2024年中考数学热点探究十 四边形综合性问题练习附解析

这是一份2024年中考数学热点探究十 四边形综合性问题练习附解析，共57页。试卷主要包含了选择题，填空题，综合题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（0，3），以OA ，OC为边作矩形0ABC.动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动.当移动时间为4秒时，AC·EF的值为（ ）
A．10B．910C．15D．30
2．如图，正方形 ABCD 的边长为 2cm ，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按 A→D→C ， A→B→C 的方向，都以 1cm/s 的速度运动，到达点C运动终止，连接 PQ ，设运动时间为xs， ΔAPQ 的面积为 y cm2 ，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，已知点P在边AB上，以1m/s的速度从点A向点B运动，点Q在边BC上，以3m/s的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处，此时两点都停止运动．图2是△BPQ的面积y(m2)与点P的运动时间t(s)之间的函数关系图象（点M为图象的最高点），则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．12m2B．123m2C．24m2D．243m2
4．如图，直角三角形BEF顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AE．∠EBF=∠ACD，AB=6，BC=8，则AE的最小值为（ ）．
A．5425B．125C．145D．7225
5．如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF:FB=1:2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG=12BC，连接GM，有如下结论：①DE=AF；②AN=24AB；③∠ADF=∠GMF；④S△ANF:S四边形CNFB=1:8．上述结论中，正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．如图，已知：在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为(10，0)，对角线OB、AC相交于D点，双曲线y=kx(x>0)经过D点，交BC的延长线于E点，且OB⋅AC=160，有下列四个结论：
①双曲线的解析式为y=40x(x>0)；②E点的坐标是(5，8)；③sin∠COA=45；④AC+OB=125．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．如图，点O为正方形ABCD对角线BD的中点，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC＝EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下五个结论中①OH＝12BF；②∠CHF＝60°；③BC＝（2+2）GH；④HF2＝HE•HB，正确结论有（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．有下列四个结论：
①AE垂直平分DM；②PM＋PN的最小值为32；③CF2＝GE•AE；④S△ADM＝62．
其中正确的是（ ）
A．①②B．②③④C．①③④D．①③
9．如图，在正方形ABCD中，AD＝4，E为CD中点，F为BC上的一点，且∠EAF＝45°，∠ABG＝∠DAE，连接EF，延长BG交AE于点M，交AD于点N，则以下结论；
①DE+BF＝EF②BN⊥AE③BF＝83④S△BGF＝1615中正确的是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，点P是边长为 2 的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF=MC；②AH⊥EF；③AP2=PM•PH；④EF的最小值是 22 ．其中正确结论是（ ）
A．①③B．②③C．②③④D．②④
二、填空题（每题3分，共15分）
11．如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，3），点D的坐标是（6，0），点B是x轴上一动点，过点A作AC⊥AB，垂足为A，且AC•AB＝6．当点B从坐标原点O起沿x轴向右运动到终点D时，点C运动的路径的长度是 ．
12．如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点M，N为直线AD上的两个动点，且∠MBN＝30°，将线段BM关于BN翻折得线段BM'，连接CM'．当线段CM'的长度最小时，∠MM'C的度数为 度．
13．如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边AD上一动点(端点A，D除外)，以CE为边作正方形CEFG，EF与AB交于点H，连接BE，BF，BG．下列四个结论：①BG＝DE；②∠FAB＝∠FEB；③当点E为AD中点时，H也是EF的中点；④当点E在AD边上运动时，AH有最大值为2．其中正确的结论是 (填序号)．
14．如图，面积为6的平行四边形纸片ABCD中，AB=3，∠BAD=45°，按下列步骤进行裁剪和拼图：第一步，如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD纸片，再将△ABD纸片沿AE剪开（其中AE⊥BD），得到△ABE和△ADE纸片；第二步，如图②，将△ABE纸片置于△CDF处（边AB与CD重合），将△ADE纸片置于△CGB处（边AD与CB重合）．则由纸片拼成的五边形CFDBG中，对角线FG的长为 ．
15．在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点B恰好与点D重合，点A落在点A'处，点G为线段EF上一动点，过点G作GM⊥AD，GN⊥FD，垂足分别为点M，N，以GM，GN为邻边构造平行四边形GMHN，若平行四边形GMHN的周长为410，AE=3，则EF= ．
三、综合题（共4题，共28分）
16．如图1，菱形ABCD中，∠B=α，BC=2，E是边BC上一动点（不与点B,C重合），连接DE，点C关于直线DE的对称点为C'，连接AC'并延长交直线DE于点P,F是AC'的中点，连接DC',DF．
（1）填空：DC'= ，∠APD= （用含α的代数式表示）；
（2）如图2，当α=90°，题干中其余条件均不变，连接BP．求证：BP=2AF．
（3）（2）的条件下，连接AC．
①若动点E运动到边BC的中点处时，△ACC'的面积为 ．
②在动点E的整个运动过程中，△ACC'面积的最大值为 ．
17．在矩形ABCD中，点E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交直线CD于点F．
（1）当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，连接EH．
①如图1，若点E在线段BC上，则线段AE与EH之间的数量关系是 ▲ ，位置关系是 ▲ ；
②如图2，若点E在线段BC的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
（2）如图3，若点E在线段BC上，以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，M是BH中点，连接GM，AB=3，BC=2，求GM的最小值．
18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AC⊥BC．
（1）求证：△ACB∽△CDA．
（2）若DC=6cm，AD=8cm，点P从A点出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B匀速运动，同时点Q从B点出发，以1cm/s的速度沿BC向终点C匀速运动.当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t(s)．
①当t为何值时，四边形APQC的面积等于1703cm2？
②当t的值为 时，以B，P，Q三点为顶点的三角形与△ADC相似．
19．如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为(a，8)，AB⊥x轴于点B，ABOB=43，反比例函数y=kx的图象的一支分别交AO，AB于点C，D，延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E，已知点D的纵坐标为2．
（1）求反比例函数的表达式及点E的坐标；
（2）连接CD，OD，求S△OCD；
（3）在x轴上是否存在两点M，N(M在N的左侧)，使以E，M，C，N为顶点的四边形为矩形？若存在，求出矩形的周长；若不存在，说明理由．
四、实践探究题（共5题，共47分）
20．我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．
（1）在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 （填序号）；
（2）如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD于点G，连AG、EG．
①求证：四边形ABEG是“神奇四边形”；
②如图2，点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点．试判断四边形MNPQ是不是“神奇四边形”；
（3）如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，过点A作AO⊥FR于点O，若AB'＝2，正方形的边长为6，求线段OF的长．
21． 【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A'D'C，∠ADB＝∠A'D'C＝90°，∠B＝∠C＝30°，设AB＝2．
【操作探究】
如图1，先将△ADB和△A'D'C的边AD、A'D'重合，再将△A'D'C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°），旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．
（1）当α＝60°时，BC＝ ；当BC＝22时，α＝ °；
（2）当α＝90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
（3）如图2，取BC的中点F，将△A'D'C'绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为 ．
22．综合与探究．
（1）【特例感知】
如图（a），E是正方形ABCD外一点，将线段AE绕点A顺时针旋转90°得到AF，连接DE，BF．求证：DE=BF；
（2）【类比迁移】
如图（b），在菱形ABCD中，AB=4,∠B=60°，P是AB的中点，将线段PA，PD分别绕点P顺时针旋转90°得到PE，PF，PF交BC于点G，连接CE，CF，求四边形CEGF的面积：
（3）【拓展提升】
如图（c），在平行四边形ABCD中，AB=12,AD=10,∠B为锐角且满足sinB=45．P是射线BA上一动点，点C，D同时绕点P顺时针旋转90°得到点C'，D'，当△BC'D'为直角三角形时，直接写出BP的长．
23．“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等或者相似建立数量关系是处理问题的重要手段．
（1）【问题情景】：如图(1)，正方形ABCD中，点E是线段BC上一点(不与点B、C重合)，连接EA.将EA绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接CF，求∠FCD的度数．
以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路，
①小聪：过点F作BC的延长线的垂线；
②小明：在AB上截取BM，使得BM=BE；
请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程．
（2）【类比探究】：如图(2)点E是菱形ABCD边BC上一点(不与点B、C重合)，∠ABC=α，将EA绕点E顺时针旋转α得到EF，使得∠AEF=∠ABC=α(α≥90°)，则∠FCD的度数为 (用含α的代数式表示)．
（3）【学以致用】：如图(3)，在(2)的条件下，连结AF，与CD相交于点G，当α=120°时，若DGCG=12，求BECE的值．
24．综合与实践
在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点.
