8.椭圆（）的左、右焦点分别为，，P为椭圆上第一象限内的一点，且，与y轴相交于点Q，离心率，若，则
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知是等差数列，是其前n项和，则下列命题为真命题的是
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若和都为递增数列，则
10.设，是抛物线C：上两个不同的点，以A，B为切点的切线交于点.若弦AB过焦点F，则
A．B．若PA的方程为，则
C．点P始终满足D．△PAB面积的最小值为16
11.已知定义在R上的函数满足，，且，则
A．的最小正周期为4B．
C．函数是奇函数D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.展开式中项的系数为 .
13.若直线与曲线相切，则ab的取值范围为 .
14.根据统计数据，某种植物感染病毒之后，其存活日数X满足：对于任意的，的样本在的样本里的数量占比与的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于，即，则，设，的前n项和为，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求C；
（2）若点D在线段AB上，且，求的最大值.
16.（15分）
“赶大集”出圈彰显了传统民俗的独特魅力.为了解年轻人对“赶大集”的态度，随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示（单位：人）.
（1）求t的值，试根据小概率的独立性检验，能否认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关；
（2）从样本中筛选出5名男性和3名女性共8人作为代表，这8名代表中有2名男性和2名女性非常喜欢“赶大集”.现从这8名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记X为这5人中非常喜欢“赶大集”的人数，求X的分布列及数学期望.
参考公式：，其中.
17.（15分）
如图，在四梭锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，平面AMHN，点M，N，H分别在棱PB，PD，PC上，且．
（1）证明：；
（2）若H为PC的中点，，PA与平面PBD所成角为60°，四棱锥P-ABCD被平面AMHN截为两部分，记四棱锥P-AMHN体积为，另一部分体积为，求.
18.（17分）
已知向量，，点，，直线PD，QD的方向向量分别为，，其中，记动点D的轨迹为E.
（1）求E的方程；
（2）直线l与E相交于A，B两点，
ⅰ）若l过原点，点C为E上异于A，B的一点，且直线AC，BC的斜率，均存在，求证：为定值；
ⅱ）若l与圆O：相切，点N为AB的中点，且，试确定圆O的半径r.
19.（17分）
已知函数.
（1）当时，求证：存在唯一的极大值点，且；
（2）若存在两个零点，记较小的零点为，t是关于x的方程的根，证明：.
2024年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）
数学试题参考答案及评分标准
2024.5
说明：
一、本解答只给出了一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准酌情赋分．
二、当考生的解答在某一步出错误时，如果后继部分的解答未改该题的内容与难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数一半；如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B2．C3．A4．C5．D6．A7．C8．B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．BC10．ACD11．AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．4213．14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
解：
（1）由得
，
∴，
即，
即，
即，
∴，
又∵，
∴.
（2）∵D点在线段AB上，且，
∴，
∴
，
当且仅当时，等号成立．
∴．
即的最大值为．
16．（15分）
解：
（1）由题意可知：，解得，
2×2列联表如下：
．
根据小概率值的独立性检验，认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．
（2）设进一步交流的男性中非常喜欢“赶大集”的人数为m，女性中非常喜欢“赶大集”的人数为n，则，且X的所有可能取值为1，2，3，4．
，
，
，
．
∴X的分布列为
∴．
17．（15分）
解：
（1）连接AC交BD于点O，连接OP，
∵平面AMHN，且平面平面，
∴．
∵，
∴，
∵为菱形，
∴，，
∵，且PC，平面PAC，
∴平面PAC，平面PAC，
∴，
∴．
（2）∵，且O为AC中点，
∴，
由（1）得，且，
∴平面ABCD，
又∵为菱形，，
令．
∴，，．
又∵PA与平面PBD所成角为60°，平面PBD，
∴，，
∴，
∴
又∵H为PC中点，
∴，
在△PAC中，记，
易知点G在MN上，且点G为△PAC重心，
又∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
（法二）：关于求的第二种方法（建系法），
以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴建系，
∴，，，，，，
设平面AMHN的法向量为，
，即，
解得，
令，
则．
∵，
∴P到平面AMHN的距离，
记△APH中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．（17分）
解：
（1）设，
则，，
又∵，，
∴，，
由已知得，，
消得：，
∴点D的轨迹方程为．5分
（2）设直线l与E的两个交点为，，
ⅰ）∵直线l过原点，
∴点A，B关于原点成中心对称．
设，
∴，
由，得，
∴．
ⅱ）∵N为AB的中点，且，
∴.
①当直线l的斜率不存在时，l的方程为，此时点A，B关于x轴对称，不妨设点A在第一象限，
∴，
∵，
∴，
∴．
②当直线l的斜率存在时，设l的方程为，
由，得，
∴，，
∵，
∴，
即，
整理得：．
又∵l与圆相切，
∴．
综上可得，
∴圆O的半径是．
19．（17分）
解：
（1）当时，，，
∴，
∴在上单调递减，且，，
则，使得当时，，
当时，，且，即，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴存在唯一的极大值点，
而，
∴．
（2）令，得，
设，显然在定义域上单调递增，
而，则有，
∴．
依题意，方程有两个不等的实根，
即函数在定义域上有两个零点，
显然，当时，的定义域为，
在上单调递增，最多一个零点，不合题意，
∴，的定义域为，
∴求导，得，
当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
，
要使有两个零点，必有，即，
此时，即在有一个零点，
，
令，，
求导得，显然在上单调递增，
∴，
∴在上单调递增，，
∴，则函数在上存在唯一零点．
由为的两个根中较小的根，
得，，
又由已知得，
从而，
∵，
∴，
∴．
设（），
当时，，，则符合题意，
当时，，则在上单调递增，
∴不合题意，
∴
∴设，．
求导，得，当时，
令，，
则，，
∴，在上单调递增，
从而，，即，，
从而，
即在单调递增，则，
于是，
即，
即．
非常喜欢
感觉一般
合计
男性
3t
100
女性
t
合计
60
0.1
0.05
0.01
…
2.706
3.841
6.635
…
非常喜欢
感觉一般
合计
男性
60
40
100
女性
80
20
100
合计
140
60
200
X
1
2
3
4
P