2024年中考考前最后一套押题卷：数学（全解全析）

这是一份2024年中考考前最后一套押题卷：数学（全解全析），共26页。试卷主要包含了已知二次函数满足，分解因式，若且，则　　等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：100分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上】
1．的相反数的倒数是
A．2024B．C．D．
【答案】
【分析】根据相反数及倒数的定义即可求得答案．
【解答】解：的相反数是2024，它的倒数是，
故选：．
【点评】本题考查相反数及倒数，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．下列运算正确的是
A． B．C．D．
【答案】
【分析】根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：、，故不符合题意；
、与不能合并，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．2024年春节文旅消费“热辣滚烫”．文旅部公布的数据显示，2024年春节假期，全国旅游人次达4.74亿，实现旅游收入6326.87亿元，同比增长．其中6326.87亿用科学记数法可表示为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：因为6326.87亿，
所以6326.87亿用科学记数法可表示为．
故选：．
【点评】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
4．已知点，，，在反比例函数为常数）图象上，．若，则的值为
A．0B．负数C．正数D．非负数
【答案】
【分析】由反比例函数的性质可知若，则，若，则，即可得出．
【解答】解：
双曲线位于一、三象限，在每个象限随的增大而减小，
点，，，在反比例函数为常数）图象上，，，
点，，，在同一象限，
由反比例函数的性质可得：若，则，若，则，
．
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，明确双曲线位于一、三象限，点，，，在同一象限是解题的关键．
5．甲、乙、丙、丁四位同学去看电影，还剩下如图所示座位，乙正好坐在甲旁边的概率是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据题意画出树状图，再根据概率公式进行计算即可．
【解答】解：将座位分别标为1，2，3，4，5，画树状图，如图，
共的20种情况，且每种情况出现的可能性相同，其中甲、乙相邻的组合有8种，
乙正好坐在甲旁边的概率是，
故选：．
【点评】本题主要考查了画树状图求概率，解答本题的关键是熟练掌握概率公式．
6．已知二次函数满足：（1）当时，，（2）对一切的值有成立．则该二次函数的解析式为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】证明时，，而当时，，当时，得到，，而恒成立，即，即可求解．
【解答】解：当时，，
，
当时，，
即，
时，；
当时，，当时，，
即，，
解得：，，
对任意实数，恒有，
恒成立，即，
△，即，
解得：，
故抛物线的表达式为：，
故选：．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、函数图象的交点等，题目综合性强，难度较大．
第Ⅱ卷
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．分解因式： ．
【答案】．
【分析】根据式子的特点将公因数提取出来即可得到结果．
【解答】解：式子中含有公因数，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，用适当的方法分解因式是解题的关键．
8．已知函数中，自变量的取值范围是 且 ．
【分析】根据分母不能为零、被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
且，
解得且，
故答案为：且．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不能为零、被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
9．若且，则 ．
【答案】．
【分析】根据题意得到，根据完全平方公式求出，根据平方差公式把原式变形，代入计算即可．
【解答】解：，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
10．如图，在中，点，在边，上，，，联结，设向量，，那么用，表示 ．
【答案】．
【分析】由三角形法则求得的值；然后结合平行线截线段成比例求得线段的长度，继而求得向量的值．
【解答】解：在中，，，则．
，，
．
．
，即．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平面向量和平行线截线段成比例．注意：平面向量既有大小又有方向．
11．方程组的解是 或 ．
【分析】由方程组，根据平方法先求出的值，然后解方程组即可得出答案．