【操作探究】
“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：
第1步：如图1所示，先将正方形纸片ABCD对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；
第2步：将BC边沿CE翻折到GC的位置；
第3步：延长EG交AD于点H，则点H为AD边的三等分点.
“破浪”小组是这样操作的：
第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；
第2步：再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，再展开铺平，折痕为AC，沿DE翻折得折痕DE交AC于点G；
第3步：过点G折叠正方形纸片ABCD，使折痕MNIIAD.
【过程思考】
（1）“乘风”小组的证明过程中，三个空的所填的内容分别是： ① ，②： ，③： ；
（2）结合“破浪”小组操作过程，判断点M是否为AB边的三等分点，并证明你的结论；
（3）【拓展提升】如图3，在菱形ABCD中，AB=5，BD=6，E是BD上的一个三等分点，记点D关于AE的对称点为D'，射线ED'与菱形ABCD 的边交于点F，请直接写出D'F的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】连接AC、EF，
∵四边形OABC为矩形，
∴B（9，3），
∵OE=BF=1×4=4，
∴E（4，0），F（5，3），
∴AC=OC2+OA2=32+92=310，
EF=5−42+32=10，
∴AC·EF=310×10=30.
故答案为：D.
【分析】根据点的坐标和勾股定理计算AC、EF的值，然后AC·EF可求解.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
①当 0≤x≤2 时，
∵正方形的边长为 2cm ，
∴y=SΔAPQ=12AQ⋅AP=12x2 ；
②当 2≤x≤4 时，
y=SΔAPQ
=S正方形ABCD−SΔCP'Q'−SΔABQ'−SΔAP'D
=2×2−12(4−x)2−12×2×(x−2)−12×2×(x−2)
=−12x2+2x ，
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合，
故答案为：A．
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①0≤x≤2 时，根据 SΔAPQ=12AQ⋅AP ，列出函数关系式，从而得到函数图象；②2≤x≤4 时，根据 SΔAPQ=S正方形ABCD−SΔCP'Q'−SΔABQ'−SΔAP'D 列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
3．【答案】C
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BC交CB的延长线于点F，过点P作PE⊥BC于点E，
由题意可知AB：BC=1：3，PA=t，BQ=3t，
设AB=x，则BC=3x，BP=x-t，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABE=180°-120°=60°，
∴PE=PBsin∠ABE=PBsin60°=32x−t，
∴y=12BQ·PE=12×32x−t·3t=−34t2+34xt
由图象可知y的最大值为3，
∴0−916x24×34=3，
解之：x=±4，
∵x＞0，
∴x=4，
∴AB=4，BC=43；
在Rt△ABF中，AF=ABsin∠ABF=4sin60°=23，
∴S平行四边形ABCD=BC·AF=43×23=24.
故答案为：C.
【分析】过点A作AF⊥BC交CB的延长线于点F，过点P作PE⊥BC于点E，利用点的运动方向和速度，结合已知条件，可得到PA=t，BQ=3t，设AB=x，则BC=3x，BP=x-t，利用邻补角的定义可求出∠ABE=60°，利用解直角三角形表示出PE的长，再利用三角形的面积公式可得到y与t的函数解析式，观察图象可知y的最大值为3，利用顶点的纵坐标公式，可求出x的值，即可得到AB，CB的长；在Rt△ABF中，利用解直角三角形求出AF的长，然后利用平行四边形的面积公式可求出平行四边形ABCD的面积.
4．【答案】D
【解析】【解答】如图，过点B作BH⊥AC于点H，连接EH，
根据题意可得：∠BEF=∠BHF=90°，
∴点E、B、F、H四点共圆，
∴∠EHB=∠EFB，
∵∠AHE+∠EHB=90°，∠EBF+∠EFB=90°，
∴∠AHE=∠EBF，
∵∠EBF=∠ACD，
∴∠AHE=∠ACD且为定值，
∴点E在射线HE上运动，
当AE⊥EH时，AE的值最小，
∵矩形ABCD，
∴AB=CD=6，BC=AD=8，∠D=90°，
∴AC=CD2+AD2=10，
∴sin∠AHE=sin∠ACD=ADAC=45，
∴S△ACB=12×AB×CB=12×AC×BH，
∴BH=245，
再根据勾股定理可得AH=AB2−BH2=62−2452=185，
∴AE的最小值=AH×sin∠AHE=185×45=7225，
故答案为：D.
