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2024年中考数学热点探究一实数与数轴的关系练习附解析

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这是一份2024年中考数学热点探究一实数与数轴的关系练习附解析，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。

1．如图所示，点 C 的表示的数为 2 ， BC＝1 ，以 O 为圆心， OB 为半径画弧，交数轴于点 A ，则点 A 表示的数是（）
A．3B．5C．−3D．−5
2．实数x、y在数轴上的位置如图所示，化简(x−y)2的结果是（）
A．x−yB．x+yC．−x−yD．y−x
3．在数轴上表示实数 a 和 b 的点的位置如图所示，那么下列各式成立的是（）
A．abC．ab>0D．|a|>|b|
4．一个正数x的两个不同的平方根分别是2a+3和a−9．如图，在数轴上表示实数3x+3a的点是（）
A．点N B．点M C．点Q D．点P
5．如图，面积为2的正方形ABCD的顶点C在数轴上，且表示的数为−1.若将正方形ABCD绕点C逆时针旋转，使点D落到数轴上的点P处，则点P在数轴上所对应的数为（）
A．2−1B．2+1C．−2+1D．−2−1
6．实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，则(a−4)2−(a−11)2化简后为（）
A．7B．−7C．15−2aD．2a−15
7．已知实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简|a−1|−a−22的结果是（）
A．3-2aB．-1C．1D．2a-3
8．数轴上A、B、C三点所代表的数分别是m、2、n且|m−n|−|m−2|=|n−2|．则下列选项中，表示A、B、C三点在数轴上的位置关系正确的是（）
A．B．
C．D．
9．若实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简4a2+2|a+b|的结果为（）
A．－4a－2bB．－2a＋bC．－2bD．4a－2b
10．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：则代数式|a+c|−2|a−b|+|b−c|化简后的结果为（）
A．bB．a−3bC．b+2cD．b−2c
二、填空题（每题4分，共20分）
11．已知A，B，C三点在数轴上对应的数为a，b，c，它们在数轴上的位置如图所示，化简：|a+b+c|−|c−b−a|= ．
12．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：(a+1)2+|b−1|−(a+b)2= ．
13．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|a−b|−|b−c|+|c−a|= ．
14．如图，在数轴上点A，点B表示的数分别是−5，3，点P在数轴上，若PA=3PB，则点P表示的数是．
15．如图，面积为a(a>1)的正方形ABCD的边AB在数轴上，点B表示的数为1．将正方形ABCD沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为A'B'CD'，点A、B、C、D的对应点分别为A'、B'、C、D'，移动后的正方形A'B'CD'与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．当S=12a时，数轴上点A'表示的数是（可用含a的代数式表示）．
三、解答题（共5题，共54分）
16．实数a、b在数轴上的位置如图所示．化简a2−b2+(a−b)2．
17．
（1）已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：(−a+b)2+(c−b)2−(b−c−a)2.
（2）若5的整数部分为a，小数部分为b，写出a，b的值，并计算a−1b−ab的值.
18．已知A、B在数轴上对应的数分别用a、b表示，且(12ab+10)2+|a−2|=0，点P是数轴上的一个动点．
（1）求出A、B之间的距离；
（2）若P到点A和点B的距离相等，求出此时点P所对应的数；
（3）数轴上一点C距A点36个单位长度，其对应的数c满足|ac|=−ac．当P点满足PB=2PC时，求P点对应的数．
19．如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与-1重合，那么点D在数轴上表示的数为．
20．如图，数轴上，点 A ， B 表示的数分别为 a ， b ，点 P 为负半轴上任意一点，它表示的数为 x ．
（1）计算 |a−b|+a+b2 的值；
（2）在 a，b，x 中，其中一个数是另两个数的平均数，求 x 的值；
（3）嘉琪认为：当 −2≤x<0 时， PO+PA四、实践探究题（共16分）
21．
（1）【算一算】
如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示-3，点B表示1，则点C表示的数为，AC长等于；
（2）【找一找】
如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数22-1、22+1，Q是AB的中点，则点是这个数轴的原点；
（3）【画一画】
如图③，点A、B分别表示实数c-n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（4）【用一用】
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生.凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口.如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校.在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+(m+4b)，用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作-8a，用点B表示.
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、-12a的点F、G，并写出+(m+2b)的实际意义；
②写出a、m的数量关系： .
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：∵点C的表示的数为2，BC=1，以O为圆心，OB为半径画弧，交数轴于点A，
∴BO= 22+12 = 5
则A表示- 5 ．
故答案为：D．
【分析】首先利用勾股定理得出BO的长，再利用A点的位置得出答案．
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵x＜y＜0，
则x-y＜0，
故(x−y)2=x−y=−x−y=y−x，
故答案为：D.