【解答】解：由方程组，
，
，
两边平方得：，
，，
解得：或，
经检验均为方程组的解，
故答案为：或．
【点评】本题考查了无理方程，难度不大，关键是先利用平方法求出的值再进行求解．
12．下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表．
若成绩的平均数为23，中位数是，众数是，则的值是 2.5 ．
【分析】首先根据平均数求得、的值，然后利用中位数及众数的定义求得和的值，从而求得的值即可．
【解答】解：平均数为23，
，
，
即：，
，
，，
中位数，，
．
故答案为：2.5．
【点评】本题考查了众数及中位数的定义，求得、的值是解答本题的关键，难度不大．
13．汽车的“燃油效率”是指汽车每年消耗1升汽油最多可行使的公里数，如图描述了，两辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．根据图中信息，下面4个推断中，合理的是 ②④ ．
①消耗1升汽油，车最多可行使5千米；
②车以40千米小时的速度行驶1小时，最少消耗4升汽油：
③对于车而言，行驶速度越快越省油；
④某城市机动车最高限速80千米小时，相同条件下，在该市驾驶车比驾驶车更省油．
【分析】结合折线统计图的定义和特点，从题目的折线统计图中获取数据并逐一判断各选项即可．
【解答】解：①由折线统计图可知，当车速度超过时，燃油效率大于5 ，
当速度超过时，消耗1升汽油，车行驶距离大于5千米，故①错误；
②车以40千米小时的速度行驶1小时，路程为，，最少消耗4升汽油，故②正确；
③对于车而言，行驶速度在时，越快越省油，当行驶速度超过，速度越快越不省油，故③错误；
④某城市机动车最高限速80千米小时，相同条件下，在该市驾驶车比驾驶车燃油效率更高，更省油，故④正确；
综上，②④合理，
故答案为：②④．
【点评】本题考查的是折线统计图，学会从统计图中获取有用信息是解题的关键．
14．如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，按此作法进行下去，则点的横坐标为 ．
【答案】．
【分析】根据题意，罗列点的坐标，得到规律，利用规律进行解答即可．
【解答】解：轴，
与的横坐标相同，
，
轴，
的纵坐标纵坐标，
在直线的图象上，
，解得，
，即的横坐标为，
同理，的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标，
的横坐标，，
，
的横坐标为，
的横坐标为．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数图象之坐标规律问题，罗列点的坐标得到规律是解答本题的关键．
15．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销量，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 3或4 元．
【答案】3或4．
【分析】设每箱降价元，则每箱的销售利润为元，平均每天可售出箱，利用总利润每箱的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设每箱降价元，则每箱的销售利润为元，平均每天可售出箱，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
每箱应降价3或4元．
故答案为：3或4．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．对于实数，，我们用符号，表示，两数中较小的数，如，，若，，则 或2 ．
【答案】或2．
【分析】由于，，分情况讨论，即可得出的值．
【解答】解：，，
①当时，不可能得出最小值为1；
②当时，，或则若，则，不符合题意；
若，符合题目意思．
；
③当时，则，
或；
当时，，
当时，（不合题意舍去），
故答案为：或2．
【点评】本题主要考查一元一次方程，实数的比较大小，正确理解题意是解题的关键．
17．古希腊数学家曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方法．如图，点和点分别表示埃及的赛伊尼和亚历山大两地，地在地的北方，两地的经度大致相同，且实际距离为．当太阳光线在地直射时，同一时刻在地测量太阳光线偏离直射方向的角为，实际测得是．由此估算地球周长约为 40000 ．
【答案】40000．
【分析】设地球的半径是，由弧长公式得到：的长，求出，即可得到地球周长．
【解答】解：设地球的半径是，
太阳的光线是平行的，
，
的长，
，
，
地球周长约是．
故答案为：40000．
【点评】本题考查弧长的计算，圆的周长，关键是由弧长公式得到的长．
18．如图，正六边形中，，分别是边和上的点，，，则线段长 ．
【答案】．
【分析】作，交于点，交于点，可得四边形是平行四边形，根据六边形是正六边形，可得是等边三角形，然后证明，对应边成比例即可解决问题．
【解答】解：如图，作，交于点，交于点，
四边形是平行四边形，
，
六边形是正六边形，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了正多边形和圆，解决本题的关键是综合运用正多边形和圆，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．