【分析】先证出当AE⊥EH时，AE的值最小，再求出BH=245，利用勾股定理求出AH的长，最后利用解直角三角形的方法求出AE的最小值=AH×sin∠AHE=185×45=7225即可。
5．【答案】C
【解析】【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=CD=BC，∠CDE=∠DAF=90°，
∵CE⊥DF
∴∠DCE+∠CDF=∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADF=∠DCE，
在△ADF与△DCE中，
∠DAF=∠CDE=90°AD=CD∠ADF=∠DCE
∴△ADF≌△DCE(ASA)，
∴DE=AF，故①正确；
∵AB∥CD，
∴AFCD=ANCN，
∵AF:FB=1:2，
∴AF:AB=AF:CD=1:3，
∴ANCN=13，
∴ANAC=14，
∵AC=2AB，
∴AN2AB=14，
∴AN=24AB，故②正确；
作GH⊥CB于H，设AF=DE=a，BF=2a，则AB=CD=BC=3a，EC=10a，BG=32a，
∵∠DCE=∠DCM，∠CDE=∠CMD=90°，
∴△CMD∽△CDE，
∴CMCD=CDCE，
∴CM=91010a，
∵∠DCE+∠DEC=∠DCE+∠HCG=90°，
∴∠DEC=∠HCG，
又∵∠CDE=∠CHG=90°，
∴△GHC∽△CDE，
∴CHDE=CGCE，
∴CH=91020a，
∴CH=MH=12CM，
∵GH⊥CM
∴GM=GC
∴∠GMH=∠GCH
∵∠FMG+∠GMH=90°，∠DCE+∠GCM=90°，
∴∠FMG=∠DCE
∵∠ADF=∠DCE，
∴∠ADF=∠GMF，故③正确；
设△ANF的面积为m，
∵AF∥CD，
∴AFCD=FNDN=13，△AFN∽△CDN，
∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，
∴△ADC的面积=△ABC的面积=12m，
∴S△ANF:S四边形CNFB=1:11，故④错误；
综上①②③正确，共3个，
故答案为：C
【分析】根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质结合题意对①②③④逐一判断，进而即可求解。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示：
∵OB⋅AC=160，点A的坐标为（10，0），
∴OA×AC=12OB×AC=12×160=80，菱形OABC的边长为10，
∴CF=80OA=8010=8，
在Rt△OCF中，OC=10，CF=8，
∴OF=OC2−CF2=6，
∴点C的坐标为（6，8），
∵点D是线段AC的中点，
∴点D的坐标为（8，4），
∵双曲线y=kx(x>0)经过点D，
∴4=k8，
解得：k=32，
∴双曲线的解析式为：y=32x(x>0)，
∴①不正确；
∵CF=8，
∴直线BC的解析式为y=8，
联立方程组y=32xy=8，
解得：x=4，y=8，
∴点E的坐标为（4，8），
∴②不正确；
∵CF=8，OC=10，
∴sin∠COA=CFOC=810=45，
∴③正确；
∵A（10，0），C（6，8），
∴AC=10−62+0−82=45，
∵OB⋅AC=160，
∴OB=160AC=16045=85，
∴AC+OB=45+85=125，
∴④正确，
综上，正确的结论是③④，共有2个，
故答案为：B.
【分析】先求出点C的坐标，再利用中点坐标公式求出点D的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式判断①是否正确；再联立方程方程组求出点E的坐标判断②是否正确；再利用正弦的定义求出sin∠COA=CFOC=810=45判断③是否正确；先利用勾股定理求出AC的长，再求出OB的长，最后利用线段的和差判断④是否正确即可.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：正方形ABCD，
∴∠BCE＝∠DCF=90°，BC＝DC，
在△BCE和△DCF中
EC＝CF∠BCE＝∠DCFBC＝DC
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠CBE＝∠CDF，
∵∠CBE+∠BEC＝90°，∠BEC＝∠DEH，
∴∠DEH+∠CDF＝90°，
∴∠BHD＝∠BHF＝90°，
∵BE平分∠DBC，
∴∠HBD＝∠HBF；
在△BHD和△HBF中
∠BHD=∠BHF∠DBH=∠FBHBH=BH
∴△BHD≌△HBF（AAS），
∴DH＝HF，
∵OD＝OB，
∴OH是△DBF的中位线，
∴OH＝12BF，故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠DCF，∠EBC＝22.5°，
∵△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠EBC＝∠CDF＝22.5°，
∴∠BFH＝90°-∠CDF＝90°-22.5°＝67.5°，
∵OH是△DBF的中位线，CD⊥BC，
∴OH∥BC，CH=HF，
∴OH⊥CD，
∴OH是CD的垂直平分线，
∴DH＝CH，
∴∠CDF＝∠DCH＝22.5°，
∴∠CHF=∠CDF+∠DCH=22.5°+22.5°=45°，故②不正确；
∵OH∥BC，
∴∠OHB=∠HBC=∠OBH，
∴OH=BO=12BD，
设正方形的边长为2a，则BC＝2a，OG＝a，
BD=4a2+4a2=22a，
∴OB＝OH＝2a，
∴GH＝OH−OG＝2a−a＝（2−1）a
BCGH=2a2−1a=2+22，
∴BC=2+22GH，故③不正确；
∵∠HBF+∠F=90°，∠CDF+∠F=90°，
∴∠HBF=∠CDF=∠DBH，
∵∠BHD=∠DHE=90°，
∴△DHB∽△EHD，
∴DHEH=HBDH，
∴DH2=HE•HB，
∵点H是DF的中点，
∴DH=HF，
∴FH2=HE•HB，故④正确；
∴正确结论的有2个.
故答案为：B
【分析】利用正方形的性质可证得∠BCE＝∠DCF=90°，BC＝DC，利用SAS证明△BCE≌△DCF，利用全等三角形的性质可得到∠CBE＝∠CDF，利用角平分线的定义可得到∠HBD＝∠HBF；利用AAS证明△BHD≌△HBF，由此可证得DH＝HF，可证得OH是△DBF的中位线，利用三角形的中位线定理可得到OH与BF的数量关系，可对①作出判断；利用正方形的性质和角平分线的定义，可证得BC＝CD，∠BCD＝∠DCF，∠EBC＝22.5°，利用SAS证明△BCE≌△DCF，利用全等三角形的性质可求出∠CDF的度数，即可求出∠BFH、∠EBC的度数；再证明OH是CD的垂直平分线，可得到DH=CH，利用等边对等角可求出∠DCH的度数，根据∠CHF=∠CDF+∠DCH，代入计算求出∠CHF的度数，可对②作出判断；再证明OH=BO=12BD，设正方形的边长为2a，则BC＝2a，OG＝a，利用勾股定理表示出BD，OB，GH的长，再求出BC与GH的比值，可对③作出判断；利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△DHB∽△EHD，利用相似三角形的对应边成比例，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC，∠ADC=∠DCB=90°，
∵BF= CE，
∴BC-BF= DC-CE，即CF= DE，
∴△ADE≌△DCF (SAS)，
∴∠DAE=∠CDF，
∵∠CDF+∠ADG=90° ，
∴∠DAE+∠ADG=90°，
∴∠AGD=90°，
即AE⊥DM.