【分析】根据数轴可得x-y＜0，根据二次根式的性质a2=a和负数的绝对值是其相反数即可求解.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：A、根据a在b的右边，则a＞b，故本选项不符合题意；
B、根据a在b的右边，则a＞b，故本选项符合题意；
C、根据a在原点的右边，b在原点的左边，得b＜0＜a，则ab＜0，故本选项不符合题意；
D、根据b离原点的距离较远，则|b|＞|a|，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据数轴上的点所表示的数，右边的总比左边的大，且离原点的距离越远，则该点所对应的数的绝对值越大，进行分析．
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵一个正数x的两个不同的平方根分别是2a+3和a−9，
∴2a+3+a−9=0，解得a=2
∴x=(2a+3)2=49，
∴3x+3a=349+3×2=355，
∵33=27,43=64，
∴327<355<364，即3<355<4，
故答案为：B.
【分析】先根据一个数的两个不同平方根是互为相反数求出a，进而求得x，得到实数为355，最后进行无理数的估算即可．
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为2，
∴CD=2，
∵点C所表示的数为-1，将正方形ABCD绕点C逆时针旋转，使点D落到数轴上的点P处，
∴点P到原点的距离为2+1，
∵点P在原点的左边，
∴点P所表示的数为−2−1.
故答案为：D.
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方可得边长是面积的算术平方根，则CD=2，然后找出点P到原点的距离，进而根据数轴上的点所表示的数的特点可得出点P所表示的数.
6．【答案】D
【解析】【解答】根据数轴可得：5∴a-4>0，a-11<0，
∴(a−4)2−(a−11)2=a−4−a−11=a−4−（11−a）=2a−15，
故答案为：D.
【分析】先利用数轴判断出a-4>0，a-11<0，再利用二次根式的性质化简，最后去掉绝对值并合并同类项即可.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得1∴a−1>0，a−2<0，
∴|a−1|−(a−2)2
=a−1−a−2
=a−1−[−(a−2)]
=a−1+a−2
=2a−3，
故答案为：D．
【分析】先根据数轴上点的位置得到10，a−2<0，然后根据a2=a及绝对值性质化简，最后合并同类项即可.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：A、由数轴知：2＜m＜n，则m-n＜0，m-2＞0，n-2＞0，
∴|m−n|−|m−2|=-m+n-（m-2）=n+2， |n−2|=n-2，
即|m−n|−|m−2|≠|n−2|，故A不符合题意；
B、由数轴知：2＜n＜m，则m-n＞0，m-2＞0，n-2＞0，
∴|m−n|−|m−2|=m-n-（m-2）=2-n，|n−2|=n-2，
即|m−n|−|m−2|≠|n−2|，故B不符合题意；
C、由数轴知：n＜2＜m，则m-n＞0，m-2＞0，n-2＜0，
∴|m−n|−|m−2|=m-n-（m-2）=2-n，|n−2|=2-n，
即|m−n|−|m−2|=|n−2|，故C符合题意；
D、由数轴知：m＜n＜2，则m-n＜0，m-2＜0，n-2＜0，
∴|m−n|−|m−2|=-m+n-（-m+2）=n-2，|n−2|=2-n，
即|m−n|−|m−2|≠|n−2|，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】结合各项中点A、B、C的位置，从而判断m-n，m-2，n-2的符号，再利用绝对值的性质分别求出|m−n|−|m−2|与|n−2|的值，再判断即可.
9．【答案】A
【解析】【解答】根据数轴可得：a<0|b|，
∴a+b<0，
∴4a2+2|a+b|=|2a|+2|a+b|=−2a−2a−2b=−4a−2b，
故答案为：A.
【分析】利用数轴可得a<0|b|，再求出a+b<0，最后利用二次根式及绝对值的性质化简即可.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：由图可得：a＜b＜0＜c，|a|＞|b|＞|c|，
∴a+c＜0，a-b＜0，b-c＜0，
∴|a+c|-2|a-b|+|b-c|
=-（a+c）-2（-a+b）+（-b+c）
=-a-c+2a-2b-b+c
=a-3b；
故答案为：B.
【分析】根据有理数a、b、c在数轴上的位置，可以得出a＜b＜0＜c，|a|＞|b|＞|c|，确定绝对值中代数式的正负，化简绝对值计算即可求解.