三、解答题（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（本题满分10分）计算：．
【答案】．
【分析】根据相关的运算法则进行计算即可．
【解答】解：
．
【点评】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，立方根定义，绝对值的意义．
20．（本题满分10分）（1）解不等式组；
（2）若把（1）中不等式组的解用数轴上对应的点表示出来，则其解集在数轴上对应的所有点构成的图形是 ；
．长方形
．线段
．射线
．直线
（3）请类比以上解答过程，解不等式组并指出其解集在数轴上对应的所有点构成的图形是什么图形？
【答案】（1）；（2）；（3），射线．
【分析】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；
（2）根据线段的概念求解即可；
（3）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后根据射线的概念求解即可．
【解答】解：（1）
解不等式①得，；
解不等式②得，；
不等式得解集为；
（2）把（1）中不等式组的解用数轴上对应的点表示出来如下，
则其解集在数轴上对应的所有点构成的图形是线段，
故选：；
（3）
解不等式①得，；
解不等式②得，；
不等式得解集为；
在数轴上表示如下，
其解集在数轴上对应的所有点构成的图形是射线．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（本题满分10分）某校为培养学生的阅读习惯，发起“阅读悦听”活动，现有两种打卡奖励方式：
方式一：每天打卡可领取听书时长；
方式二：第一天打卡可领取听书时长，之后每天打卡领取的听书时长是前一天的2倍．
（1）根据上述两种打卡奖励方式补全表二：
表一每天领取听书时长
表二累计领取听书时长
（2）根据表二，以天数为横坐标，以该天累计领取的听书时长为纵坐标，绘制了相应的点，并用虚线表达了变化趋势．其中表示方式二变化趋势的虚线是 （填或，从第 天完成打卡时开始，选择方式二累计领取的听书时长超过方式一；
（3）现有一本时长不超过的有声读物，小云希望通过打卡领取该有声读物．若选择方式二比选择方式一所需的打卡天数多两天，则这本有声读物的时长（单位：的取值范围是 ．
【答案】（1）；；（2）；7；（3）．
【分析】（1）根据表可找到规律即可作出答案；
（2）结合图象即可作答；
（3）由条件可知选择方式一只需1天，则选择方式二需3天，分别求出方式二第2天和第3天领书时长即可作答．
【解答】解：（1）由表二可知，方式一中第天的累计领取听书时长为，
方式二中第天的累计领取听书时长为．
故答案为：；．
（2）在方式二中可知当天数为3天时，累计时长为35，
故表示方式二变化趋势的虚线是，
由图象可知从第7天完成打卡时开始，选择方式二累计领取的听书时长超过方式一．
故答案为：；7．
（3）由于方式一每天打卡可以领取听书时长，
现有一本时长不超过的有声读物，
所以选择方式一只需1天，
又由于选择方式二比选择方式一所需的打卡天数多两天，
则选择方式二需3天，
选择方式二打卡3天累计领取听书时间为，
选择方式二打卡2天累计领取听书时间为，
所以这本有声读物的时长的取值范围是．
【点评】本题主要考查函数图象，找规律是解题的关键．
22．（本题满分10分）根据以下素材，探索完成任务：
【答案】（1）6米；
（2）雷峰塔的高度约为72米．
【分析】（1）根据题意可得：，再根据已知可设设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）过点作，垂足为，根据题意可得：米，，然后设米，则米，再在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程进行计算，即可解答．
【解答】解：任务1．由题意得：，
斜坡，长为10米，坡度为，
，米，
设米，则米，
在中，（米，
，
解得：，
米，米，
斜坡的高为6米；
任务2．过点作，垂足为，
由题意得：米，，
设米，
米，
米，
在中，，
（米，
在中，，
米，
，
，
解得：，
（米，
雷峰塔的高度约为72米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（本题满分12分）如图，为的外接圆，，为弧的中点，交的延长线于点，的平分线交于点，连接，，．
（1）求证：为的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的值．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）．
【分析】（1）连接，由点是弧的中点，根据垂径定理得到，根据平行线的性质得到，则，于是得到结论；
（2）连接，设交于，根据平行线的性质得到，根据垂径定理得到，，根据圆周角定理得到，推出，证明，根据相似三角形的判定和性质可得，推出，则，即可得到结论；
（3）过点作于点，可得，为等腰直角三角形，由，，可得，求出，，可得，在中，求出，即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接，