∵∠AGM= ∠AGD=90° ，
∵AE平分∠CAD，
∴∠MAG=∠DAG.
又∵AG=AG，
∴△AGM≌△AGD ( ASA )，
∴GM=GD，
∴AE垂直平分DM，故①正确，符合题意；
②连接BD与AC交于点O，连接PD，ND，如图：
∵AE垂直平分DM，P为AE上一点，
∴PD=PE.
∴PN+PM=PN+PD≥DN，
又∵点D为直线AC外一点，
∴DN⊥AC时，DN长度最小.
即点N与点O重合，且D，P，N三点共线时， PM+PN的值最小，
即PM+ PN= PN+PD≥DN≥DO，故PM+ PN的最小值为DO的长，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AC=BD=42，
∴DO=12BD=22，
即PM+ PN的最小值为22，故②错误，不符合题意；
③∵AE⊥DM，
∴∠DGE=90°，
∵∠ADE=90°，
∴∠DGE=∠ADE，
∵∠DEG=∠AED，
∴△DEG∽△AED，
∴DEAE=EGDE.
∴DE2=AE·EG，
由①知，CF=DE，
∴CF2=GE·AE，故③正确，符合题意；
④∵AE垂直平分DM，
∴AM=AD=4，
∵DO=12BD=22，
∴S△ADM=12×AM×DO=12×4×22=42，故④错误，不符合题意；
综述所述：正确的有①③
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质证得△ADE≌△DCF，再利用ASA证明△AGM≌△AGD，即可得出AE垂直平分DM，即可判断①；连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接PD，ND，当D，P，N三点共线时，PD+PN=DN，而当点N与点O重合时，DN⊥AC，DN最小，从而可得PM+PN的最小值，即可判断②；证明△DEG∽△AED，根据相似三角形的性质即可判断③；先求出AM的长，再根据三角形面积公式计算即可得出答案从而判断④.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：延长CD至H，使DH= BF，如图所示：
①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=4，∠ABF=∠C=∠ADC=90°=∠ADH，
∴△ABF≌△ADH ( SAS )，
∴AF=AH，∠BAF=∠DAH，∠AFB=∠H，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAF+∠DAE=∠DAH+∠DAE=45°，即∠EAF=∠EAH=45°，
又∵AE=AE，
∴△EAF≌△EAH ( SAS )，
∴EF=EH= ED+DH= = ED+BF，①正确；
②∵∠ABG=∠DAE，∠BAN=90°，
∴∠ABG+∠ANB=∠DAE+∠ANB=90°，
∵BN⊥AE，②正确；
③设BF=DH=x，
∵ E为CD中点，
∴CE=DE=12CD=2，
∴EF=EH=2+x，CF=4－x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得4−x2+22=2+x2，
解得x=43，
即BF=43，③不正确；
④∵∠ABG=∠DAE，∠BAF+∠DAE=45°，
∴∠BGF=∠BAF+∠ABG=∠BAF+∠DAE=45°=∠EAH，
又∠AFB=∠H，
∴△BGF∽△EAH，
∵EH=ED+DH=ED+BF=2+43=103，
S△EAH=12×EH×AD=12×103×4=203，
S△GBFS△AEH=BFEH2=431032=425，
∴S△GBF=425×S△AEH=425×203=1615，④正确；
综上，正确的有①②④，
故答案为：C.
【分析】延长CD至H，使DH=BF，证明△ABF≌OADH，推出AF=AH，∠BAF=∠DAH，∠AFB=∠H，利用SAS证明△EAF≌△EAH，可判断①；利用两锐角互余的三角形是直角三角形可判断②；设BF=x，表示出EF，FC，在Rt△CEF中，利用勾股定理计算可判断③；证明△BGF∽△EAH，利用相似三角形面积比等于相似比的平方可判断④.
10．【答案】B
【解析】【解答】①错误．因为当点P与BD中点重合时，CM=0，显然FM≠CM；
②正确．连接PC交EF于O．根据对称性可知∠DAP=∠DCP，
∵四边形PECF是矩形，
∴OF=OC，
∴∠OCF=∠OFC，
∴∠OFC=∠DAP，
∵∠DAP+∠AMD=90°，
∴∠GFM+∠AMD=90°，
∴∠FGM=90°，
∴AH⊥EF．
③正确．∵AD∥BH，
∴∠DAP=∠H，
∵∠DAP=∠PCM，
∴∠PCM=∠H，
∵∠CPM=∠HPC，
∴△CPM∽△HPC，
∴PCHP=PMPC ，
∴PC2=PM•PH，
根据对称性可知：PA=PC，
∴PA2=PM•PH．
④错误．∵四边形PECF是矩形，
∴EF=PC，
∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线，
∵AC=2，
∴PC的最小值为1，
∴EF的最小值为1；
故答案为：B．
【分析】利用正方形的性质，相似三角形的判定与性质，再结合图形对每个结论一一判断作答求解即可。
11．【答案】π
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥OD，作AG⊥y轴于点G，在AG上截取AF=2，AC的延长线交y轴与点E，
∴∠AGO=∠AHO=∠GOH=90°，
∴四边形AGOH是矩形
∵A（3，3），D（6，0）
∴AG=AH=3，
∴AF·AG=2×3=6
∴四边形AGOH是正方形，
∴OG=OH=AH=3，∠AOD=45°，
∵∠OAD=90°，
∴△OAD是等腰直角三角形，
∴OA=AD，∠AOE=∠ADB=45°，
∵AC⊥AB，
∴∠BAE=∠DAO=90°，
∴∠EAO=∠BAD，
∴△AOE≌△ADB（ASA）
∴AE=AB，
∴AC·AB=AC·AE=6，
∵AF·AG=6，∠CAF=∠EAG，
∴ACAF=AGAE
∴△ACF∽△AGE，
∴∠ACF=∠AGE=90°，
∴当点B从坐标原点起沿x轴向右运动到终点D时，点C的运动路线是半圆，
∵AF=2，
∴半圆的周长是π.
故答案为：π.