11．【答案】-2c
【解析】【解答】解：由数轴可得a0且|a|>|b|>|c|，
∴a+b+c<0，c−b−a>0，
∴|a+b+c|−|c−b−a|
=−(a+b+c)−(c−b−a)
=−a−b−c−c+b+a
=−2c，
故答案为：−2c．
【分析】由数轴上点位置可知a0且|a|>|b|>|c|，则a+b+c<0，c−b−a>0，化简绝对值，即可得解．
12．【答案】0
【解析】【解答】解：由数轴可知，a<−1，0＜b<1，
∴a+1<0，b−1<0，a+b<0，
∴(a+1)2+|b−1|−(a+b)2= a+1+b−1−a+b=−(a+1)+(1−b)+(a+b) =−a−1+1−b+a+b=0
故答案为：0．
【分析】根据a、b在数轴上的位置确定a+1，b−1，a+b的符号，再根据二次根式的性质“a2=a”及绝对值性质进行化简即可．
13．【答案】0
【解析】【解答】由数轴可得a-b<0，b-c>0，c-a<0，
∴|a−b|−|b−c|+|c−a|=−(a−b)−(b−c)−(c−a)=−a+b−b+c−c+a=0,
故答案为：0.
【分析】根据数轴的特点得到a-b<0，b-c>0，c-a<0，再利用绝对值的性质去掉绝对值符号，再进行去括号计算即可求解.
14．【答案】7或1
【解析】【解答】解：设P表示的数为x
若P在AB之间，x−（−5）=3（3−x），解得x=1；
若P在A的右边，x−（−5）=3（x−3），解得x=7.
故答案为：7或1.
【分析】分情况讨论，根据一元一次方程列出等量关系，若P在AB之间，x−（−5）=3（3−x）；
若P在A的右边，x−（−5）=3（x−3），据此可得出答案。
15．【答案】2a+12或32
【解析】【解答】解：如图，当正方形ABCD沿着数轴水平向右移动时，
∵正方形ABCD的面积为a，
∴正方形ABCD的边长为a，
∵移动后的正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S，
当S=12a时，a⋅AB'=12a，
∴AB'=12，
∴BB'=AB−AB'=a−12，
∵点B表示的数为1，
∴点A'表示的数为1+a−12+a=2a+12．
当正方形ABCD沿着数轴水平向左移动时，
∵移动后的正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S，
当S=12a时，a⋅A'B=12a，
∴A'B=12，
∴BB'=A'B'−A'B=a−12，
∵点B表示的数为1，
∴点A'表示的数为1+12=32．
综上所述：点A'表示的数为2a+12或32．
故答案为：2a+12或32
【分析】本题考查实数与数轴，数轴上两点间的距离．根据正方形的面积可求出正方形的边长a，分情况讨论：当正方形ABCD沿着数轴水平向右移动时，当S=12a，利用三角形的面积可求出AB'=12，利用线段的运算可求出BB'，结合数轴图根据点B表示的数为1，可得到点A'表示的数；正方形ABCD沿着数轴水平向左移动时，当S=12a时利用三角形的面积可求出A'B=12，结合数轴图根据点B表示的数为1，可得到点A'表示的数.
16．【答案】解：由数轴知，a<0，且b>0．
∴a−b<0．
a2−b2+(a−b)2
=|a|−|b|+|a−b|=(−a)−b+(b−a)
=−a−b+b−a=−2a．
【解析】【分析】结合数轴求出a<0，且b>0，再去二次根号，最后合并同类项即可。
17．【答案】（1）解：观察数轴可得：a<−1,−11
所以−a+b>0,c−b<0,b−c−a>0
因此(−a+b)2+(c−b)2−(b−c−a)2.
=−a+b+c−b−b−c−a
=(−a+b)−(c−b)−(b−c−a)
=−a+b−c+b−b+c+a
=b
（2）解：∵2=4<5<9=3，
∴a=2,b=5−2
∴a−1b−ab
=2−15−2-2（5-2）
=5+2-25+4
=6-5．
∴a=2，b=5−2，a−1b−ab=6−5
【解析】【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，二次根式混合运算顺序和运算法则,数轴的应用．
（1）先观察数轴可得：a<−1,−11，据此可判断被开方数−a+b,c−b，b−c−a的符号：−a+b>0,c−b<0,b−c−a>0，再通过根式的性质进行化简，取绝对值可求出答案.
（2）先根据2=4<5<9=3，可求出出a、b的值:a=2,b=5−2，代入a−1b−ab，化简后可求出答案．
18．【答案】（1）解：∵(12ab+10)2+|a−2|=0，
∴12ab+10=0，a−2=0，
解得：a=2，b=-10，
∴A、B之间的距离为：2-（-10）=12；
（2）解：∵P到A和B的距离相等，
∴此时点P所对应的数为：2+(−10)2=−4；
（3）解：∵|ac|=-ac，a=2＞0，
∴c＜0，
又|AC|=36，
∴c=2−36，BC=12-36，
∵PB=2PC，
①P在BC之间时，点P表示−10+23×(12−36)=−2−26，
②P在C点右边时，点P表示−10+2×(12−36)=14−66，
∴点P表示的数为：−2−26或14−66.