为弧的中点，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）证明：连接，
由（1）可知，，
，，
，
四边形是矩形
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过点作于点，如图
在中，，，
，，
平分，
，
，为等腰直角三角形，
，
，
，
，
在中，，
，
，
设，则，
由（2）得，
，
解得：， （舍去），
即，
在中，，
，
．
【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质、解直角三角形、平行线的性质、垂径定理、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握性质和定理．
24．（本题满分12分）如图，抛物线与轴交于点、，且经过点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在轴下方的抛物线上任取一点，射线、分别与抛物线对称轴交于点、，点关于轴的对称点为，求的面积；
（3）点是轴上一动点，当最大时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）求出的函数表达式为：，得到点，同理可得，进而求解；
（3）当 的外接圆与轴相切时，切点即为使 最大的点，即可求解．
【解答】解：（1）把、，．代入得：
，解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）设抛物线的对称轴交轴于，如图：
抛物线 与轴交于点、，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
设，
由点，0、的坐标得：的函数表达式为：，
在中，令得：，
则点，
同理可得，
关于轴的对称点坐标为，
则，
则的面积，
即的面积为；
（3）当 的外接圆与轴相切时，切点即为使 最大的点，如图：
轴，
设，则，
，，，
，
则，
，
，
，
解得： （舍去）或，
，
．
【点评】本题为二次函数综合题，涉及到圆的基本知识、解直角三角形、一次函数和二次函数的图象和性质，明确当 的外接圆与轴相切时，切点即为使 最大的点是解题的关键．
25．（本题满分14分）综合与实践
问题情境：
在数学活动课上，李老师给同学们提供了一个矩形（如图，其中，连接对角线，且，要求各小组以图形的旋转为主题开展数学活动．
以下是部分小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题：
猜想证明：
（1）如图2，“奋勇”小组将绕点旋转得到△，当点落到对角线上时，与交于点．试猜想线段与的数量关系，并加以证明；
（2）“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上，取的中点，连接，，试判断四边形的形状，并说明理由；
深入探究：
（3）在绕点旋转的过程中，当时，求点与点之间的距离，请你思考此问题，直接写出答案．
【答案】（1），证明见解答；
（2）四边形是菱形，理由见解答；
（3）点与点之间的距离是或6．
【分析】（1）由矩形的性质得，因为，所以，，由旋转得，点在上，则是等边三角形，所以，即可证明；
（2）由，，得，因为，，所以，则垂直平分，所以，由，点是的中点，得，则是等边三角形，所以，则，所以四边形是菱形；
（3）分两种情况讨论，一是，且点与点在直线的异侧，连接，由，，，得，根据勾股定理得，因为，，所以是等边三角形，则；二是，且点与点在直线的同侧，连接，由，，求得，而，则，作于点，则，求得，则，所以，点与点之间的距离是或6．
【解答】解：（1），
证明：如图2，四边形是矩形，
，
，
，，
由旋转得，点在上，
是等边三角形，
，
．
（2）四边形是菱形，
理由：如图2，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，点是的中点，
，
是等边三角形，
，
，
四边形是菱形．
（3）点与点之间的距离是或6，
理由：如图3，，且点与点在直线的异侧，连接，
，，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
点与点之间的距离是；
如图4，，且点与点在直线的同侧，连接，
，，
，
，
，
作于点，则，，
，
，
，
点与点之间的距离是6，
综上所述，点与点之间的距离是或6．
【点评】此题重点考查矩形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
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成绩（分
30
25
20
15
人数（人
2
1
天数
1
2
3
4
方式一
60
60
60
60
60
方式二
5
天数
1
2
3
4
方式一
60
120
180
240

方式二

测算雷峰塔的高度
素材1
如图1，雷峰塔前有一斜坡，长为10米，坡度为，高为

素材2
利用测角仪在斜坡底的点处测得塔尖点的仰角为，在斜坡顶的点处测得塔尖点的仰角为（其中点，，在同一直线上，如图

素材3
查阅锐角三角函数表
，，
任务1
获取数据
计算斜坡的高度
任务2
分析计算
通过观察，计算雷峰塔的高度（结果保留整数）