【分析】过点A作AH⊥OD，作AG⊥y轴于点G，在AG上截取AF=2，AC的延长线交y轴与点E，利用点A，D的坐标即垂直的定义可证得四边形AGOH是正方形，可得到OG=OH=AH=3，∠AOD=45°，可知AF·AG=6，由此可证得△OAD是等腰直角三角形，可推出OA=AD，∠AOE=∠ADB=45°，再证明∠EAO=∠BAD，利用ASA证明△AOE≌△ADB，可得到AE=AB，从而可证得AC·AE=6，据此可推出ACAF=AGAE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ACF∽△AGE，利用相似三角形的性质可证得∠ACF=90°，可得到当点B从坐标原点起沿x轴向右运动到终点D时，点C的运动路线是半圆，再利用半圆周长的计算方法可求出点C运动的路径的长度.
12．【答案】75
【解析】【解答】解：将线段BA绕点B顺时针旋转 60° 后点A落在点E，连接BE，设EM'交BC于G点，如下图所示：
在矩形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=BC，
根据折叠可知，∠MBM'=60°，BM=BM'，
∴∠ABM=∠ABE-∠MBE=60°-∠MBE，
∠EBM'=∠MBM'-∠MBE=60°-∠MBE，
∴∠ABM=∠EBM'，
∵BA=BE，BM=BM'，
∴△ABM≌△EBM'（SAS），
∵AM=EM'，∠E=∠A=90°，
∵∠EBG=90°-60°=30°，
∴∠BGM'=∠EBG+∠BEG=90°+30°=120°，
∴∠EGC=120°，
∴∠CGM'=∠EGB=180°-120°=60°，
∴点M'在EF上，
∵垂线段最短，
∴当CM'⊥EF时，CM'有最小值，
∴△EBG与△M'CG均为 30°、60°、90° 直角三角形，
设EG=x，BC=2y，则 BG=2EG=2x，CG=BC-BG=2y-2x，GM'＝12CG＝y−x，
∴EM'＝EG+GM'＝x+(y−x)＝y＝12BC，
∵BC=2AB，AB＝12BC，
∴EM'=AB，
∵AM=EM'，
∴AB=AM，
∴△ABM为等腰直角三角形，
∴∠EM'B=∠AMB=45°，
∵∠MBM'=60°，BM=M'B，
∴△MBM'是等边三角形，
∴∠BM'M=60°，
∴∠EM'M=∠BM'M-∠EM'B=60°-45°=15°，
∴∠MM'C=∠EM'C-∠EM'M=90°-15°=75°，
故答案为：75．
【分析】将线段BA绕点B顺时针旋转 60° 后点A落在点E，连接BE，得到△ABM≌△EBM'，再由当CM'⊥EF时，CM'有最小值，可得△EBG与△M'CG均为 30°、60°、90° 直角三角形，再证明△ABM为等腰直角三角形，△MBM'是等边三角形，进而得到∠EM'B=∠AMB=60°，最后当CM'⊥EF于H时，CM'有最小值，由此可以求出∠MM'C=∠EM'C-∠EM'M=90°-15°=75°。
13．【答案】①，③，④
【解析】【解答】解：(1)∵四边形ABCD，CEFG均为正方形
∴CD＝CB，CE＝CG，∠BCD＝∠GCE＝90°，∴∠BCD－∠BCE＝∠GCE－∠BCE
∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE，∴BG＝DE．故①正确
(2)作FM⊥AG于M，连接EG
由(1)可得∠GBC＝∠EDC＝90°，∴A，B，G三点共线
∵∠FGM＝90°－∠CGB，∠BCG＝90°－∠CGB，∴∠FGM＝∠GCB，又∠FMG＝∠GBC，FG＝CG
∴△FGM≌△CGB，∴FM＝GB，GM＝BC＝AB，∴GM－BM＝AB－BM，即GB＝AM，∴FM＝AM
∴∠FAB＝45°，∠FEB∠FEB．故②错误
(3)∵点E为AD中点，∴AE=12AD=12CD
∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∠AEH＋∠DEC＝90°，∴∠AHE＝∠DEC
又∠HAE＝∠EDC＝90°，∴△AEH∽△DCE，∴EHCE=AEDC=12
∴EHCE=EHEF=12．．H是EF的中点．故③正确
(4)∵△AEH∽△DCE∴AHDE=AEDC，∴AH=AE⋅DEDC
设AE＝x，则DE＝AD－AE＝8－x，∴AH=x(8−x)8=−18(x−4)2+2，
当x＝4时，AH有最大值为2．故④正确
综上可知：正确的结论有①，③，④．
【分析】根据正方形的性质证三角形BCG与三角形DCE全等可判定①，作FM⊥AG，连接EG，证三角形FGM和三角形CGB全等可判定②，证三角形AEH和三角形DCE相似可判定③，通过相似三角形地应边成比例可得AH的函数关系，利用二次函数的性质可判定④．
14．【答案】6105
【解析】【解答】连接FG，如图所示：
∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，∠BAE=∠DCF，
∵△ADE≌△CBG，
∴AE=CG，∠DAE=∠BCG，
∴CF=CG=AE，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠DCB=45°，
∵∠BAE=∠DCF，∠DAE=∠BCG，
∴∠DAB=∠DCF+∠BCG，
∴∠FCG=∠FCD+∠DCB+∠GCB=∠DAB+∠DCB=90°，
∴△FCG是等腰直角三角形，
∴FG=2CF=2AE，
过点D作DF⊥AB于点F，如图所示：
∴平行四边形ABCD的面积为6，AB=3，
∴DF=2，
∴∠DAB=45°，
∴AF=DF=2，
∴BF=1，BD=DF2+BF2=5，
∴AE=DF×ABBD=2×35=655，
∴FG=2AE=6105，
故答案为：6105.
【分析】连接FG，先证出△FCG是等腰直角三角形，可得FG=2CF=2AE，在过点D作DF⊥AB于点F，利用平行四边形ABCD的面积为6，AB=3，求出AE的长，再求出FG=2AE=6105即可.
15．【答案】214
【解析】【解答】连接DG，作FI⊥AD于点I，则∠DIF=∠EIF=90°，如图所示：
∵四边形GMHN是平行四边形，且平行四边形GMHN的周长为410，
∴GM=HN，GN=HM，
∴2（GM+GN）=410，
解得：GM+GN=210，
∵矩形ABCD，
∴AD//BC，∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，
∴∠DEF=∠BFE，
再根据折叠的性质可得∠DFE=∠BFE，A'E=AE=3，A'D=AB=CD，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF，
∵GM⊥AD于点M，GN⊥FD于点N，
∴12DE×FI=12DE×GM+12DF×GN=S△DEF，
∴FI=GM+GN=210，
∵∠A'=∠A=90°，DE=DF，A'D=CD，
∴Rt△A'DE≌Rt△CDF（HL），
∴A'E=CF=ID=3，
∴DE=DF=CD2+CF2=2102+32=7，
∴IE=DE-ID=7-3=4，
∴EF=FI2+IE2=2102+42=214，
故答案为：214.