【解析】【分析】（1）由偶数次幂及绝对值的非负性，根据两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，可求出a、b得值，进而根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示数差的绝对值可求出答案；
（2）由题意已知点P是线段AB的中点，根据中点坐标公式，列式计算即可；
（3）根据绝对值的非负性及有理数乘法法则可判断出c＜0，进而根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示数差的绝对值，结合AC的长度可得出点C所表示的数，进而可得线段BC的长，结合PB=2PC及两点间的距离公式，分①P在BC之间时，②P在C点右边时，分别列式计算，求解可得点P所表示的数.
19．【答案】（1）解：设魔方的棱长为x，则x3=8，解得：x=2；
（2）解：∵魔方的棱长为2，
∴每个小立方体的棱长都是1，
∴每个小正方形面积为1，魔方的一面四个小正方形的面积为4；
∴S阴影正方形ABCD=12×4=2；
∵正方形ABCD的面积为2，
∴边长为2；
（3）−1−2
【解析】【解答】（3）∵正方形ABCD的边长为2，点A与-1重合，
∴点D在数轴上表示的数为：−1−2，
故答案为：−1−2．
【分析】（1）设魔方的棱长为x，根据题意列出方程x3=8，再求解即可；
（2）先求出S阴影正方形ABCD=12×4=2，再求出正方形的边长即可；
（3）根据数轴直接求出点D表示的数即可。
20．【答案】（1）解： ∵a=−2 ， b=1
∴ |a−b|+a+b2
=|−2−1|+(−2)+12
=3−2+12
=1 ．
（2）解：①当a为平均数时，得
x+12=−2 解得 x=−5 ；
②当x为平均数时，得
−2+12=x 解得 x=−12 ；
③当b为平均数时，得
−2+x2=1 ，解得 x=4 （不合题意，舍去）．
（3）解： x<−52 ．
由题意得， PO=−x ， AB=3
①当 −3≤x<−2 时 PO+PA=−x−2−x=−2x−2
令 −2x−2>3 ，解得 x<−52 ；
所以当 −3≤x<−52 时能构成三角形；
②当 x<−3 时 PA+AB=−2−x+3=1−x>PO 能构成三角形．
综上 x<−52 ．
【解析】【分析】（1）将a、b的值代入即可得到答案；
（2）分三种情况讨论，将不合题意的舍去即可；
（3）由题意得， PO=−x ， AB=3，分情况讨论，在根据三角形的三边关系即可得出答案。
21．【答案】（1）5；8
（2）N
（3）解：记原点为O，
由AB＝c+n-（c-n）＝2n，
作AB的中点M，
得AM＝BM＝n，
以点O为圆心，
AM＝n长为半径作弧交数轴的正半轴于点E，
则点E即为所求；
（4）解：在数轴上画出点F，G；2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数为：m＝4a.
∵4分钟内开放3个通道可使学生全部进校，
∴m+4b＝3×a×4，即m+4b＝12a（Ⅰ）；
∵2分钟内开放4个通道可使学生全部进校，
∴m+2b＝4×a×2，即m+2b＝8a（Ⅱ）；
①以O为圆心，OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点F，则点F即为所求.
作OB的中点E，则OE＝BE＝4a，在数轴负半轴上用圆规截取OG＝3OE＝12a，
则点G即为所求.
+（m+2b）的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②m＝4a.
【解析】【解答】解：【算一算】：记原点为O，
∵AB＝1-（-3）＝4，
∴AB＝BC＝4，
∴OC＝OB+BC＝5，AC＝2AB＝8.
所以点C表示的数为5，AC长等于8.
故答案为：5，8；
【找一找】：记原点为O，
∵AB＝22+1-（22-1）＝2，
∴AQ＝BQ＝1，
∴OQ＝OB-BQ＝22+1-1＝22，
∴N为原点.
故答案为：N.
【用一用】： ②方程（Ⅱ）×2-方程（Ⅰ）得：m＝4a.
故答案为：m＝4a.
【分析】（1）记原点为O，根据点A、B表示的数可得AB的值，有AB=BC可得BC的值，根据OC=OB+BC求出OC，根据中点的概念可得AC=2AB，据此不难得到点C表示的数以及AC的值；
（2）记原点为O，根据两点间距离公式可得AB的值，由OQ=OB-BQ求出OQ的值，据此可得原点所在的位置；
（3）记原点为O，根据两点间距离公式可得AB＝2n，作AB的中点M，得AM＝BM＝n，以点O为圆心，AM＝n长为半径作弧交数轴的正半轴于点E，则点E即为所求；
（4）①根据4分钟内开放3个通道可使学生全部进校可得m+4b＝3×a×4，由2分钟内开放4个通道可使学生全部进校可得m+2b＝4×a×2，以O为圆心，OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点F，则点F即为所求，作OB的中点E，则OE＝BE＝4a，在数轴负半轴上用圆规截取OG＝3OE＝12a，则点G即为所求；
②利用m+2b＝4×a×2的2倍减去m+4b＝3×a×4可得m与a的关系式