【分析】连接DG，作FI⊥AD于点I，则∠DIF=∠EIF=90°，先求出GM+GN=210，再结合12DE×FI=12DE×GM+12DF×GN=S△DEF，求出FI=GM+GN=210，再利用“HL”证出Rt△A'DE≌Rt△CDF可得A'E=CF=ID=3，再利用勾股定理求出DE=DF=CD2+CF2=2102+32=7，利用线段的和差求出IE的长，最后利用勾股定理求出EF的长即可.
16．【答案】（1）2；90°−12α
（2）证明：如图，过A作GA⊥PA，交PD的延长线于G，
∴∠GAP=90°，
∵四边形ABCD是菱形，∠B=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠BAD=90°，AB=AD，
由（1）得：
∴∠DPF=90°−12×90°=45°，
∴∠G=∠DPF=45°，
∴AG=AP，
在Rt△AGP中，PG=2AP，
∴DP+DG=2AP；
∵∠DAG+∠DAP=90°，
∠BAP+∠DAP=90°，
∴∠BAP=∠DAG，
在△BAP和△DAG中
AB=AD∠BAP=∠DAGAG=AP，
∴△BAP≌△DAG（SAS），
∴BP=DG，
∴BP+DP=2AP．
在Rt△DFP中，DP=2FP，
∴BP+2FP=2(AF+FP)，
∴BP=2FP​​​​.
（3）45​​​​​​​；22−2
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD=BC=AD=2，
∵点C关于直线DE的对称点为C'，
∴C'D=CD=2，∠CDP=∠C'DP，
∴AD=C'D，
∵F为AC'的中点，
∴AF=FC'，
∵DF是等腰三角形ADC'底边上的中线，
∴∠FDA=∠FDC'=12∠ADC'，∠AFD=∠C'FD=90°，
∴∠FDP=12∠ADC=12α，
∴∠APD=∠AFD−∠FDP=90°−12α；
故答案为：2；90°−12α.
（3）①如图，过点C'作C'H⊥AC于点H，
∵E为BC的中点，
∴CE=1，
∴DE=DC2+CE2=22+12=5，
∵S△DCE=12DC·CE=12CM·DE，
∴MC=DC·CEDE=2×15=255，
∴ME=CE2−CM2=12−2552=55，CC'=2MC=455，
∵AD=CD=2，
∴AC=AD2+CD2=22+22=22，
∵AD∥EC，
∴△CEN∽△ADN，
∴CNAN=CEAD=12，
∴CN=13AC=223，
∴MN=CN2−CM2=2232−2552=2515，
∵∠MCN=∠C'CH，∠C'HC=∠NMC=90°，
∴△CMN∽△CHC'，
∴MNC'H=CNCC'，
即2515C'H=223455，
解得：C'H=225，
则S△ACC'=12AC·CH=12×22×225=45；
故答案为：45.
②在动点E的整个运动过程中，当C'点恰好在对角线BD上时，△ACC'面积达到最大值．
∵BD=AC=22，DC'=2，
∴BC'=22−2，
∴C'O=BO−BC'=2−22−2=2−2，
∴S△ACC'=12AC×C'O=12×22×2−2=22−2，
即△ACC'面积的最大值为22−2；
故答案为：22−2​​​​​​​.
【分析】（1）根据菱形的四条边都相等可得AB=CD=BC=AD=2，对称可得C'D=CD=2，∠CDP=∠C'DP，推得AD=C'D，根据等腰三角形底边上的中线与底边上的高、顶角的角平分线重合可得∠FDA=∠FDC'=12∠ADC'，∠AFD=∠C'FD=90°，即可求得∠FDP=12α，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和即可求解；
（2）过A点作AP'⊥AP交PD延长线于P'，根据有一个角是直角的菱形是正方形，正方形的四个角都是直角，四条边都相等可得DA=BA，∠ADC=∠BAD=90°，结合（1）中结论可得∠DPF=45°，推得∠G=∠DPF=45°，根据等角对等边可得AP=AG，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得PG=2AP，根据等角的余角相等可得∠BAP=∠DAG，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得BP=DG，即可得出BP+DP=2AP，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得DP=2FP，即可证明；
（3）①过点C'作C'H⊥AC于点H，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得DE的值，结合三角形的面积公式求出MC的值，求出CC'的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得ME和AC的值，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可得CN的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得MN的值，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可得C'H的值，结合三角形的面积公式即可求解；
②当C'点恰好在对角线BD上时，△ACC'面积达到最大值，求出BC'和C'O的值，根据三角形的面积公式即可求解.
17．【答案】（1）解：①相等；垂直.
②成立，理由是：
当点E在线段BC的延长线上时，
同理可得：ΔABE≅ΔBCF(ASA)，
∴BE=CF，AE=BF，
∵ΔFCH为等腰直角三角形，
∴FC=FH=BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，
∴FH//BC，
∴四边形BEHF为平行四边形，
∴BF//EH且BF=EH，
∴AE=EH，AE⊥EH；
（2）解：连接EF，
∵四边形BEHF是平行四边形，M 是BH中点，
∴EM=FM，
∵AE⊥BF，
∴∠EGF=90°，
∴GM=12EF，
∴GM最小时，EF也最小.
∵AB=3，BC=2，
设BE=x，则CE=2−x，
由（1）可得：∠CBF=∠BAE，
又∵∠ABE=∠BCF=90°，
∴△ABE∽△BCF，
∴ABBC=BECF，即32=xCF，
∴CF=2x3，
∴EF=CE2+CF2=139x2−4x+4，
设y=139x2−4x+4=139x−18132+1613，
∴当x=1813时，y取最小值1613，
∴EF的最小值为41313，
故GM的最小值为21313．
【解析】【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°.
∴∠ABG+∠FBC=90°.
∵BF⊥AE于点G，
∴∠ABG+∠BAG=90°.
∴∠FBC=∠BAG.
∴△ABE≌△BCF(ASA).
∴BE=CF，AE=BF.
∵ △CFH是等腰直角三角形，点F是直角顶点，
∴∠CFH=90°=∠BCF，FH=FC.
∴BE//FH，BE=FH
∴四边形BEHF是平行四边形.
∴BF//EH，BF=EH.
∴AE⊥EH，AE=EH.
故答案为：相等；垂直.
【分析】（1）利用正方形和等腰三角形的性质可证得△ABE≌△BCF，得到BE=CF，AE=BF. 由△CFH是等腰直角三角形，得到∠CFH=90°=∠BCF，FH=CF.于是可证得四边形BEHF是平行四边形.根据平行四边形性质得BF//EH，BF=EH，再由BF⊥AE 和AE=BF即可得到结论.①和②的证明思路基本一样.
（2）根据平行四边形性质和直角三角形性质得EM=FM=GM，即GM最小时，EF最小.设BE=x，通过证明△ABE∽△BCF，得到CF长，利用勾股定理表示出EF，利用二次函数的性质得到EF的最小值，问题可解决.
18．【答案】（1）证明：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°．
∵∠ADC=90°，
∴∠ACB=∠ADC．
∵DC∥AB，
∴∠ACD=∠CAB，
∴△ACB∽△CDA；
（2）解：①如图，过点Q作QH⊥AB于H．
在Rt△ACD中，DC=6cm，AD=8cm，
由勾股定理，得AC=62+82=10cm．
∵△ACB∽△CDA，
∴∠ABC=∠CAD，ACCD=ABAC=BCAD，
∴106=AB10=BC8，
解得AB=503cm，BC=403cm．
由题意可得BQ=t，AP=2t，BP=AB−AP=(503−2t)cm，00)，设点Pm，43m
∴Fm，485，V10，4m3.
∵ 点C，D同时绕点P顺时针旋转90°得到点C'，D'，
∴PD=PD'，PC=PC'，∠DPD'=∠CPC'=90°.
易证：△DFP≌△PGD'，△CVP≌△PWC'，
∴DF=PG=865−m，PF=D'G=485−4m3.CV=PW=43m，PV=C'W=10−m.
∴Gm，43m−865−m，即Gm，73m−865，
D'm+485−4m3，7m3−865，即D'−13m+485，7m3−865；
W−13m，43m，C'−m3，7m3−10.
∴BC'2=−m32+7m3−102=509m2−140m3+100，
BD'2=−m3+4852+7m3−8652=509m2−260m3+388，
C'D'2=4852+3652=144.
①当∠C'BD'=90°时，
∴509m2−140m3+100+509m2−260m3+388=144
整理得259m2−100m3+86=0
解得：m=30±3145.
∴BP=53m=10±14.
②当∠BC'D'=90°时，
144+509m2−140m3+100=509m2−260m3+388，
解得：m=3.6，
∴BP=53m=6.
③当∠C'D'B=90°时，
144+509m2−260m3+388=509m2−140m3+100，
解得：m=10.8，
∴BP=53m=18.
综上所述：当△BC'D'为直角三角形时，BP的长为6或10−14或10+14或18．
【分析】（1）利用旋转的性质和正方形的性质可证得△AED≌△AFB，利用全等三角形性质即可得到结论；
（2）连接EF，利用旋转性质和菱形性质可证得△APD≌△EPF，可得EF=4，∠ADP=∠PFE.过点P作MN⊥BC，交BC于N，交DA的延长线于点M，可证得△PMD∽△GNP，利用相似三角形的性质可求得NG的长，和∠ADP=∠NPG，从而可得CG.再利用平行线的判定得EF//MN，利用平行线性质得EF⊥CG.于是可求四边形CEGF的面积.
（3）以以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，可求得点C，A，D的坐标.过点P作FG⊥x轴，交DA延长线于点F，作D'G⊥FG于点G，过P作WV//x轴，作C'W⊥WV于点W，作CV⊥WV于点V.设点P坐标Pm，43m，根据旋转的性质证得△DFP≌△PGD'，△CVP≌△PWC'，可得DF=PG=865−m，PF=D'G=485−4m3.CV=PW=43m，PV=C'W=10−m.于是可表示出F，V，W，C的坐标，从而计算出点C'和D'的坐标，利用两点间距离公式表示出BC'2，BD'2，C'D'2，分∠C'BD'=90°时，∠BC'D'=90°时，∠C'D'B=90°时三种情况利用勾股定理建立关于m的方程，求出m即可得到BP的值.
23．【答案】（1）解：①选小聪的思路：
过点F作FN⊥BC，交BC的延长线于点N，
∵四边形ABNCD是正方形，
∴∠B=∠BCD=90°，AB=BC，
∴∠AEB+∠BAE=90°，
∵EA顺时针旋转90°得到EF，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEN=90°，
∴∠BAE=∠NEF，
在△ABE与△ENF中，
∵∠BAE=∠NEF，∠B=∠N=90°，AE=EF，
∴△ABE≌△ENF（AAS），
∴FN=BE，EN=AB=BC，
∴BC-CE=EN-EC，即BE=CN=FN，
∴△CFN是等腰直角三角形，
∴∠FCN=45°，
∴∠FCD=180°-∠BCD-∠FCN=45°；
②选小明的思路：
在AB上截取BM，使得BM=BE．
∵四边形ABNCD是正方形，
∴∠B=∠BCD=90°，AB=BC，
∴AM=AB−BM=EC=BC−BE，∠BME=∠BEM=45°，
∴AM=EC，∠AME=180°-∠BME=135°，
∵EA顺时针旋转90°得到EF，
∴AE=EF．
∴∠MAE+∠MEA=45°，∠CEF+∠MEA=45°，
∵∠MAE=∠CEF．
在△AME和△ECF中，
AM=EC∠MAE=∠CEFAE=EF，
∴△AME≌△ECF(SAS)，
∴∠AME=∠ECF=135°，
∴∠FCD=45°；
（2）32α−90°
（3）解：过点A作AP⊥CD交CD的延长线于点P，
设菱形的边长为3．
∵DGCG=12，
∴DG=1，CG=2，
∵∠ADC=∠ABC=120°，
∴∠ADP=60°，
∴PD=32，AP=332，
∴PG=PD+DG=52，
∵∠α=120°，
由(2)知，∠GCF=90°，
∵∠AGP=∠FGC，
∴△APG∽△FCG，
∴APCF=PGCG，
∴33CF=522，
∴CF=635，
在AB上截取AN，使AN=EC，连接NE，作BO⊥NE于点O．
由(2)可知，△ANE≌△ECF，
∴NE=CF，
∵AB=BC，
∴BN=BE，
∴OE=ON=12NE=335，
∵∠ABC=120°，
∴∠BNE=∠BEN=30°，
∴BE=OEcs30∘=65，
∴CE=95，
∴BECE=23．
【解析】【解答】解：（2）如图，在AB上截取BM，使得BM=BE，连接EM，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=α ，
∴AB=BC，∠BCD=180°-α，
∵BM=BE，
∴AM=CE，
∵将EA绕点E顺时针旋转α得到EF，
∴EF=AE，∠AEF=∠B=α，
∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠B+∠BAE，
∴∠BAE=∠CEF，
在△AEM与△EFC中，AM=EC，∠BAE=∠CEF，AE=EF，
∴△AEM≌△EFC（SAS），
∴∠AME=∠ECF，
∵∠B=α，BM=BE，
∴∠BME=∠BEM=90°-12α，
∴∠AME=90°+12α=∠ECF，
∴∠DCF=∠ECF-∠BCD=32α−90°；
故答案为：32α−90°；
【分析】（1）①选小聪的思路：过点F作FN⊥BC，交BC的延长线于点N，由同角的余角相等得∠BAE=∠NEF，从而用AAS证△ABE≌△ENF，得FN=BE，EN=AB=BC，可推出△CFN是等腰直角三角形，则∠FCN=45°，进而根据平角定义可算出∠FCD的度数；②选小明的思路：在AB上截取BM，使得BM=BE，根据正方形的性质推出AM=EC，由旋转的性质得AE=EF，进而根据等腰直角三角形及角的和差可推出∠MAE=∠CEF，从而用SAS证△AME≌△ECF，由全等三角形的对应角相等得∠AME=∠ECF=135°，最后根据∠FCD=∠ECF-∠BCD可算出答案；
（2）在AB上截取BM，使得BM=BE，连接EM，首先由SAS证△AEM≌△EFC，可得∠AME=∠ECF，进而根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可表示出∠BME，由邻补角及等量代换可表示出∠ECF，最后根据∠DCF=∠ECF-∠BCD即可算出答案；
（3）过点A作AP⊥CD交CD的延长线于点P，证明△APG∽△FCG，由相似三角形对应边成比例可求出CF，在AB上截取AN，使AN=EC，连接NE，作BO⊥NE于点O，由（2）可得△ANE≌△ECF，得NE=CF，从而可得BN=BE，由特殊锐角三角函数值及余弦函数定义可求出BE，进而求出CE，此题得解.
24．【答案】（1）CG=CB=CD；(6−x)2+32=(x+3)2；2
（2）解：由第1步的操作可知E，F分别是AB，CD的中点，
∵正方形 ABCD，
∴AB//CD，AB=CD
∴∠AED=∠CDG，∠EAG=∠DCG，
∴△AEG~△CDG
∴AGCG=AECD=12
∵MN//AD
∴AGCG=AMBM=12， 即 AMAB=13
∴点M是否为AB边的三等分点
（3）2621或5021
【解析】【解答】解：（1）证明过程如下：连接CH，
∵正方形ABCD沿CE折叠，
∴∠D=∠B=∠CGH=90°，CG=CB=CD，
又∵CH=CH
∴△CGH≌△CDH，
∴GH=DH.
由题意可知E是AB的中点，设AB=6（个单位），DH=x，则AE=BE=EG=3，
在Rt△AEH中，可列方程： (6−x)2+32=(x+3)2，（方程不要求化简）解得：DH=2，即H是AD边的三等分点.
故答案为：CG=CB=CD，(6−x)2+32=(x+3)2.
（3）连接AC交BD于点O，
∵菱形ABCD，
∴OD=12BD=3，∠AOD=90°，
∴AO=AD2−DO2=52−32=4，
∵E是BD上的一个三等分点，
如图，当DE=13DB=2，连接AD′，AE，AD′与BD交于点N，
∵ 点D关于AE的对称点为D'，射线ED'与菱形ABCD 的边交于点F，
∴DE=DE′=2，∠AD′E=∠ADB=∠ABD，∠END′=∠ANB，
∴△END′∽△ANB，
∴ANEN=ABED'=52，
设EN=2x，AN=5x，
∴ON=2x-1，
在Rt△ANO中，
AN2=AO2+ON2即（5x）2=16+（2x-1）2，
解之：x1=-1（舍去），x2=1721，
∴EN=2×1721=3421，
易证△END′∽△EFB，
∴EFEB=ENED'
∴EF=EN·EBED'=6821，
∴D'F=6821−2=2621；
当DE=23DB=4，连接AD′，AE，
由对称可知，AD=AD′=5，D′E=DE=4，∠ADE=∠AD′E=∠ABD，∠AED=∠AEF，
过点A作AN⊥D′E于点N，
∵∠AD′F=∠EBF，∠AFD′=∠BFE，
∴△AFD′∽△EFB，
∴EFAF=BEAD'=25，
设EF=2m，AF=5m，
在△AEO和△ANE中，
∠AEO=∠AEN∠AOE=∠ANEAE=AE
∴△AEO≌△ANE（AAS），
∴OE=EN=1，
∴NF=2m-1，AN=AO=4，
∵AF2=AN2+NF2即（5m）2=16+（2m-1）2，
解之：m1=-1（舍去），m2=1721，
∴EF=2×1721=3421，
∴D'F=4−3421=5021，
综上所述，D′F的长为2621或5021
故答案为：2621或5021
【分析】（1）利用折叠的性质可证得∠D=∠B=∠CGH=90°，CG=CB=CD，利用HL可证得△CGH≌△CDH，利用全等三角形的性质可证得GH=DH，设AB=6（个单位），DH=x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可证得结论.
（2）利用正方形的性质可证得AB∥CD，AB=CD，利用相似三角形的判定可证得△AEG∽△CDG，利用相似三角形的性质可得AG与CG的比值，再由MN∥AD，利用平行线分线段成比例定理可证得结论.
（3）连接AC交BD于点O，利用菱形的性质可求出OD的长，利用勾股定理求出AO的长，再分情况讨论：当DE=13DB=2，连接AD′，AE，AD′与BD交于点N，利用对称性可知DE=DE′=2，∠AD′E=∠ADB=∠ABD，∠END′=∠ANB，可证得△END′∽△ANB，利用相似三角形的性质可得到AN与EN的比值，设EN=2x，AN=5x，可表示出ON的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，即可得到EN的长；再证明△END′∽△EFB，利用相似三角形的性质可求出EF的长，然后求出D′F的长；当DE=23DB=4，连接AD′，AE，易证△AFD′∽△EFB，利用相似三角形的性质可求出EF与AF的比值，设EF=2m，AF=5m，利用AAS证明△AEO≌△ANE，可得到OE=EN=1，可表示出NF，AN的长，利用勾股定理可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，即可求出EF的长，然后求出D′F的长；综上所述。可得到符合题意的D′F的长.证明过程如下：连接CH，
∵正方形ABCD沿CE折叠，
∴∠D=∠B=∠CGH=90°， ① ，
又∵CH=CH
∴△CGH≌△CDH，
∴GH=DH.
由题意可知E是AB的中点，设AB=6（个单位），DH=x，则AE=BE=EG=3，
在Rt△AEH中，可列方程： ② ，（方程不要求化简）解得：DH= ③ ，即H是AD边的三等分点.